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    問(wèn)題出在哪兒

    2017-03-11 05:50:13湖北秭歸縣教育科研信息中心何訓(xùn)光
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年4期
    關(guān)鍵詞:秭歸縣延長(zhǎng)線作圖

    ☉湖北秭歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

    ☉湖北宜昌市夷陵區(qū)教師教育教學(xué)研究中心高先敏

    ☉湖北秭歸縣郭家壩中學(xué)顏昭英

    問(wèn)題出在哪兒

    ☉湖北秭歸縣教育科研信息中心 何訓(xùn)光

    ☉湖北宜昌市夷陵區(qū)教師教育教學(xué)研究中心高先敏

    ☉湖北秭歸縣郭家壩中學(xué)顏昭英

    試題再現(xiàn):已知AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠EDC.

    (1)如圖1,若△ABC中,∠B<90°,D為BC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在△ABC的外部,求證:AD=AB.

    (2)若△ABC中,∠B>90°,D在CB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在△ABC的下方,則(1)的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形,并加以證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

    圖1

    圖2

    這是某地八年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)江全能學(xué)案同步練習(xí)冊(cè)》中的一道題,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形四個(gè)判定方法后選配的一道習(xí)題.命題者意圖很明顯:以全等三角形和全等變換為背景,目的是培養(yǎng)學(xué)生基本的畫(huà)圖能力和全面提升學(xué)生的推理論證能力.

    此題的第(1)問(wèn)很簡(jiǎn)單,學(xué)生也都能正確解答,但是第(2)問(wèn)的答案卻是五花八門(mén),很多老師都沒(méi)有當(dāng)一回事而默認(rèn)了學(xué)生的錯(cuò)誤解答,這樣的錯(cuò)誤若流傳下去,會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生什么樣的不良影響?這題的錯(cuò)誤又在哪里?為什么連教師都難以發(fā)現(xiàn)問(wèn)題或錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因?

    還是先請(qǐng)讀者找一找下面給出的學(xué)生解答和他們所畫(huà)圖形的錯(cuò)誤在哪里.

    筆者調(diào)查了部分師生,很多師生是這樣思考的:因?yàn)锳E=AC,所以可以通過(guò)在圖2的基礎(chǔ)上把AE繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)來(lái)畫(huà)出需要的圖形,當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)到圖3時(shí),此時(shí)E與C正好重合,顯然與點(diǎn)E在△ABC的下方這個(gè)條件不符,故舍去;再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖4所示的位置,此時(shí)EA在∠BAC的內(nèi)部,點(diǎn)E在△ABC的下方,符合題意;繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖5所示的位置,此時(shí)E正好落在∠BAC的AB邊及其延長(zhǎng)線上,也符合題意;再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)便得到圖6,此時(shí)AE在∠BAC的外部.所以,此題應(yīng)分三種情況來(lái)證明.

    圖3

    圖4

    圖5

    圖6

    (2)證明:(i)AE在∠BAC的內(nèi)部.

    如圖4,設(shè)AE與BC交于點(diǎn)F,因?yàn)椤螮AC+∠C+∠AFC=∠EDF+∠E+∠DFE,而∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE,所以∠C=∠E.因?yàn)椤螧AD=∠EAC,所以∠BAD+∠EAB=∠EAC+∠EAB,從而∠DAE=∠BAC.又已知AC= AE,所以△ABC≌△ADE,從而得到AB=AD.

    (ii)AE在∠BAC的AB邊及其延長(zhǎng)線上.

    如圖5,同(i)可證得∠C=∠E.又因?yàn)锳C=AE,所以△BAC≌△DAE,同樣可得到AB=AD.

    (iii)AE在∠BAC的外部.

    如圖6,設(shè)AE與DC交于F,同(i)可證得∠C=∠E.又因?yàn)椤螧AD=∠EAC,所以∠BAD-∠EAB=∠EAC-∠EAB,從而∠BAC=∠DAE.又已知AC=AE,所以△BAC≌△DAE,同樣得到AB=AD.

    以上給出的是學(xué)生中比較完整的解法,還有很多學(xué)生的解答就是以上三種情況中的一種,當(dāng)然,多數(shù)師生畫(huà)的圖為圖4或圖6,其解答是第(i)種或第(iii)種情況的證明過(guò)程.

    錯(cuò)因分析:初看起來(lái),解答者考慮問(wèn)題全面,思考問(wèn)題過(guò)程中把各種不同的情況全部作了分析,而且因?yàn)楹竺娣项}意的三種情況的證明方法和過(guò)程有不同之處,所以把三種情況進(jìn)行了分類(lèi)證明,三種情況的證明也步步推理嚴(yán)密、有根有據(jù).看起來(lái)似乎很完美.

    但是,只要讀者仔細(xì)觀看一下學(xué)生所畫(huà)的圖4至圖6,不用分析就可以發(fā)現(xiàn)明顯的錯(cuò)誤,即可以明顯地看出AD≠AB,或者說(shuō)可以明顯看出AB>AD.

    那么問(wèn)題到底出在哪兒呢?

    此題是要在給定的圖2上畫(huà)圖,即說(shuō)明圖2是固定圖形,題目還要求D在CB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在△ABC的下方,那么這個(gè)圖形就不能是隨便一畫(huà)或任意一旋轉(zhuǎn)AE就能符合題干條件的.因而只能靠推理來(lái)畫(huà)出圖形.

    多數(shù)師生是從先定E點(diǎn),即從已知AE=AC來(lái)確定E點(diǎn)出發(fā)畫(huà)圖的,那么這樣的E點(diǎn)是有很多的(以A為圓心、AC的長(zhǎng)為半徑,且在△ABC的下方的圓弧上的所有點(diǎn)),若在△ABC的下方的圓弧上任意取一符合AE=AC的點(diǎn)E,那么接下來(lái)就只能在AE的左側(cè)作∠AED=∠C,使ED交CB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn),再連接AD,這樣雖然有∠EDC=∠EAC,但不能保證∠BAD=∠EAC也成立,如部分師生所作的以上的圖4至圖6都可以保證∠EDC=∠EAC,但都不能保證∠BAD=∠EAC.上面解答的錯(cuò)誤就在于學(xué)生自己隨便畫(huà)一個(gè)圖形并且承認(rèn)它符合題干的所有條件,這樣的情況若有,也只能是某種巧合或者說(shuō)是某種特殊圖形的情況,并沒(méi)有一般性,更不能作為已知條件而當(dāng)作證明的依據(jù).這就是以上各種所畫(huà)圖形和證明不正確的根本原因.

    由此可知:從點(diǎn)E出發(fā)作圖不能保證原題干中的已知條件都成立.

    這樣,我們就只能從先找點(diǎn)D出發(fā)來(lái)畫(huà)圖了,要使AD=AB,且D點(diǎn)在CB的延長(zhǎng)線上,那么這一點(diǎn)只能是在以A為圓心、AB的長(zhǎng)為半徑的弧與CB的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)(如圖7中的點(diǎn)D),除這點(diǎn)和點(diǎn)B以外的其他任何一點(diǎn)都不會(huì)有“AD=AB”.所以D點(diǎn)也不是隨便就可以畫(huà)出來(lái)的,它是CB的延長(zhǎng)線上唯一的一點(diǎn).接下來(lái)確定E點(diǎn),在AC的左側(cè)作∠EAC=∠BAD,再在∠CAE的AE邊上截取AE=AC,從而得到AE(如圖7),再連接DE,這樣連接雖然不能直接看出“∠EDC=∠BAD或∠EDC=∠EAC”,但是可以證明其相等.并且這樣作出來(lái)的圖形應(yīng)該是唯一的,是不需要通過(guò)分類(lèi)討論來(lái)證明的.

    圖7

    那么此題到底如何來(lái)解答?筆者認(rèn)為關(guān)鍵是要能畫(huà)出圖形來(lái),圖形畫(huà)不出來(lái),也就不能正確解答.下面筆者就從“先作圖、再說(shuō)理、最后證明”的方法來(lái)解答此題.

    (2)解:當(dāng)∠B>90°,D在CB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在△ABC的下方時(shí),AB=AD仍然成立.

    作圖:以A為圓心、AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,再以A為頂點(diǎn)、AC為一邊,在AC的左側(cè)作∠CAE=∠BAD,并在AE上截取AE=AC,再連接DE.圖7即為所畫(huà)圖形.

    由作圖可知:AC=AE,∠BAD=∠EAC.

    則∠BAD-∠BAE=∠EAC-∠BAE.

    即∠DAE=∠BAC.

    又所作線段AD=AB,則△BAC≌△DAE,∠ADB=∠ABD.

    則∠ADE=∠ABC.

    則∠ADB+∠BDE=∠ADB+∠BAD.

    則∠BDE=∠BAD,則∠BDE=∠EAC.

    所以,以上所作的圖形既滿足原題題干中的已知條件“AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠EDC”,也滿足該問(wèn)中的附加條件“∠B>90°,D在CB的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)E在△ABC的下方”,按上述第(iii)種方法即可證明結(jié)論成立.證明過(guò)程略.

    到此,本題應(yīng)該是解答完畢,但還得回答老師一個(gè)問(wèn)題.

    問(wèn)題:有沒(méi)有“AE在∠BAC的AB邊及其延長(zhǎng)線上或AE在∠BAC的內(nèi)部”的情況?

    這就要看給定的鈍角三角形ABC了,如圖8或圖9所示的鈍角三角形ABC就是AE在∠BAC的AB邊及其延長(zhǎng)線上或者AE在∠ABC的內(nèi)部的情況,但這樣的情況也只一種,絕對(duì)不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)三種情況.

    這樣的鈍角三角形ABC,我們可以按如下的方法作出來(lái):

    先任意畫(huà)一個(gè)等腰銳角三角形ABD,使AB=AD,再把BD向兩側(cè)延長(zhǎng);以A為頂點(diǎn)、AB為一邊在AB的右側(cè)作∠BAC=∠BAD,使邊AC交DB的延長(zhǎng)線于C,再在線段AB的延長(zhǎng)線上截取AE=AC,連接DE,這樣就能畫(huà)圖8所示的圖形了.讀者可以按上述方法畫(huà)出圖9所示的圖形.

    圖8

    圖9

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