綜合題命制：讓題干與題肢關(guān)聯(lián)互動
——以蘇科八上期末把關(guān)題為例

☉江蘇蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 王錦兵

綜合題命制：讓題干與題肢關(guān)聯(lián)互動
——以蘇科八上期末把關(guān)題為例

☉江蘇蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 王錦兵

自媒體時代的信息獲取之方便超出人們想象，比如，在期末考試之后，各地期末考卷大量出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)、各大QQ群共享中，在見到大量簡單“拿來主義”“復(fù)制粘貼”拼湊起來的試卷之余，也確有不少體現(xiàn)命題者心血的原創(chuàng)作品，一個簡單的檢測方式就是：將試題中的關(guān)鍵詞或關(guān)鍵圖片放到相關(guān)搜題平臺上進(jìn)行檢索，如找不出原題或高度相似題，就可看出命題者的苦心經(jīng)營與原創(chuàng)傾向.然而命題也是一項遺憾的藝術(shù)，有些試題由于追求了原創(chuàng)設(shè)計，而缺少深入打磨，使得一些原創(chuàng)的綜合題成為一道低層次的拼湊式問題，題干、題肢之間缺少關(guān)聯(lián)互動，使得試題的品質(zhì)大打折扣.本文就以江蘇揚州某地區(qū)的八上期末把關(guān)題為例，先講解思路、命題商榷，并跟進(jìn)變式改編和教學(xué)思考，供研討.

一、考題解析與命題商榷

圖1

圖2

（1）求直線CD的函數(shù)關(guān)系式.

（2）連接OE，過點O作OF⊥OE交直線CD于點F，如圖2.

①求證：∠OEF=45°；

②求點F的坐標(biāo).

（3）若點P是直線DC上一點，點Q是x軸上一點（點Q不與點O重合），當(dāng)△DPQ和△DOC全等時，直接寫出點P的坐標(biāo).

（2）①本質(zhì)是證明EO平分∠AED.需要先推證出直線AB⊥CD.根據(jù)提示OF⊥OE，可證出△BOE≌△DOF，從而證出OE=OF，于是△OEF為等腰直角三角形.問題獲解.

另解反思：總題干中旋轉(zhuǎn)前后有△ABO≌△COD，可以發(fā)現(xiàn)這兩個三角形對應(yīng)邊上的高應(yīng)該相等，可構(gòu)造兩條垂線段，如圖3，作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為M、N.

圖3

圖4

容易證出OM=ON，所以EO平分∠AED，即∠OEF= 45°.這樣可看出來，第（2）問小題干中的OF線條不是必需的，它可以成為一種輔助線.

②直接求點F的坐標(biāo)比較困難，可以考慮將其轉(zhuǎn)化為先求E點的坐標(biāo)，點E可看成是直線AB、CD的交點坐標(biāo)，只要聯(lián)立兩直線方程得到方程組，就可解出點E的坐標(biāo)；從而再求出F點的坐標(biāo).

（3）構(gòu)造圖4分析，點P應(yīng)該有4個可能的位置，P4與點C重合.在此基礎(chǔ)上可求出符合要求的三個點P的坐標(biāo).

解后反思：現(xiàn)在可看出本題的問題結(jié)構(gòu)，總題干中提出所謂的直線方程，除了確定A、B點的坐標(biāo)，漸漸失去活性，接下來的探究與求解多是平面幾何問題，這種讓題干提前枯萎的命題取向，格局偏低，使得試題成為偽坐標(biāo)考題，本質(zhì)上是幾何全等構(gòu)造與證明.以下本著命題的興趣與愛好，給出一道改編題.

二、改編試題及改編意圖

（1）求k的值.

（2）設(shè)P為直線CD上一點，Q為x軸上一點，直線AB、CD交于E點.

①當(dāng)點P在線段CD上，且DP=BE時，求PE的長；

②當(dāng)△DPQ≌△DOC時，直接寫出此時P點到直線AB的距離.

圖5

圖6

圖7

命題立意：（1）讓學(xué)生根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)有序確認(rèn)點A、B、C、D的坐標(biāo)，從而確定另一直線的解析式.

（2）①限制點P在線段CD上，只要考慮一種情況，即與圖2中相比，此時點P就是圖2中的點F.但考慮到控制一下運算量，只要學(xué)生求PE的長（學(xué)生還需要想清楚DE⊥AB）.另外，這樣設(shè)問，還使得解法多樣，除了求出點P的坐標(biāo)再構(gòu)造直角三角形確定PE的長，幾何構(gòu)造可以更簡便地運算.如圖6，先想清楚△POD≌△EOB，得出△POE是等腰直角三角形.于是只要能求出直角邊OE，就可得到斜邊PE的長.當(dāng)然這樣處理可能還是有一定的運算量，因為求OE的長時還需要求E點的坐標(biāo).讓我們再從另一思路切入，這就是聚焦△COD，作OG⊥CD于點G，可以利用面積法求出OG的長，然后把目光轉(zhuǎn)到△POE中，則PE=2OG，于是問題獲得突破，運算量也大大簡化.

②這一問與原考題相比，做了一些限制，即原考題最后一問是文字“全等”，而我們要求的是符號“≌”，這樣使得兩個三角形的對應(yīng)邊得到一些限制，又需要思考點P在直線CD上的兩種位置關(guān)系.但為了增加解題層次，仍然要求點P到直線AB的距離（這可看成是最后一問與總題干中初始條件之間的關(guān)照與呼應(yīng)，正所謂“不忘初心”）.思維深刻的考生可以構(gòu)造出簡潔的求法，如圖7，關(guān)鍵是求出DP的長度（注意對應(yīng)PD= OD=4），難算的是DE的長，八年級學(xué)生從勾股定理角度需要消耗一些運算時間，比如，先求出點E的坐標(biāo)，再在△AED中思考.其實從九年級相似三角形或銳角三角函數(shù)的角度，就可快速解出DE的長（比如，利用cos∠CDO=.待求的點P到直線AB的距離是DE±DP.

三、進(jìn)一步的思考

1.綜合題命題要追求簡約、關(guān)聯(lián)，讓題干、題肢關(guān)聯(lián)互動.

數(shù)學(xué)考卷非常重視解答題的設(shè)計與設(shè)問，特別是全卷最后位置的把關(guān)題更是傾注了命題者的心血.常常苦心經(jīng)營，構(gòu)思命題考查知識點、方法，還要思考教學(xué)上的引領(lǐng)意義.這里主要探討綜合題命制的簡約與關(guān)聯(lián)追求，題意表述要清楚、指令清楚，初始條件和圖形要好懂，不故弄玄虛，或一大堆條件都“和盤托出”，最好漸次呈現(xiàn)、拓展生長，把學(xué)生思考逐漸引向深遠(yuǎn).從這個角度看，原考題（2）小題干中OF⊥OE這個條件就可后置到研究F的坐標(biāo)時再呈現(xiàn)，因為這個條件使得命題的格局下降，影響或封閉了優(yōu)秀學(xué)生可能的其他思考，不符合數(shù)學(xué)追求開放、自由的探究價值.

2.綜合題命題要預(yù)設(shè)解法，既殊途同歸，又有簡化解法.

由于綜合題是數(shù)學(xué)解答題的范疇，目前有些綜合題的小問設(shè)計，不少命題組采取了直接填答案的方式，背后往往有很多“難言之隱”，一個不好的現(xiàn)象是命題者自己往往也找不到好的、簡潔的求證方式，故為了減少學(xué)生所謂的運算量、推理表達(dá)的過程，只好退一步讓學(xué)生直接寫答案，這是讓人遺憾的命題行為.我們認(rèn)為，提出問題固然不容易，但當(dāng)提出一個有挑戰(zhàn)的考題之后，預(yù)設(shè)解法就成為一個重要的課題，有時如果這個有挑戰(zhàn)的問題命題人自己也難以自圓其說給出有力量的、簡潔的解答，則寧可忍痛割愛，放棄在試卷上呈現(xiàn)這類問題為宜，因為盡管是我們命題過程中的成果，但并不一定自己深入思考的所得都要搬到試卷上.想來，這也就是所謂命題要追求“內(nèi)斂藏鋒”的道理吧.

1.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學(xué)微設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.楊衛(wèi)東.客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

3.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習(xí)題課設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

4.吳忠妙.一道考題的思路、難點與教學(xué)設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

5.夏德祥.繁簡難易：中考把關(guān)題的命題研討——以2016年江蘇揚州中考卷第28題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（7）.