以退為進(jìn)：挑戰(zhàn)新定義考題的有效策略
——北京海淀九上期末卷第29題解析與賞析

☉廣西南寧市第二中學(xué) 甘曉云

以退為進(jìn)：挑戰(zhàn)新定義考題的有效策略
——北京海淀九上期末卷第29題解析與賞析

☉廣西南寧市第二中學(xué) 甘曉云

近年來(lái)，有命題興趣的同行都會(huì)關(guān)注和研究北京市各區(qū)的期末試卷，因?yàn)楸本┦懈鲄^(qū)的期末試卷往往都有很多原創(chuàng)的特色試題，這些試題貼近北京市中考題風(fēng)格，很有數(shù)學(xué)味道，值得思考.本文賞析北京海淀區(qū)九上期末卷第29題，并跟進(jìn)命題思考，供研討.

一、考題解析與回顧反思

考題（2016～2017學(xué)年九上期末試卷，第29題）定義：點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部或邊上的點(diǎn)，若滿足△PAB、△PBC、△PAC中至少有一個(gè)三角形與△ABC相似（點(diǎn)P不與△ABC的頂點(diǎn)重合），則稱點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn).

例如：如圖1，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點(diǎn)P為△ABC的自相似點(diǎn).

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，

圖1

圖2

圖3

②若k=2，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，0），且△MON的自相似點(diǎn)有2個(gè)，則曲線C上滿足這樣條件的點(diǎn)M共有_____個(gè)，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出這些點(diǎn)（保留必要的畫圖痕跡）.

思路突破：

（1）只要構(gòu)圖連接OF、BF，結(jié)合F點(diǎn)的坐標(biāo)，可確認(rèn)∠OFB為90°，且∠FOB=30°，于是點(diǎn)F是△AOB的自相似點(diǎn)；再構(gòu)圖聯(lián)系BG，會(huì)確認(rèn)BG⊥AO，故G也是△AOB的自相似點(diǎn).

（2）直接求解兩問(wèn)比較困難，找不到突破點(diǎn)，我們需要先深入思考新定義中的自相似點(diǎn)與三角形形狀之間的關(guān)系.首先思考的是：自相似點(diǎn)P如果存在，那么△ABC的內(nèi)角需要滿足什么樣的條件？我們可以從特殊三角形進(jìn)行探究，得出如下結(jié)論：

第一，在△ABC的邊上存在自相似點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)它的內(nèi)角不全相等；

第二，在△ABC的內(nèi)部存在自相似點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)它的內(nèi)角都不相等.

進(jìn)一步，我們可把三角形按邊進(jìn)行分類，研究自相似點(diǎn)的相關(guān)情況，如表1所示：

表1

有了上述準(zhǔn)備工作，再思考考題第（2）問(wèn)：

首先確定△OMN是等腰三角形（頂角為120°），則它的自相似點(diǎn)P一定在邊上，可分析出如圖4所示的草圖貫通思路.

接下來(lái)給出詳細(xì)思路：

①如圖5，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H點(diǎn).

圖4

圖5

圖6

圖7

如圖6，△P1ON∽△NOM，過(guò)點(diǎn)P1作P1Q⊥x軸于Q點(diǎn).

②首先想清△MON有兩個(gè)自相似點(diǎn)，則它是等腰（非直角）三角形.這樣問(wèn)題的本質(zhì)就是在曲線上確定點(diǎn)M，使△OMN是等腰三角形，可作出圖8輔助分析，即分別以O(shè)、N為圓心，NO為半徑作圓，與曲線有4個(gè)交點(diǎn).注意：線段ON的垂直平分線與曲線的交點(diǎn)M5需要舍去，此時(shí)點(diǎn)M5（1，1）與O、N組成的△MON是等腰直角三角形，只有1個(gè)自相似點(diǎn)，這種情況應(yīng)該舍去.

圖8

反思回顧：這道考題最后兩問(wèn)比較抽象、晦澀，如果缺少對(duì)不同形狀三角形的自相似點(diǎn)的深入分析，并總結(jié)出如上文中的表格特點(diǎn)，則探究曲線上自相似點(diǎn)就會(huì)無(wú)從下手，尋找解題切入點(diǎn)遇到障礙.特別是最后一問(wèn)中ON的中垂線與曲線的交點(diǎn)需要舍棄，也需要想清楚.

二、“新定義考題”的進(jìn)一步賞析

新定義考題在各地中考試題中出現(xiàn)已有不少年份，但是像北京市這樣年年創(chuàng)新、年年不同，而且富有數(shù)學(xué)味、呈現(xiàn)簡(jiǎn)約、引發(fā)深思的新定義考題卻不多見(jiàn).不少低劣的新定義考題常常是把高中階段一些概念或性質(zhì)簡(jiǎn)單下放考查，使得考試的教學(xué)導(dǎo)向出現(xiàn)偏差，還有些地區(qū)的新定義考題出現(xiàn)理解晦澀甚至模糊不清的現(xiàn)象，不符合優(yōu)秀試題追求簡(jiǎn)潔好懂、富于生長(zhǎng)的特點(diǎn).具體來(lái)說(shuō)，北京海淀區(qū)這道新定義考題還可提出如下賞析.

1.新定義清楚好懂，舉例說(shuō)明助理解.

閱讀新定義，需要理解自相似點(diǎn)只能出現(xiàn)在△ABC內(nèi)部或邊上，接著要辨別“何為自相似”，也就是解決新定義問(wèn)題，要從解讀定義開(kāi)始.為了幫助學(xué)生理解新定義，命題組舉例說(shuō)明，并畫出圖形進(jìn)行解讀，這樣有助于理解.這種命題思路在北京市近幾年中考?jí)狠S題中都有體現(xiàn)，值得學(xué)習(xí).

2.起步問(wèn)題需構(gòu)圖，特殊圖形助辨別.

考題的起步問(wèn)題就將自相似點(diǎn)的確認(rèn)放置在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行研究，學(xué)生需要自主構(gòu)造圖形，并確認(rèn)三角形ABO的特殊形狀即真是一個(gè)含30°角的特殊直角三角形，并給出三個(gè)特殊點(diǎn)，標(biāo)注出這些點(diǎn)之后，再發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)與其他邊構(gòu)成的直角三角形中是否會(huì)出現(xiàn)含30°角的直角三角形，從而確定只有兩個(gè)點(diǎn)符合要求.這里從特殊出發(fā)解決問(wèn)題的思路不僅對(duì)于這一道小題進(jìn)行了處理，更重要的是要有“從特殊出發(fā)”“回到簡(jiǎn)單”的解題心理，因?yàn)楹罄m(xù)問(wèn)題還是需要更為全面地分析不同三角形自相似點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3.挑戰(zhàn)考題有玄機(jī)，以退為進(jìn)助突破.

考題的最后兩問(wèn)與前面新定義之間跳開(kāi)較大的距離，要想順利獲得解題念頭，則需要退回新定義，深入思考、全面分析不同形狀相似三角形自相似點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是上文中那張表格的分析，這需要消耗學(xué)生較多的時(shí)間，且短時(shí)間內(nèi)還不一定能想準(zhǔn)思考方向.所以面對(duì)這樣的考題，在講評(píng)時(shí)建議安排學(xué)生先探究直角三角形自相似點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再過(guò)渡到等腰三角形、等邊三角形自相似點(diǎn)的個(gè)數(shù)，待想清等腰三角形（非等邊）自相似點(diǎn)個(gè)數(shù)之后，再挑戰(zhàn)最后兩問(wèn)，則可以很快獲得思路.這里需要讓學(xué)生積累以退為進(jìn)的解題策略.

1.吳忠妙.一道考題的思路、難點(diǎn)與教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.

2.鄭毓信.多元表征與概念教學(xué)［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011（10）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）.