羅汝生
【摘要】數(shù)學的核心是思維,根據(jù)思維的形式,思維可以分為輻合思維和發(fā)散思維。發(fā)散思維是不依常規(guī),尋求變異,對給出的材料、信息從不同角度,向不同方向,用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式,它的特點是思路廣闊,尋求變異,在思維方向上表現(xiàn)為逆向性、橫向性和多向性。
【關鍵詞】數(shù)學思維 多解 發(fā)散思維
學生在數(shù)學學習中常碰到解題一籌莫展,許多學生一旦在思維受阻時,常不知如何“轉變”。在這一問題上,學生思路不開闊只是表象,而教師在教學中如何善于開拓學生思路,培養(yǎng)學生發(fā)散性思維卻是根本。因此,中小學數(shù)學教學的過程中,在培養(yǎng)學生初步的邏輯思維能力的同時,有意識地培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力非常重要。數(shù)學教師在教學中不應只滿足本例題的演示,完成習題解答,而應該首先開闊自己的思路,在完成例題解答的過程中,引導學生運用知識去探索“求異”的結果,培養(yǎng)學生發(fā)散性思維,激發(fā)學生的創(chuàng)造精神,以達到提高學生解題能力的目的。
一題多解的訓練是培養(yǎng)學生發(fā)散思維的一個好方法。一題多解是指在條件和問題不變的情況下,讓學生多角度、多側面地進行分析思考,探求不同的解題途徑。它可以通過縱橫發(fā)散,使知識串聯(lián)、綜合溝通,達到舉一反三、融會貫通的目的。
一題多解有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維,使學生不滿足僅僅得出一道習題的答案,而去追求更獨特、更快捷的解題方法。一題多解有利于學生積累解題經(jīng)驗,豐富解題方法,學會如何綜合運用已有的知識不斷提高解題能力。
下面通過幾個課堂實例談談如何利用一題多解的方法培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力。
一、某些代數(shù)應用題可引導學生考慮不同方法來設元
如:新人教版七年級數(shù)學上冊第三章一元一次方程的應用教學中,有這樣一個實際問題:
汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時間如表所示,翠湖在青山、秀水兩地之間,距青山50千米,距秀水70千米,求王家莊到翠湖的路程有多遠?
教材意在通過一個具體的行程問題,引導學生嘗試如何用算術方法解決它,然后再逐步引導學生列出含未知數(shù)的式子表示有關的量,并進一步依據(jù)相等關系列出方程,重點是體現(xiàn)一元一次方程與實際的密切聯(lián)系,滲透數(shù)學建模思想,培養(yǎng)學生運用一元一次方程分析和解決實際問題的能力。
1、用算術方法可以如下考慮:
汽車從青山到秀水用了15-13=2小時,青山、秀水兩地相距50+70=120千米,所以車速為120÷2=60千米/時,從王家莊到秀水用了15-10=5小時,所以王家莊到秀水相距60×5=300千米,所以王家莊與翠湖相距300-70=230千米;
2、用方程的方法可以通過數(shù)形結合,從不同角度設未知數(shù),分析數(shù)量關系,緊扣汽車勻速行駛(速度不變)找相等關系,列出一元一次方程求解。
本節(jié)問題的背景和表達貼近實際,有些條件比較隱蔽,如汽車在各路段行駛的時間,需要學生從表格中獲取相應的信息,還有行程問題中的數(shù)量關系式:路程=速度×時間等。
因此,教學中可先引導學生復習行程問題中速度、時間、路程三者間的關系式,尤其是速度=路程÷時間,然后引導學生弄清題意,畫出如下的線段圖:
再結合生活經(jīng)驗,把汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時間求出:
王家莊到青山的時間是13-10=3小時;
青山到秀水的時間是15-13=2小時;
王家莊到秀水的時間是15-10=5小時。
接著,結合線段圖,引導學生挖掘圖形中蘊含的數(shù)量關系,把位置關系與數(shù)量關系為一根主線貫穿教學的全過程,不斷變換解題的方法,培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力。
解法1(教材給出的方法) 如圖,汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地,翠湖在青山、秀水兩地之間,距青山50千米,距秀水70千米,如果設王家莊到翠湖是x千米,則王家莊到青山的路程是(x-50)千米,王家莊到秀水的路程是(x+70)千米,汽車的速度是 千米/時或 千米/時
根據(jù)汽車勻速行駛,可知各段路程的車速相等,于是列出方程:
解此方程直接求出王家莊到翠湖間的路程是230千米。
解法2. 如圖,汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地,翠湖在青山、秀水兩地之間,距青山50千米,距秀水70千米,如果設王家莊到青山是y千米,則王家莊到秀水的路程是(y+50+70)千米,汽車的速度是 千米/時或 千米/時;
根據(jù)汽車勻速行駛,可知各段路程的車速相等,于是列出方程:
解此方程求出y,所以王家莊到翠湖的路程有(y+50)千米
二、某些幾何題可引導學生巧添輔助線
如:新人教版七年級數(shù)學下冊第七章三角形教學中,有這樣一個例題:如圖,C島在A島的北偏東50°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西40°方向.從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度?
解法1(教材給出的方法)
∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°,
由AD∥BE,可得∠BAD+∠ABE=180°,
所以∠ABE=180°-∠BAD=180-80°=100°,
∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°,在△ABC中,
∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°
解法2、過點C作AD的垂線,交直線AD于點M,交BE于點N
由CM⊥AD可得, ∠AMC=90°,
由AD∥BE可得
∠BNC=180°-∠AMC
=180°-90°=90°
在△ACM中,∠ACM=180°-∠AMC-∠CAM=180-90°-50°=40°
在△BCN中,∠BCN=180°-∠BNC-∠CBN=180°-90°-40°=50°
由平角的定義可得,
∠ACB=180°-∠ACM-∠BCN =180°-40°-50°=90°
當然,還有很多種解法,這里就不一一列舉了,可見,數(shù)學教學中的一題多解有利于鍛煉學生思維的靈活性,活躍思路,讓學生能根據(jù)題目給出的已知條件,并結合自身情況,靈活地選擇解題切入點。
以上是利用一題多解的方法培養(yǎng)學生發(fā)散思維的幾個例子,對于這樣的教學方法,還是有幾個問題需要說明:
1、采用上述教學方法比較費時間,且不是每個例題都有必要和可能這樣教學。教師應該在充分研究例題的基礎上,有選擇的適時采用,次數(shù)不宜過多。
2、不同的教師對同一例題的上述教學方法的設計可能不相同,這是正常現(xiàn)象。但是,任何這類教學方法的設計,都必須在充分了解學生認知水平的情況下進行。特別要掌握學生平時解題習慣采用的思路。教學時給予中肯的評價,針對學生的弱點,有意識到編排到教學中去,使學生能真正受益。
3、一道例題的各種解題思路,教學時一般不由教師提出。最好先由學生充分思考后提出方案,教師歸納各種不同意見,整理為幾種有代表性的思路。有時學生提出的思路是教師事前沒有想到的,這就要求教師有較高的鑒別能力,必要時還要調整原來的教學安排,以適應教學中發(fā)生的新情況。
總之,一題多解有利于學生思維能力的提高。隨著科學技術的不斷發(fā)展,對未來人才的要求,特別是對具有創(chuàng)造能力人才的要求越來越高,因此發(fā)展學生的創(chuàng)造能力,已經(jīng)成為提高學生素質的核心內容之一,培養(yǎng)學生良好的發(fā)散思維習慣是提高創(chuàng)造能力的重要環(huán)節(jié),“一題多解”有利于調動學生的學習積極性,在教師的啟發(fā)、引導下,對一道題學生可能提出兩種、三種甚至更多種解法,課堂成為同學們合作、爭辯、探究、交流的場所,它能極大提高學生的學習興趣,更能滿足不同層次學生的要求。這時學生的思維已經(jīng)不是簡單的“發(fā)散”,進一步的“聚斂”,而且在向更高一層的“組合”發(fā)展,這已經(jīng)是創(chuàng)新的開始。
【參考文獻】
[1]新人教版九年義務教育初中數(shù)學教材(七年級下冊);
[2]《課程資源庫——思維創(chuàng)新訓練》(新疆青少年出版社、喀什維吾爾文出版社);