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    特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用

    2017-03-02 10:35王微
    儷人·教師版 2016年20期
    關(guān)鍵詞:特殊化數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)方法

    王微

    【摘要】事物的發(fā)展,總是由簡單到復(fù)雜,由特殊到一般,由具體到抽象,人們對事物的認(rèn)識亦是如此。一般性寓于特殊性之中,特殊問題又往往比一般性的問題簡單易解,因此我們面對一個(gè)抽象或復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,不妨先考慮其特例。由于在特殊情況下,矛盾比較集中,常可突出問題的關(guān)鍵,便于揭示問題的本質(zhì),而且從特殊的簡單問題探求出的解法,對解一般情況問題往往有所啟發(fā),甚至可以略加推廣修改而“照搬”過去。這就是說,特殊問題的解決往往孕育著一般問題的解法,即共性孕育在個(gè)性之中,這就是特殊化法的理論根據(jù)。

    【關(guān)鍵詞】特殊化 數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)問題

    一、 特殊化的基本思想

    特殊化策略即視原問題為一般,構(gòu)造其特殊問題,通過對特殊問題的解決而獲得原問題的解決。特殊化作為劃歸策略,基本思想是很簡單的,相對于“一般”而言,“特殊”問題往往顯得簡單、直觀、和具體,容易解決,并且在特殊問題的解決過程中,常常孕育著一般問題的解決。因此,人們在對某個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題解決有困難時(shí),常常會想到先解決它的特殊情況,然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)果應(yīng)用或推廣到一般問題之上,而獲得一般性問題的解決。 從形式上看,將一般性問題特殊化是不困難的,但某個(gè)一般性問題經(jīng)過不同的特殊化處理會得到多個(gè)不同的特殊化命題。顯然,較為理想化的特殊問題是其自身容易解決,且從其解決過程中又易發(fā)現(xiàn)或得到一般性問題的解法。

    二、 特殊化數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵

    凡數(shù)學(xué)問題均由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。對于選擇題,題設(shè)即是題干,結(jié)論即為選擇支。用集合的觀點(diǎn)

    說: 題設(shè)和結(jié)論都由數(shù)學(xué)問題所涉及的對象構(gòu)成的集合及其元素間的關(guān)系構(gòu)成。特殊化思想是將數(shù)學(xué)習(xí)題的題設(shè)元素特殊化,然后根據(jù)特殊化元素尋求問題的結(jié)論,或?qū)⒔Y(jié)論中元素特殊化,然后根據(jù)特殊化元素驗(yàn)證問題的結(jié)論的數(shù)學(xué)思想。對于數(shù)學(xué)選擇題,用特殊化的思想解決問題的過程是從題干或選擇支出發(fā),通過選取特殊元素,依據(jù)問題在一般情況下真則在特殊情況下亦真,反之,在特殊情況下不真則在一般情況下亦不真的原理,肯定某一選擇支或否定其余選擇支的過程。

    特殊化是將所學(xué)的數(shù)學(xué)事實(shí)“退”到屬于它的特殊狀態(tài)(數(shù)量或位置關(guān)系)下進(jìn)行探索和研究,從而達(dá)到解決問題目的的一種思維方法。用它來解選擇題、填空題,有時(shí)顯得方便、快捷;用它來分析一個(gè)復(fù)雜問題,則對思路的形成往往具有很強(qiáng)的啟發(fā)性。

    三、特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運(yùn)用

    特殊化策略是一種“退”的策略,所謂“退”,可以從復(fù)雜退到簡單,從一般退到特殊,從抽象退到具體,從空間退到平面,正如華羅庚先生所說,退到最原始而不失去重要性的地方,把簡單的、特殊的問題搞清楚了,并從這些簡單的問題的解決中,或者獲得解題思路,或者提示解題方向,或者發(fā)現(xiàn)一般問題的結(jié)論,或者得到化歸為簡單問題的途徑,從而再“進(jìn)”到一般性問題上來。

    “共性存在于個(gè)性之中” 。對于在一般情況下難以解決的問題(尤其是選擇題、填空題這些不需要解題過程且答案唯一的題目),可應(yīng)用“特殊化思想”。通過取特殊值、特殊圖形等,使問題得到簡便巧妙的解決。

    (一)利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性

    思維的周密性是指,在分析問題解決問題的過程中,周到而細(xì)密地考慮到問題的各種可能情況的一種思維品質(zhì)。其反面表現(xiàn)為思維不嚴(yán)謹(jǐn)、有漏洞,是學(xué)生最常見的一種思維缺陷。在教學(xué)中,教者若能恰當(dāng)利用特殊化方法(如特殊值、特例、特殊情形等),揭示學(xué)生的問題所在,可使學(xué)生有頓悟之感,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性的目的。

    在許多數(shù)學(xué)問題中,由于抽象、概括程度較高,直接發(fā)現(xiàn)或改正這些性質(zhì)往往感到困難,這時(shí),可以先試探它的特殊、局部情況的特性,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解答的方法,例如,對變量總是我們從特殊最佳入手探索,對多變量的問題,可先考慮單個(gè)或少數(shù)變量的情況;對含參量的問題,可先給參量賦值,探討不含參量的普通問題;對一般的圖形問題,可先考慮特殊圖形或圖形特殊位置的問題等等。這樣先把問題簡化,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,再去解決一般性的問題。

    (二)利用特殊化方法,培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

    學(xué)生思維能力的提高,需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程。在這個(gè)過程中,學(xué)生對自己解答的正確性,對所提供解答(書上的或他人的)的合理性,缺乏一定的判斷能力,這時(shí)若能抓住問題中的特殊情況加以考慮,使學(xué)生認(rèn)識到解答中的錯(cuò)誤或不合理,提高學(xué)生辨別是非的能力,這正是養(yǎng)學(xué)生思維批判性的有效途徑。

    (三)利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

    思維的廣闊性。就是善于從不同角度、不同方面去思考問題,尋求變異,尋求解答的一種思維品質(zhì)。利用特殊化方法尋求一題多解、一題多變,對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性無疑是十分有益的。

    所謂特殊化是從對象的一個(gè)約定集合,轉(zhuǎn)而考慮含于這個(gè)集合內(nèi)的較小集合的思維方法,是數(shù)學(xué)思維中重要的實(shí)驗(yàn)手段,為發(fā)現(xiàn)一般性問題的解法結(jié)論乃至提示新信息等方面起重要作用,因而在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中有廣泛的應(yīng)用。歷來都受數(shù)學(xué)家們的重視。華羅庚教授說:“這是一般的研究方法,先足夠地退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方去,看透了,鉆深了,然后再上去?!?/p>

    當(dāng)我們遇到抽象程度高的,一時(shí)難以想象的問題時(shí),就應(yīng)對其某些特殊情況進(jìn)行考察,以打開我們的思路,拓寬視野,這有助于我們從特殊性認(rèn)識普遍性,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法,推進(jìn)問題的解決。由于它是一種試探手段,因此,在解決特殊化問題時(shí),眼光應(yīng)一直注視于一般有用的東西上。

    (四)利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生思維的敏銳性

    思維的敏銳性,就是指在分析問題解決問題的過程中,探求研究問題的實(shí)質(zhì)以及問題之間內(nèi)在聯(lián)系的一種思維品質(zhì)。在許多數(shù)學(xué)問題中,抓住問題的本質(zhì),利用特殊化方法探路,往往有助于我們打開思路。

    特殊性化伯為休歸策略,基本思想是委簡單的:相對于“一般”而言,“特殊”問題往往顯得簡單、直觀和具體,容易解決。并且在特殊問題的解決過程中,常常蘊(yùn)藏著一般問題的解決。因此,人們在對某個(gè)一般性的數(shù)學(xué)問題解決有困難時(shí),常常會想到先解決它的特殊情況,然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)果應(yīng)用或推廣到一般問題之上,而獲得一般問題的解決。

    數(shù)學(xué)中的特殊化具有明確的目的性。首先是給抽象命題以內(nèi)容和意義,以便更好地了解所面臨的問題、發(fā)現(xiàn)可能的解題途徑其次則是借以發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論何以是真的,或何以是假的。所以,在特殊化時(shí),不應(yīng)對任意的特例去進(jìn)行考察,而應(yīng)注意到我們較為熟悉的、較有把握的對象.常由隨意的特殊化去了解問題,由系統(tǒng)的特殊化為一般提供基礎(chǔ),由巧妙的特殊化去對一般性的結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。

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