淺析高中數(shù)列解題的錯誤類型及解題策略

鄭晨

【摘 要】數(shù)列是高中數(shù)學(xué)知識的重要內(nèi)容，它是一種特殊的函數(shù)，具有較為多變的性質(zhì)以及題目類型。近年來關(guān)于解題錯誤的研究非常多，本文主要分析在高中數(shù)列學(xué)習(xí)中，常見的一些錯誤類型，以及錯誤的修正策略，使教師以后的教學(xué)更具針對性，學(xué)生能夠更好的完善數(shù)列這一模塊的知識體系。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)列；易錯類型；策略

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，它是體現(xiàn)函數(shù)離散現(xiàn)象的一個數(shù)學(xué)模型。同時，數(shù)列也是一項特殊的函數(shù)，對于學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)有著重要的作用。在高考的試題中，數(shù)列也是常見的易考對象，它與方程、函數(shù)、不等式、概率等內(nèi)容綜合出題，具有多變的考題模式，學(xué)生在處理數(shù)列問題時也經(jīng)常出現(xiàn)一些錯誤。

1.數(shù)列的定義

在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中，我們這樣定義數(shù)列：

若函數(shù)f的定義域為全體正整數(shù)集合N+，則稱f：N+→R或f（n），n∈N+為數(shù)列。因正整數(shù)集N+的元素可按由小到大的順序排列，故數(shù)列f（n）也可寫作a1，a2，…，an，…或簡單地記為{an}，其中稱an為該數(shù)列的通項。

而在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)列的定義可以這樣表述：

數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的特殊函數(shù)，如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，則這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。

2.數(shù)列解題的易錯點

2.1對數(shù)列的概念理解不準(zhǔn)而致錯

例1已知數(shù)列{an}是遞推數(shù)列，且對于任意的n∈N+，an=n2+λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是____。

錯解 因為an=n2+λn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且n≥1，所以-≤1，解得λ≥-2。

錯因分析 數(shù)列是以正整數(shù)N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）為定義域的函數(shù)，因此它的圖像只是一些孤立的點。

正解

正解一：因為an=n2+λn，其圖像的對稱軸為n=-，由數(shù)列{an}是單調(diào)遞增函數(shù)列有-≤1，得λ≥-2。當(dāng)2-（-）>--1，即λ>-3時，數(shù)列{an}也是單調(diào)遞增的。故λ的取值范圍為{λ|λ≥2}∪{λ|λ>-3}={λ|λ>-3}，即λ>-3為所求取值范圍。

正解二：因為數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an+1-an>0（n∈N+）恒成立，又an=n2+λn，（n∈N+），所以（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）>0恒成立，即2n+1+λ>0。所以λ>-（2n+1）（n∈N+）恒成立。而n∈N+時，-（2n+1）的最大值為-3（n=1時），所以λ>-3即為所求范圍。

反思 利用函數(shù)觀點研究數(shù)列性質(zhì)時，一定要注意到數(shù)列定義域是{1，2，3，4，…，n，…}或其子集這一特殊性，防止因擴(kuò)大定義域而出錯。

2.2忽視公式an=Sn-Sn-1的適用條件導(dǎo)致錯誤

例2設(shè)數(shù)列[an]的前n項和Sn=3n2-n+2（n∈N+），求{an}的通項公式

錯解 ∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4

錯因分析 求數(shù)列的通向公式是本章最常見的問題，此處的易錯之處是：根據(jù)數(shù)列的前n項的特征歸納數(shù)列的通項公式時，考慮不全面而出錯；或者在利用前n項和公式求通項時沒有檢驗n=1的情況而出錯；或者對通項公式理解不夠透徹而出錯。避免出現(xiàn)這些錯誤的方法就是驗證，本例正是由于沒有檢驗n=1的情況才導(dǎo)致了錯誤。

正解 當(dāng)n>2時，∵an=Sn-Sn-1=3n2-n+2-[3（n-1）2-（n-1）+2]=6n-4，∴an=6n-4；當(dāng)n=1時，a1=S1=4，不滿足上式?！鄶?shù)列{an}的通項公式為an=4（n=1）

6n-4（n≥2）

2.3錯用等差數(shù)列的性質(zhì)導(dǎo)致錯誤

例3設(shè){an}是等差數(shù)列，ap=q，aq=p（p≠q），試求ap+q。

錯解 ∵{an}是等差數(shù)列，∴ap+q=aP+aq=p+q。

錯因分析 在運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)時，由于理解不深刻，從而出現(xiàn)性質(zhì)混淆、亂用的現(xiàn)象。解決方法是對性質(zhì)進(jìn)行正面來加深對它們的理解，尤其是在運(yùn)用“若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（m，n，p，q∈N+）”的性質(zhì)時，必須是兩項相加等于兩項相加，否則不成立。如：

a15≠a7+a8，a7+a8=a6+a9，a1+a21≠a22，a1+a21=2a11

正解

正解一：設(shè)公差為d，則ap=aq+（p-q）d，

∴d===-1

∴ap+q=ap+（q+p-p）d=q+q×（-1）=0

2.4混淆等差數(shù)列的性質(zhì)與前n項和的性質(zhì)導(dǎo)致錯誤

例4在等差數(shù)列{an}中，已知S6=10，S24=24，求S18

錯解 在等差數(shù)列{an}中，S6，S12，S18成等差數(shù)列，∴2S12=S6+S18即2×24=10+S18，∴S18=38

錯因分析 在等差數(shù)列中，下標(biāo)成等差數(shù)列的項仍成等差數(shù)列，即ak，a2k，a3k仍成等差數(shù)列，但Sk，S2k，S3k不一定成等差數(shù)列，應(yīng)是Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差數(shù)列?；煜鲜鲂再|(zhì)，容易造成錯誤。本例中，雖然下標(biāo)6，12，18成等差數(shù)列，但S6，S12，S18不成等差數(shù)列，應(yīng)是連續(xù)6項的和，即S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列。

正解 在等差數(shù)列{an}中，因為S6，S12-S6，S18-S12成等差數(shù)列，所以2（S12-S6）=S6+S18-S12，即2×（24-10）=10+S18-24，解得S18=42

反思 等差數(shù)列具有一些特殊的性質(zhì)，有些可以延伸到等差數(shù)列前n項和中，但是特別的，并不能類比在等差數(shù)列前n項和中使用，這樣容易出現(xiàn)性質(zhì)應(yīng)用中的錯誤。

3.解題策略

3.1牢記定義、公式，靈活運(yùn)用性質(zhì)

3.2運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)歸題目解類型

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（吉林師范大學(xué)教育科研振興基金重點研究項目——基于教師專業(yè)發(fā)展的職前培養(yǎng)與職后培訓(xùn)的一體化模式創(chuàng)新研究（jsjkzx201402））