發(fā)展幾何直觀能力 提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

林希光

【摘要】幾何直觀能力的培養(yǎng)能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在教學(xué)過程中，應(yīng)注重運用幾何直觀進行教學(xué)，幫助學(xué)生認識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，學(xué)會運用幾何直觀來描述問題、分析問題和解決問題，并在這個過程中有意識地發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

【關(guān)鍵詞】小學(xué)教學(xué)；幾何直觀；能力培養(yǎng)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

關(guān)于小學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵，國內(nèi)許多專家給出了不同的詮釋.有的認為是指課程標準中提出的十大核心概念；有的認為它涵蓋了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等幾大素養(yǎng)；還有的則認為是學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)意識.無論哪種觀點，都離不開思維、意識.我認為，小學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，指的就是學(xué)生通過自身學(xué)習(xí)思考和參與實踐活動獲得數(shù)學(xué)知識的能力和品質(zhì)，并能夠運用數(shù)學(xué)的觀點思考問題，通過數(shù)學(xué)的方式解決問題.具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，能夠從數(shù)量關(guān)系的角度來觀察世界，從空間位置的變化去認識世界，會主動將數(shù)學(xué)視同不可或缺的能力，作為傳遞信息的手段.

幾何直觀能力，包含空間想象力、直觀洞察力，以及用圖形語言來思考問題的能力（也就是我們平時所說的數(shù)形結(jié)合）.空間想象能力，指的是包含我們識圖、畫圖、制作模型、觀察物體等等；直觀洞察力，是對事物更深層次的思考，包括觀察、分析、對比、推理等等，反映了孩子的學(xué)習(xí)智慧；數(shù)形結(jié)合，則是一種數(shù)學(xué)思想，它能將復(fù)雜的問題簡單化、抽象的概念具體化、隱藏的關(guān)系外顯化，大大簡化了讀題、解題的過程，達到事半功倍的效果.這三者是一個由低到高逐漸發(fā)展的過程.幾何直觀能力的發(fā)展，能夠促進孩子思維的發(fā)展，提升孩子們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

借助幾何直觀開展教學(xué)過程，是一個有效的手段.因此，我們在教學(xué)中應(yīng)重視學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)，幫助孩子們更清晰地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，養(yǎng)成用幾何直觀思考問題的思維習(xí)慣.

一、用圖形了解圖形

這里所說的“以形助形”，也就是讓學(xué)生通過觀察、體會靜態(tài)或動態(tài)圖形間的區(qū)別與聯(lián)系，建立表象，揭示圖形間的變化規(guī)律及其本質(zhì)特征.

在執(zhí)教“周長的認識”一課時，我設(shè)計了這樣一道練習(xí)：喜羊羊和灰太狼進行跑步比賽，它們要在這樣的跑道上進行比賽（如圖）.

同學(xué)們，你們覺得公平嗎？

孩子們乍一聽愣了！部分孩子們馬上提出左圖的周長長，右圖的周長短；另外一部分孩子們覺得應(yīng)該是一樣長的，卻無法解釋為什么是這樣.

接下來，我把右圖中的兩條線段進行了平移，孩子們馬上就發(fā)現(xiàn)這其實是形狀不同而周長相同的兩幅圖形?。⊥ㄟ^這樣的動態(tài)演示，進而鞏固了孩子們關(guān)于周長概念的理解，同時讓孩子們了解到形狀不同，周長也可能相同，對“周長相等”的外延有了新的認識.

接著，讓孩子們繼續(xù)判斷，如果改成這樣的兩個跑道？還公平嗎？（如圖）

這兩個圖形通過平移的方式不能得到結(jié)果，怎么辦呢？請方格紙來幫忙！有了方格紙，孩子們可以一目了然地數(shù)出兩幅圖形的周長分別是12段和14段.方格紙是一種由許多小正方形組成的圖形，也是非常常見的學(xué)習(xí)工具.用方格紙幫助孩子們再次加深了對“周長是封閉圖形一周的長度”這句話的理解，補充了孩子們對周長的表象建構(gòu)，也讓孩子們體會到不規(guī)則圖形的周長計算，可以用方格紙來進行度量.

像這樣，用方格紙、用動態(tài)圖來幫助孩子們理解圖形、發(fā)現(xiàn)圖形間的聯(lián)系、鞏固幾何概念的本質(zhì)，不僅拓寬了孩子們解決問題的思路，還增強了孩子們使用數(shù)學(xué)工具的意識.

二、用圖形詮釋數(shù)據(jù)

最典型的例子就是數(shù)軸.數(shù)軸，既是一種幾何圖形，又是一種非常常用的數(shù)學(xué)工具.在數(shù)軸上，每一個數(shù)都能找到其相對應(yīng)的點.這一特點，可以幫助我們進行數(shù)的認識、計算、解決問題、找規(guī)律等知識的教學(xué).

例如，負數(shù)的大小比較及運算時，孩子們比較容易出現(xiàn)錯誤，讓孩子們記住“-”后面的數(shù)越大，它的值反而越小，這樣的結(jié)論比較抽象.

因此，為了讓孩子們更直觀地判斷負數(shù)之間、負數(shù)與正數(shù)之間地大小，引入了數(shù)軸的概念（如圖）.在比較-2與-4的大小時，只要把它們都表示在數(shù)軸上后，觀察-4的點在-2點的左邊，根據(jù)數(shù)軸上“左邊的數(shù)<右邊的數(shù)”這一特點，很直觀地發(fā)現(xiàn)-4﹤-2；在計算-2到+3之間相差多少時，我們可以通過數(shù)一數(shù)數(shù)軸上從-2所對應(yīng)的點到3所對應(yīng)的點之間共有5個單位長度，故它們之間相差5.

通過“幾何直觀”，就可以把數(shù)的大小比較問題轉(zhuǎn)化成為尋找?guī)缀螆D形前后左右位置關(guān)系問題，把求數(shù)與數(shù)之間相差量的問題轉(zhuǎn)化為圖形中點與點之間相距的長度問題，原本抽象、乏味的數(shù)量問題一下子變得明朗、形象.當(dāng)孩子們多次利用數(shù)軸來解決問題后，再遇到類似的問題，在頭腦中能夠自然而然地想到數(shù)軸來建立表象，這樣就達到了我們利用幾何直觀來發(fā)展孩子們數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)意識的目的.

三、用圖形表達關(guān)系

借助看得見、摸得著的東西幫助學(xué)生把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系明了化、清晰化，幾何直觀拓寬了我們解決問題的思路.在利用幾何圖形進行數(shù)量關(guān)系的描述、發(fā)現(xiàn)并解決未知問題上，線段圖起到了功不可沒的作用.

例如，“植樹問題”：在100米的道路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要摘幾棵？為了方便研究，我們先考慮簡單的情況——“在20米的道路兩邊植樹”，要解決這個問題就要考慮到植樹問題的所有情況，利用線段圖，讓孩子們經(jīng)過討論，描述出三種不同的圖形語言：

對于四年級的孩子們來說，讓它們單純通過文字表述，想象出以上三種結(jié)論并不容易.但是，當(dāng)我們把“道路”抽象成一條線段，把“樹”抽象成線段上的點，“每隔5米栽一棵樹”抽象成“每隔一個單位長度點一個點”，那么借助點與線的組合，我們就能直觀地發(fā)現(xiàn)植樹問題的三種情況中棵樹與段數(shù)之間的關(guān)系，建立起數(shù)學(xué)模型，有了這樣的模型，孩子們在解決植樹問題時全面思考，思路清晰，大大提高了解決問題的效率.

又如：高年級孩子們做過這樣的一道題目：“王叔叔要買一件上衣和一條褲子，一件上衣600元，一條褲子300元，商場促銷活動，超出400元的部分打八折，王叔叔是分開買還是合著買更便宜，便宜多少錢？”結(jié)果發(fā)現(xiàn)百分之九十的孩子的方法是：

分著買：（600-400）×80%+400+300=860（元）；

合著買：（600+300-400）×80%+400=800（元）；

860-800=60（元）.

這種方法很好解讀，是我們的一般化的思路.

然而一名同學(xué)給出了這樣的算式300×（1-80%）=60（元），這又是什么意思呢？孩子自己也說得不是很清楚，其他孩子們更是聽不明白.這時老師給出了線段圖：

老師一給出線段圖，孩子們立刻就明白了.哦，其實多出來的不就是300元的20%嗎？試想，如果從小就有這種利用幾何直觀解決問題的意識，那么將來在面對解決比較復(fù)雜的問題時，孩子們就多了一個幫手，一種工具，通過它對發(fā)展自己的空間想象能力、數(shù)量關(guān)系的理解能力等也都是有好處的.

四、用圖形幫助分析

幾何直觀，不僅僅是指圖形直觀，數(shù)學(xué)中的運算符號、箭頭、方框等建構(gòu)起的簡約的符號直觀，它同樣能夠幫助孩子們理解題意，分析問題.

例如，一年級的看圖列式：

另外，在下圖中的問題中，孩子

們通過畫圖，用點子圖來代表人，并找到小麗在第10個，小宇在第15個，那么小麗和小宇之間有多少人？

通過數(shù)點子的個數(shù)就一目了然了.

當(dāng)孩子們在面對較復(fù)雜的問題時，我們應(yīng)鼓勵孩子們通過畫圖的方法進行整理，梳理題目中的信息、條件和問題，使孩子們感受到畫圖能清楚地理解題意、分析題意，達到解決問題的目的.

有學(xué)者認為：“幾何直觀是數(shù)學(xué)中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，它在內(nèi)容上、意義上和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究意義.”

作為一線老師，我們應(yīng)該充分利用幾何直觀向孩子們解釋研究對象的性質(zhì)和關(guān)系，使孩子們認識幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義和作用，學(xué)會用幾何直觀來思考和分析問題，拓展數(shù)學(xué)思維，增強數(shù)學(xué)意識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).