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    極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分中積分限轉(zhuǎn)換的一種簡(jiǎn)單方法

    2017-01-17 16:45:03孫茜
    關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)換極坐標(biāo)

    孫茜

    【摘要】在用極坐標(biāo)變換法計(jì)算二重積分時(shí),對(duì)于如何轉(zhuǎn)換積分限是難點(diǎn),本文提出了一種容易理解和掌握的方法.

    【關(guān)鍵詞】極坐標(biāo);二重積分;轉(zhuǎn)換

    二重積分的計(jì)算通常是在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行,對(duì)于被積函數(shù)含有x2+y2或者積分區(qū)域是圓、扇形、弧形的二重積分,將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到極坐標(biāo)系下計(jì)算比較簡(jiǎn)單,常見的轉(zhuǎn)換方法是將直角坐標(biāo)系中原點(diǎn)看成極坐標(biāo)系下極點(diǎn),x正半軸為極軸,根據(jù)Df(x,y)dxdy=Df(rcosθ,rsinθ)rdrdθ轉(zhuǎn)換,其中如何將直角坐標(biāo)系下積分限轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系下的積分限是難點(diǎn),本文結(jié)合兩道典型例題對(duì)此難點(diǎn)提出了一種容易理解和掌握的方法.

    教材中將二重積分在極坐標(biāo)變換下的轉(zhuǎn)換方法分為三種,分別為:α≤θ≤β,φ1(θ)≤r≤φ2(θ);α≤θ≤β,0≤r≤φ(θ);0≤θ≤2π,0≤r≤φ(θ),在實(shí)際解題中,很多學(xué)生很難區(qū)分具體用哪種方法并頻繁得到錯(cuò)誤結(jié)果,實(shí)際上,如果結(jié)合圖形看:

    若將極軸Ox看成一條繞著極點(diǎn)O移動(dòng)的動(dòng)直線,動(dòng)直線Ox逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為正角,動(dòng)直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度視為負(fù)角,逆時(shí)針移動(dòng)動(dòng)直線Ox從正角α開始接觸積分區(qū)域到正角β結(jié)束剛好完全掃過積分區(qū)域,因此角θ的范圍為α≤θ≤β.

    對(duì)于r的范圍可以這樣看:從極點(diǎn)O出發(fā)引射線穿過積分區(qū)域,只允許射線與積分區(qū)域至多有兩個(gè)交點(diǎn)(如果交點(diǎn)多于兩個(gè),則需要對(duì)積分區(qū)域分割),觀察射線與積分區(qū)域的交點(diǎn)位置,先交區(qū)域D的交點(diǎn)所在的曲線為r的下限,后交區(qū)域D的交點(diǎn)所在的曲線為r的上限,因此r的范圍為:r1(θ)≤r≤r2(θ),因此直角坐標(biāo)系下的二重積分轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算式子為:

    下面舉例說明:

    例1 求Dx2+y2dxdy,D:x2+y2≤2ax(a>0).

    分析:如圖1,逆時(shí)針和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)極軸Ox才能將區(qū)域D完整覆蓋,轉(zhuǎn)動(dòng)最大角90°和最小角-90°,因此角θ的范圍是-90°到90°,從極點(diǎn)(原點(diǎn))出發(fā)引射線交區(qū)域D于兩點(diǎn),其中一點(diǎn)與O重合,此時(shí)r為0,另外一點(diǎn)所在的曲線為x2+y2=2ax(a>0),其中x=rcosθ,y=rsinθ,轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)系下的曲線為r=2acosθ,因此

    例2 求Dx2+y2dxdy,其中D是由圓y=4-x2和y=-x2-2x所圍的區(qū)域.

    分析 如圖2,從極點(diǎn)(原點(diǎn))出發(fā)引射線,觀察射線與區(qū)域的交點(diǎn),注意到所引的射線在第一象限和第二象限時(shí)與區(qū)域的交點(diǎn)所在的曲線不同,因此該題用極坐標(biāo)變換定限時(shí)要將區(qū)域D分割定限.y=4-x2,y=-x2-2x化成極坐標(biāo)中曲線得r=2,r=-2cosθ.根據(jù)上面的方法易知第一象限區(qū)域D1的θ范圍0≤θ≤π2,從極點(diǎn)引射線交區(qū)域于極點(diǎn)和曲線r=2,因此D1:0≤θ≤π2,0≤r≤2,同理極軸Ox剛好掃過第二象限區(qū)域D2需旋轉(zhuǎn)范圍π2≤θ≤π,極點(diǎn)O引射線依次交曲線r=-2cosθ,r=2,得到D2:π2≤θ≤π,-2cos

    2總結(jié) 對(duì)于用極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ解決直角坐標(biāo)系下的二重積分計(jì)算問題,只要認(rèn)清極點(diǎn)和極軸在直角坐標(biāo)系中的位置,通過繞極點(diǎn)移動(dòng)極軸使它剛好覆蓋積分區(qū)域,觀察它的角度變化范圍便得到角θ的范圍,過極點(diǎn)引射線觀察射線與積分區(qū)域交點(diǎn),交點(diǎn)所在的曲線來(lái)定r的上下限,在實(shí)際解題過程中,這種方法不容易出錯(cuò)且易于掌握.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上)[M].第7版.北京:高等教育出版社,2014.

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