多面體的外接（內(nèi)切）球半徑的求法舉要

張世林+譚斌

求三視圖還原而成的幾何體的外接（內(nèi)切）球的表面積或體積的問題在2016屆各地的高考模擬題中大量出現(xiàn)，這是高考的重點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點.困難表現(xiàn)在兩個方面：一是根據(jù)三視圖如何準(zhǔn)確還原幾何體；二是依據(jù)畫出的幾何體的特征如何采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笸饨樱▋?nèi)切）球的半徑.現(xiàn)就此類問題的常見求法舉例分析如下.

1找“墻角”

例1已知某幾何體的三視圖1如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）

圖2解析如圖2，還原的多面體就是三棱錐A-BCD，其外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球，注意：DC，DE，DF兩兩互相垂直，形似“墻角”，而長方體的體對角線就是其外接球的直徑.故外接球的直徑

2r=22+22+42=26，球的表面積S=4πr2=24π，故選C.

2尋外心

①當(dāng)幾何體中出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半，球心為直角三角形斜邊中點（即直角三角形的外心）.

②因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，截面圓上的點與圓心、球心構(gòu)成直角三角形，運用公式R2=r2+d2求半徑.

例2已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，如圖3，AB⊥BC且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，求球O的體積.

圖3解析AB⊥BC且PA=7，PB=5，PC=51，AC=10，因為72+512=102，所以知AC2=PA2+PC2，所以PA⊥PC，所以在Rt△ABC中斜邊為AC，在Rt△PAC中斜邊為AC，取斜邊的中點O，在Rt△ABC中，OA=OB=OC，在Rt△PAC中，OP=OB=OC，所以在幾何體中OP=OB=OC=OA，即O為該四面體的外接球的球心，R=12AC=5，所以該外接球的體積為V=43πR3=500π3.

例3已知三棱錐S-ABC所在頂點都在O的球面上，且SC⊥平面ABC，若SC=AB=AC=1，∠BAC=120°，則球O的表面積為.

圖4解析如圖4，以底面三角形ABC的邊AB，AC為鄰邊作菱形ABDC，再作OD⊥平面ABC，又因為SC⊥平面ABC，所以O(shè)D∥SC，過點D作DE⊥SC，垂足為E，在直角梯形ODCS中，OC=OS=r，所以可得OD=12，所以r=OD2+OE2=122+1=52，則球的表面積為S=4πr2=4×π×522=5π，故應(yīng)填5π.

變式：一幾何體的三視圖如圖5，則它的外接球的表面積為（ ）

圖5A. 12πB. 16πC.20πD. 24π

圖6解析如圖6，還原的多面體就是三棱錐P-ABC，AB⊥BC，面PBC⊥面ABC，∠PBC=120°，AB=AC=2，先找出△ABC的外心即斜邊AC的中點I，設(shè)球心為O，連結(jié)OA，OI，OP，顯然OI⊥平面ABC，過點P作PE⊥BC交BC于E，連結(jié)IE，那么PE∥OI，過球心O作OF∥IE交PE于F，顯然四邊形OIEF為矩形，設(shè)OI=h，OA，OP為球半徑r，EB=2cos 60°=1，PE=3，在△CEI中由余弦定理易得EI=5，因為h2+22=52+3-h2，得h=3，從而r=5，S=20π，故選C.

3作截面

通過尋找外接球的一個軸截面圓，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.

例3已知一幾何體的三視圖如圖4所示，則此幾何體的外接球的體積為.

圖4圖5解析由三視圖易得，幾何體為如圖5所示的正四棱錐，設(shè)正四棱錐的底面中心為O1，外接球的球心為O，如圖所示，由球的截面性質(zhì)，可得O1O⊥平面ABCD，又SO1⊥平面ABCD，所以球心O必在SO1所在的直線上，所以△ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑，在△ASC中，由SA=SC=2，AC=2，得SA2+SC2=AC2，即SA⊥SC，所以AC是△ASC的外接圓的直徑，即為外接球的直徑，故V=43π.

4用結(jié)論

正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合于正四面體的高線上一點，外接球與內(nèi)切球的半徑之和等于正四面體的高，外接球的半徑等于內(nèi)切球半徑的3倍，外接球的半徑等于正四面體棱長的64，內(nèi)切球的半徑等于正四面體棱長的612.

例4如圖6所示為某幾何體形狀的紙盒的三視圖，在此紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體的棱長的最大值為（）

A.33B.13C.24D.324

解析顯然由三視圖還原而成的紙盒是棱長為3的正四面體，利用上述結(jié)論可得紙盒的內(nèi)切球半徑為24，要使小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，要求小正四面體棱長的最大值，即小正四面體的外接球就是紙盒的內(nèi)切球.易得小正四面體的棱長的最大值為33，故選A.

圖71.如圖7，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為.

2.在四面體ABCD中，共頂點的三條棱兩兩垂直，其長度分別為1，6，3，若該四面體的四個頂點在一個球面上，求這個球的表面積.

3.如圖8是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

A.83 B.43C.823 D.423

4.如圖9，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（ ）

A.6πB.7π C.12πD.14π

如圖10，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為（ ）

A.8π B.252π C.12πD.414π

答案1.41π；2.S=4πR2=16π；3.A；

4.D；5.D