以不變的“方法”應(yīng)對萬變的“試題”

呂二動+劉占權(quán)

【摘要】隨著課改的進一步實施，高考在考查知識點上更具針對性和靈活性.主要體現(xiàn)在考學(xué)生分析問題、解決問題的能力和方法，這些能力的提高關(guān)鍵在于我們的課堂是否有效、高效.特別是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性問題，高三復(fù)習(xí)課應(yīng)從典型的基礎(chǔ)問題入手，進行有效的變式教學(xué)，課堂教學(xué)有效性的核心內(nèi)容是學(xué)生的發(fā)展，是學(xué)生對知識的自我構(gòu)建和形成能力.

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課；教學(xué)及思考

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，如何真正做到精講精練，提高復(fù)習(xí)效率，是高三數(shù)學(xué)老師所面對的一個重要課題.課堂上必須是學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，學(xué)生全面參與教學(xué)，知識體系、技能方法是學(xué)生自我構(gòu)建的，而不是老師教給學(xué)生，更不是死記硬背.構(gòu)建主義理論同樣適用于高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)，新課程理念與高考并不矛盾，相反，高三復(fù)習(xí)課必須在新課程理念的指導(dǎo)下才能最大限度地提高課堂教學(xué)的有效性，才能大面積提高學(xué)生綜合運用知識的能力和創(chuàng)新的能力.下面來看課例：復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

例1設(shè)a為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3-ax2-a2x+1，x∈R，若y=f（x）至多有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

師：請同學(xué)們思考3分鐘，找到解題的思路.

師：甲同學(xué)請你說說你的思路.

甲同學(xué)：老師，我還沒有想出來.

師：沒關(guān)系，說說你這3分鐘想了些什么？

甲同學(xué)：如果是二次函數(shù)就好了，可以畫圖象，是根的分布問題，可是三次函數(shù)我不會畫它的圖象.

師：你能從函數(shù)圖象的角度去思考問題，很好，有沒有同學(xué)會畫三次函數(shù)的大致圖象呢？畫出它的大致圖象對解這道題有幫助嗎？

乙同學(xué)：老師，只要求出函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間就可以畫出它的大致圖象，再看圖象與x軸的交點就可知道根的情況.

師：大家想一想，你們是否同意乙同學(xué)的說法？大家可以相互討論.（學(xué)生討論）

師：乙同學(xué)的思路很好，接下來請大家求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，畫出至多有兩個零點時函數(shù)的大致圖象，得出你的結(jié)論.

學(xué)生基本做完后，教師講解，簡略的解題過程如下：

解y′=3x2-2ax-a2（a>0），

當(dāng)x<-a3時f′（x）>0；

當(dāng)-a3

當(dāng)x>a時f′（x）>0.

所以f（x）在（-∞，-a3），（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（-a3，a）上單調(diào)遞減.

所以f（x）極大=f（-a3）=527a3+1，f（x）極小=f（a）=1-a3.

圖1如圖，因為a>0，所以527a3+1>0，y=f（x）至多有兩個零點，必須滿足1-a3≥0，所以0

師：下面做變式1：設(shè)a為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3-ax2-a2x+1，當(dāng)x>0時，f（x）>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.（學(xué)生思考2分鐘）

師：丙同學(xué)，說說你的做法.

丙同學(xué)：老師，從上面的圖象可以看出，只要f（x）在（0，+∞）上的最小值1-a3>0即可，所以0

師：回答得非常好，很正確，大家明白了嗎？（老師作簡要講解）

師：現(xiàn)在我們做下面這道題（變式2）：已知x>0，證明不等式x3≥x2+x-1.（思考3分鐘）

師：請同學(xué)舉手回答.好的，丁同學(xué)說說你的看法.

丁同學(xué)：將不等式變形為x3-x2-x+1≥0，它的左邊就是上題中a=1時的f（x），此時f（x）在（0，+∞）上的最小值為0，所以x3-x2-x+1≥0成立，所以x3≥x2+x-1得證.

師：回答得很好，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，只需證明函數(shù)的最小值大于或等于零即可，請大家寫出解答過程，丁同學(xué)到黑板寫出你的解答過程.（過程略）

師：同學(xué)們想一想，例1及它的兩個變式題核心內(nèi)容是什么？由它們的解答過程你能得到什么啟發(fā)？這里面有什么數(shù)學(xué)思想方法？

學(xué)生自由回答，相互補充后教師總結(jié).

師：例1及它的變式本質(zhì)上都是利用函數(shù)的極值或最值去解決問題的，在這個過程中結(jié)合函數(shù)圖像能更直觀地解決問題，從這3個題中我們還能發(fā)現(xiàn)函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，方程和不等式是函數(shù)的兩種狀態(tài)，即y=0或y>0，y<0時的狀態(tài)，所以方程問題，不等式問題都可以借助函數(shù)來解決.下面留兩道習(xí)題課后完成.

1.已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x，

g（x）=xlnx.

（1）求函數(shù)f（x）的最大值；

（2）設(shè)0

2.已知x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x2-10x的一個極值點.

（1）求a的值；

（2）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍.

給這兩道題的目的是讓學(xué)生鞏固最值與極值相關(guān)知識的同時又有創(chuàng)新，第一題的第二問有兩個字母，應(yīng)該將一個字母當(dāng)成參數(shù)，另一個字母當(dāng)成變量，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求導(dǎo)解決，第二題的第二問在形式上與例1不一樣，變成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，但本質(zhì)上是一樣的，仍然是方程根的個數(shù)問題.（解答過程略）

在這節(jié)課中，學(xué)生經(jīng)歷了“思考”、“實踐”、“歸納”、“創(chuàng)新”幾個過程，是課堂的真正主體，這些題目的完成，思考及思想方法的歸納，很大程度上是學(xué)生自己完成的，知識是學(xué)生自己構(gòu)建的，不是老師灌給他的.當(dāng)然學(xué)生不可能想得很全面，個體差異也很大，這就需要老師的幫助，也就是教師主導(dǎo)作用的體現(xiàn).