整體著眼，類比入手

劉玉華+王文清

教學過程

課前準備：生合上書，準備好練習本、直尺、筆、計算器等.

說明：合上書的策略，是為了促使學生積極主動地思考，盡量避免學生思維偷懶，盡量能暴露學生的真實思維成果，養(yǎng)成獨立思考的習慣，提高思維能力.

1溫故設疑，創(chuàng)設情境

師：前面我們已經學習了等差數列，是按照怎樣的線索和思路研究等差數列的？研究了等差數列的哪些知識？

生眾：先學習等差數列的定義，然后學習通項公式和前n項和公式.

師：回答得很好！等差數列的定義是什么？

生1：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差.

師：很準確！數列是按照一定順序排列的一列數，等差數列實際上是根據研究數列中的相鄰兩項之間的運算關系得出的特殊數列.那么，一個數列從第2項起，每一項與它的前一項既然可以做減法運算，還可以做哪些運算？

生2：還可以做加法運算、乘法運算、除法運算.

師：如果任意后一項與前一項分別做加法運算、乘法運算、除法運算，且其運算結果分別不變，那么這樣的數列你認為分別應當稱為什么數列？

生3：等和數列、等積數列、等商數列.

師：如何定義這些數列？你能舉出幾個這樣的具體數列嗎？

生4（迫不及待站起來回答）：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的和都等于同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做等和數列的公和.如：1，2，1，2，….

師：非常棒！我們又得到了一種新的數列！

生5：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的積都等于同一個常數，那么這個數列叫做等積數列，這個常數叫做等積數列的公積.如1，2，1，2，….

師：你太聰明了，用了剛才的例子，我們又得到了另一種新的數列：等積數列！大家還能舉出其它等積數列的例子嗎？

生6∶1，1，1，…，這個數列是等積數列，并且它也是等和數列！

師：好！你有新發(fā)現，又舉了一個既是等和數列又是等積數列的好例子！

生7：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的商都等于同一個常數，那么這個數列叫做等商數列，這個常數叫做等商數列的公商.如：1，2，4，8，….

點評教師對本節(jié)課的引入沒有按照教材的設計進行（人教A版教材安排：觀察生活中的實例→抽象得到數列→觀察數列的特點→得出等比數列的定義.），而是采用了本課例的點評人在2016年3月濱州市高中基礎年級教學研討會上評課時，提出的等比數列的引入，可以“從考察既然等差數列是一類項與項其“差”不變的特殊數列，那么自然想到，若項與項其“和”不變，其“積”不變，其“商”不變，則這樣的數列有沒有研究價值呢？應分別稱為什么數列呢？”的視角引入（已研究了“差”，自然會想到還可以做哪些運算？并且不變呢？），這是站在知識整體的高度設計教學，等差數列和等比數列只不過是對數列中相鄰兩項蘊含的數量關系研究得來，不僅使得等比數列的定義呼之欲出，而且我們還發(fā)現了教材上沒有的另外兩種數列——等和數列與等積數列.這種設計不僅讓學生知其然，更知其所以然，不但較好地培養(yǎng)了學生的數學思維能力，而且滲透了研究、發(fā)現數學新知識的方式、方法.可以極大地激發(fā)學生學習數學、研究數學、發(fā)現數學、喜歡數學的熱情！對學生對數學的態(tài)度和認識的影響將是深遠的、長久的、巨大的.

2聯(lián)系類比，生成新知

2.1等比數列的定義

師：同學們類比得非常好！大家可以看出等和數列的奇數項、偶數項分別相等（也可以是常數列，所有項都相等）；等積數列，如果公積不為0也是如此，若公積為0，情況比較復雜，暫不討論；與等差數列最為類似的是同學們說的等商數列，因為每一項與它的前一項的商就是每一項與它的前一項的比，所以我們通常把等商數列叫做等比數列，這節(jié)課我們就來學習等比數列.（師板書課題）

師：如何定義等比數列？你能舉出一個具體的等比數列嗎？

生8：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比.如：1，3，9，27，….

（師在學生回答的過程中板書以上內容.）

師：同學用文字語言敘述得很好，你能用符號語言表示嗎？

生9：和等差數列類似，anan-1=q（n>1）或寫為anan-1=q（n≥2）.

師：好！判斷下列數列是否為等比數列？

（1）1，-1，1，-1…

（2）a，a，a，a…

（3）1，x，x2，x3…

生10：這三個數列都是等比數列.

生11：不對！（2）（3）不一定是，在（2）中，若a=0，0不能做分母，不滿足等比數列的定義；（3）中x=0也不行.

師：生11的思維很嚴謹，由此看來，等比數列中的任意項都不能為0，這和等差數列不同，等差數列中的項可以為任意實數，公差也為任意實數，等比數列中的公比是否也為任意實數？

生12：等比數列中的公比不能為0.

師：所以等比數列的定義中我們加上：公比通常用q表示（q≠0）.

（師在剛才板書的等比數列定義后面寫上公比通常用q表示（q≠0））

師：在日常生活中有許許多多等比數列的例子，你能舉出幾個等比數列的例子嗎？

（生13、生14、生15所舉實例，恰好就是教材上的“細胞分裂”、“計算機病毒”、“銀行存款”等問題.所以這里從略.）如某種細胞分裂，1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，…，細胞分裂的個數可以組成一個等比數列：1，2，4，8…，公比是2.

師：同學們舉的例子都很好，在日常生活中，等比數列的例子還有許許多多，我國古代一些學者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭.”如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么得到的數列是什么？是否是等比數列？公比是什么？

生16：1，12，14，18…是等比數列，公比是12.

點評通過前面的溫故設疑，等比數列定義呼之即出，難能可貴的是執(zhí)教者在學生得出等比數列的定義后，沒有急于對等比數列進行“一個定義三項注意”式的講解，而是通過舉例，讓學生辨析、比較、領悟等比數列與等差數列的不同之處，進一步深化對等比數列定義的理解；不僅如此，老師進一步讓學生舉出實際生活中的等比數列的例子，這不僅深化了學生對等比數列定義的理解，意在培養(yǎng)學生在實際生活中發(fā)現問題、提出問題和解決問題的能力，把新課標精神踏踏實實地落實到了課堂中.只是稍感遺憾的是，學生可能因為課前預習的緣故，但更可能是生活積累不足的原因，舉的都是課本上的例子，老師若能進一步放飛學生的思維，舉出課本以外的例子會更好！

2.2等比中項的定義

師：我們已經知道了什么是等比數列，最簡單的等比數列有幾項？你能舉出一個例子嗎？

生17：和等差數列類似，三項，如1，2，4.

師：對，既然和等差數列類似，2可以叫做1和4的什么項？

生眾：等比中項.

師：推廣到一般情況，如何定義等比中項？

生18：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項（師板書以上內容）.

師：類比得很好！能用a與b表示G嗎？

生19：G=ab.

生20：不對，G=±ab..

師：為什么？

生21：因為ab的平方根有兩個，這兩個平方根都滿足題意.

師：很好！等比中項雖然和等差中項類似，但還是有不同的地方，等比中項有兩個值，這兩個值互為相反數.

師：請判斷下列兩組數有無等比中項，若有，請你求出其等比中項：

（1）―1與―4；（2）1與―4.

（生答（略））

師：由此可見，并不是任意兩個實數都有等比中項，當兩個實數a與b滿足什么條件時才有等比中項？

生22：a與b的符號相同時才有等比中項.

師：很好！a與b的符號相同時才有等比中項，并且等比中項應該有兩個.（師板書ab>0）

師：我們知道，有的數列如：1，2，1，2，……它既是等和數列又是等積數列，那么是否存在既是等比數列又是等差數列的數列嗎？若存在，你能舉個例子嗎？

生23：常數列，如2，2，2….

師：常數列一定既是等比數列又是等差數列嗎？

生24：不一定，如0，0，0…，應該是非零的常數列一定既是等比數列又是等差數列！

師：你總結得很準確！非零的常數列非常特殊，它既是等差數列，又是等比數列，還是等和數列，等積數列！（板書）

2.3等比數列的通項公式

師：我們先學習了等差數列的定義，然后推導出了等差數列的通項公式，現在我們已經學習了等比數列的定義，接下來，我們應當干什么？

生眾：推導等比數列的通項公式.

師：投影出示：已知等比數列{an}，首項為a1，公比為q，求an.

學生在練習本上獨立推導等比數列的通項公式，師巡視指導.

師（看到大部分學生都已推導完通項公式）：哪位同學上講臺展示一下自己的解法？

（先后有四位同學實物投影展示自己的解法）

生25：（歸納、猜想法，具體略.）

師：你怎么想到這種推導方法的？

生：類比等差數列通項公式的推導方法！

師：很好！所得結論顯然是正確的！類比不僅是一種重要的學習方法，也是一種重要的發(fā)現方法.“類比是一個偉大的引路人”，在許多知識的學習中都可以用到類比.

師：同學們還有其它不同的解法嗎？

生26：我是類比等差數列的疊加法想到用累乘法求等比數列的通項公式的.（略）

生27：和等差數列類似，也可以運用迭代法.

an=an-1q=an-2q2=…=a1qn-1（n∈N*）

顯然上式當n=1時，也成立.

生28：an=a1·a2a1·a3a2···anan-1=a1qn-1

顯然上式當n=1時，也成立.

師：上述解法都不錯，尤其生28的解法妙極了！運用了一個恒等式，就使問題順利解決了.

生29：構造常數列anqn，因為anqn=a1q，所以an=a1qn-1.

師：你的觀察能力非常強！化“變”為“不變”，用的是轉化的數學思想.

剛才幾位同學解答得都非常好！不管用哪種方法，最后都得出等比數列的通項公式an=a1qn-1（師板書）.

師：剛才等比數列定義及通項公式都是類比等差數列學習的，在等差數列（非常數列）中，通項公式an是關于n的一次函數，在等比數列中，通項公式an是關于n的什么類型的函數？

生30：指數型函數.

生31：不對，應該是，當q≠1時，通項公式an是關于n的指數型函數.

師：好！請同學們畫出通項公式為an=2n-1的數列的圖象和函數y=2x-1的圖象，你會有什么發(fā)現？

學生做圖，師巡視指導.

生32：通項公式為an=2n-1的數列的圖象為函數y=2x-1的圖象上的一些孤立的點，就是當x=1，2，3…時得到的那些點.

師：由此看出，等比數列就是指數型函數的特例，原來研究指數函數的方法同樣適用于研究等比數列.

點評等比數列通項公式的推導是本節(jié)課的重點，也是難點.老師沒有直接講解通項公式的推導，而是讓學生獨立推導，上講臺投影展示自己的解法，增大了課堂容量，暴露了學生的思維，保障了學生的主體地位；同時，老師在學生講解的基礎上，不斷總結、提煉、升華，充分發(fā)揮了教師的主導作用.這充分體現了執(zhí)教者“以生為本”的育人理念.值得一提的是，學生實物投影展示推導等比數列通項公式的過程，沒在黑板上留下板書，不利于學生進一步反芻思考、歸納整理，若改為四個同學板演，保留板演過程效果應該會更好！

3學以致用，深化提高

師：在等比數列中，我們已經推導出通項公式為an=a1qn-1，根據此公式，你能設計出什么題目？

生眾：和學習等差數列的題目類似，已知通項公式an=a1+（n-1）d中的任何三個量就可以求另外一個量，也就是知三求一問題.

師：那好，請同學們自編兩個知三求一的問題.

同學們陸續(xù)編出很多問題，老師精選四個題目寫到黑板上：

（1）已知在等比數列{an}中，a1=1，q=3，求a5.

（2）已知在等比數列{an}中，a1=2，a5=8，求q.

（3）已知在等比數列{an}中，a2=12，a5=116，求a8.

（4）已知在等比數列{an}中，a3=1，q=3，求a5.

……

師：同學們編的題目很好，請同學們完成以上四個小題（四名學生板演）.（（1）、（2）、（4）解答略）

生33：（3）學生板演過程如下：

由題意得，a2=a1q=12， ①

a5=a1q4=116.②

解得a1=1，

q=12.

所以a8=a1q7=1×127=1128.

師（巡視，看同學們基本做完）：哪位同學點評一下這四個題目的解答過程？

生34點評：這四位同學的結果都是正確的，都利用了等比數列的通項公式an=a1qn-1，只是在（2）中，我組有的同學把q=±42寫成了q=42，一個正數的偶次方根有兩個，需引起重視.

師：點評得太漂亮了！這幾位同學把題目中的量都用a1、q表示，然后進行求解，這種解決問題的思想方法叫做基本量法，充分體現了數學上把復雜問題簡單化的轉化思想.

生35：老師，（3）題，我還有簡單做法！

（3）因為a25=a2a8，

所以a8=a25a2=116212=1128.

師：你的觀察能力非常強，做得非常巧妙！他充分利用了a5是a2與a8的等比中項，和等差中項類似，an是an-k與an+k（n>k>0）的等比中項，所以有：a2n=an-k·an+k（n>k>0）.

生36：老師，（3）題，我還有一種解法：

由a5=a2q3=12q3=116，得q=12.

所以a8=a5q3=116×123=1128.

師：非常好！他靈活運用等比數列的定義，看出a5=a2q3，這里我們也可以得出一個一般性結論：an=amqn-m（n，m∈N*），也和等差數列類似！

生37：老師，（4）題也可以用類似的解法：

a5=a3q2=1×32=9.

師：剛才同學活學活用，解得很好！第（4）題用第（3）題總結出來的結論解答更簡捷！

同學們的思維都很活躍！解決與等比數列通項公式有關的問題，通法是基本量法，當然，針對不同的題目，我們用等比數列的一些性質解答會很方便，如剛才總結得出的a2n=an-k·an+k（n>k>0）和an=amqn-m（n，m∈N*），所以，請大家在運用通法的同時，多思考、多探索，嘗試用一些巧法會更好！

點評提出一個問題遠比解決一個問題更重要！此環(huán)節(jié)，老師沒有出示自己設計好的例題，而是放手讓學生設計題目，然后選取典型題目讓同學嘗試解答.這樣的題目來源于學生，學生解決自己提出的問題會更有興趣，老師在學生智慧的閃光中因勢利導，總結解題規(guī)律，提煉解題方法，詮釋數學思想，體現了執(zhí)教者高超的駕馭課堂的能力！

在力所能及的情況下，讓學生編題是本文點評者自80年代以來，一貫的做法和提倡，它不僅能豐富課堂練習，而且能加深學生對內容的理解，是一個對數學學習很好的、很有效的措施.另外，如果能引導學生編出幾道開放性問題，就更好了（如，（1）已知a3=3，a4=6，求；（2）已知a2=1，，求a8；等等.）.它不僅能加深學生對通項公式的理解，而且可以提高學生對數學學習的興趣.

對第（3）題的處理，本文點評者歷來不主張用等比數列的性質，尤其，不應作為對全體學生的要求！對數學優(yōu)秀生可以記，可以用，但對于其他大多數學生不要求，不鼓勵.因為它不僅增加學生的記憶負擔，而且會常常出錯.如果教師在數學教學中，始終滲透數學思考的一個最重要的方法——分析綜合法，那么，第（3）題的解答也會有不次于用性質的解法，即注意到要求的a8=a1q7，則由生33解答中的②2÷①，即得.這樣一節(jié)課下來，始終就是緊緊抓住處理數列問題的最重要，也是最通用的基本思想方法——基本量思想和分析綜合法，學生的負擔輕，思路明，方法專，就會學的輕松、愉快！

4反思小結，提煉觀點

師：同學們，我們本節(jié)課學習了哪些知識？是如何學習這些知識的？用到了哪些思想方法？有哪些基本題型？你還有哪些感悟？

生38：這節(jié)課我們學習了等比數列的定義、等比中項、等比數列的通項公式，主要運用類比的思想方法學習的，主要題型有知三求一問題.

生39：我覺得在學習時要先想想以前是否有類似的問題，注意運用類比；在學習時要理解好定義，定義是解決一切問題的源頭；再就是注意觀察實際生活中的數學問題！

師：同學們都總結得很好！請看屏幕（等差數列與等比數列對比表格（略））：

師：數列孿生子，等差和等比；形神都相似，處處用類比；

等比要條件，等差不挑剔；遇題要分清，巧解更容易.

點評小結是一節(jié)課的畫龍點睛之筆.本節(jié)課從五個方面讓學生進行反思小結，建立知識網絡結構，注重提高學生的思維能力，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)；最后教師用一首打油詩結束本課，進一步展現了老師較高的教學藝術，給本節(jié)課帶來了生機和情趣，極大地調動了學生學習數學的積極性！

師生都沒有提到沒有用到的“分析綜合法”在意料之中，但都沒有提到已用到的歸納、猜想，迭代、累乘法、恒等式、轉化與化歸、基本量等思想方法和等和數列、等積數列，以及編題活動，則很不正常，只能說明學生對它們印象不深，重視不夠，這不能不說是本節(jié)課的遺憾！

5布置作業(yè)，鞏固提高

作業(yè)：1.人教A版P53習題24中的第1題；

2.查找資料，就生活中的等差數列和等比數列問題寫一篇小論文.

點評新課標提出了“四基三能”，作業(yè)第2題很好地落實了課標的這一要求，對培養(yǎng)學生的應用意識和創(chuàng)新意識大有裨益.

6總評

6.1整體建構，突出創(chuàng)新

數學知識的獲得應該是遵循知識發(fā)生、發(fā)展的自然規(guī)律，一般是在原有“舊知識”上的自然生成.本節(jié)課中，老師的導入由復習等差數列開始，看似簡單，卻指向性明確，不但復習了等差數列的研究思路，還挖掘出發(fā)現、研究數學的方法，尤其發(fā)現、研究特殊數列的方法（利用相鄰兩項的運算關系），學生自然地得出“等和數列”、“等積數列”、“等商數列”這些新概念，使得等比數列概念的得出水到渠成，這對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識至關重要！這種整體建構情境的做法，使得導入自然而又新穎，是本節(jié)課的一大亮點.

6.2聯(lián)系類比，自然生成

波利亞說：“類比是一個偉大的引路人”；開普勒說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密”.在數學教學中，若能充分恰當地運用類比，驅學生的思維于最近發(fā)展區(qū)內，利于發(fā)現新舊知識在研究思路、方式、方法、內容之間的區(qū)別和聯(lián)系，減輕學生的記憶負擔，提高發(fā)現問題、提出問題和解決問題的能力.本節(jié)課中，等比數列是完全類比等差數列來學習的，學生對等比數列、等比中項、通項公式的得來都感到得心應手；即便是關于等比數列的題型，學生也非常容易地聯(lián)系和類比等差數列，得到知三求一問題，這些新知識的獲得都是自然而然、輕松自如的，因此可以輕而易舉地把這些新知識納入到已有的知識結構中.

6.3學為主體，教為主導

《教育規(guī)劃綱要》指出：“要以學生為主體，以教師為主導，充分發(fā)揮學生的主動性……”本節(jié)課中，執(zhí)教者把教學的重心放在學生的學上，給了學生充分的話語權；同時，教師也未放棄自己的主導地位，不斷恰當地予以引導、點撥、總結、提煉、評價.如：在等比數列定義的獲得和深度理解，等比數列通項公式的推導和鞏固強化等處，老師都不斷地引導學生思考、總結，特別是放手讓學生編題，由學生板演和點評等等，充分保障了學生的主體地位；同時，教師在整個過程中總結出類比、遞推、轉化、化歸等數學思想方法，起到了“授之以漁”的作用.

6.3.1注重培養(yǎng)學生的問題意識

“提出一個問題遠比解決一個問題更重要”.新課標明確指出：提高學生提出問題、分析和解決問題的能力；現代思維科學認為，問題是思維的起點，任何思維過程總是指向某一具體問題的，問題又是創(chuàng)造的前提，一切發(fā)明創(chuàng)造都是從問題開始的.培養(yǎng)學生問題意識，有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，提高學生的數學素養(yǎng).本節(jié)課中，執(zhí)教者從多個方面培養(yǎng)學生的問題意識，一是精心設置了一系列的問題串推動本節(jié)課的教學，激發(fā)學生的問題意識；二是放手讓學生類比、猜想、概括、總結等比數列的定義、等比中項、通項公式等，發(fā)展學生的問題意識；三是不斷評價稱贊學生，保護學生的問題意識.相信，長此以往，學生的問題意識會越來越強，創(chuàng)新的種子必定會生根發(fā)芽.

6.3.2大膽放手，給學生思維的時空

羅曼·羅蘭曾說“一個人只能為別人引路，不能代替他們走路.”俗話說“告訴我，我會忘記；做給我看，我會記得；我親自做，我才懂得.”課堂是否有效，主要不在于教師教了學生什么，而在于學生學到了什么.這就需要教師在課堂上創(chuàng)設一種“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”的發(fā)展空間，讓學生在自我摸索中發(fā)現學習之道，體悟成功的快樂，讓課堂成為師生互動的平臺，成為學生自主探究、放飛思維、升華能力的搖籃.本節(jié)課中，執(zhí)教者從等比數列定義的形成到通項公式的推導運用，充分讓學生思考、發(fā)言、辨析、評價、總結，老師適時追問、補充、總結、提煉、升華，課堂中充溢著理性的思考，閃爍著著智慧的靈光，真正讓課堂“活”、“動”起來了！

6.3.3合理評價，促進學生主動發(fā)展

新課標提出，要發(fā)揮評價的積極導向作用.課堂教學評價應該是一種民主、平等的“對話”，這種“對話”過程貫穿著尊重人、愛護人、發(fā)展人的人本主義情懷.有效的課堂評價提供的是強有力的信息、敏銳的洞察力和正確的指導，其主要目的是為了全面了解學生的數學學習歷程，反映學生數學學習的成就和進步，診斷學生在學習中存在的困難，幫助學生認識自己在解題策略、思維或習慣上的長處和不足；及時調整和改善教學過程，使學生形成正確的學習期望，以及對數學的積極態(tài)度、情感和價值觀.本節(jié)課，既有自我評價、生生互評，也有教師評價.特別值得一提的是，教師態(tài)度和藹，不時給予學生肯定與贊美，給學生營造了一種和諧愉悅的民主氛圍，極大地調動了學生學習的積極性.例如：當學生回答正確時，老師贊揚學生“你太聰明了”，“你觀察能力非常強”，“非常好”，“點評得非常漂亮”等等，這些恰如其分的表揚無疑會激發(fā)學生的學習積極性，開啟他們智慧的閥門，讓數學的學習變?yōu)橐环N享受、一種快樂，把數學的育人功能切切實實地落實到了課堂中.