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    二項式定理的基本應(yīng)用

    2016-12-30 12:48:09程玉瑩
    都市家教·下半月 2016年12期
    關(guān)鍵詞:原式展開式二項式

    程玉瑩

    高考中二項式定理是必考內(nèi)容,主要考察展開式的運用及二項式系數(shù)的性質(zhì)。為更好的學(xué)習(xí)和掌握這部分知識,現(xiàn)將其常見題型歸納如下:

    一、求特定項或特定項的系數(shù)

    這是二項式定理的典型題型,解法是確定通項公式中r的值或取值范圍,但應(yīng)注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。

    例1:在(1-x2)20的展開式中,如果第4r項和第r+2項的二項式系數(shù)相等,求r的值.

    解析:

    由題,得4r-1=r+1或4r-1+r+1=20,解得r=4.

    例2:若展開式中前三項系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中含x的七次冪的項及其系數(shù).

    解析:

    由得n=8,由,令解得r=7.所以x七次冪的項為,含x的七次冪項的系數(shù)為.

    二、求多項式和或積中特定項的系數(shù)

    解此類題要注意觀察多項式的結(jié)構(gòu)特征,可先求和再求含特定項的系數(shù)或用賦值法(賦值要恰當(dāng))。

    例3:的展開式中,的系數(shù)等于 ? ? ? ? .

    解析:

    因(x+1)+(x+1)2+(x+1)3+…+(x+1)6=(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)6,所以展開式中的系數(shù)為===.

    例4:若,則的值為 ? ? ? ? .

    解析:所求變形為,而與分別是已知式在時的值.所以=.

    三、求系數(shù)的最值

    解此類問題應(yīng)注意所求項的系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系,并注意符號的變化規(guī)律。

    例5:(x-1)9按x降冪排列的展開式中,系數(shù)最大的項是第 ? ? ? 項?

    解析:

    因n=9,展開式中共10項,故中間兩項,即第5項和第6項的二項式系數(shù)最大.但第6項的系數(shù)是負值,所以第5項的系數(shù)最大.

    四、三項式轉(zhuǎn)化成二項式

    本題運用轉(zhuǎn)化思想:轉(zhuǎn)化時式子的變形要靈活;善于變換項的位置利于計算;注意展開式中r,k的關(guān)系和取值范圍。

    例6:求展開式中的常數(shù)項.

    解析:

    因可看作二項式,其通項為,其中k=0,1,2,3,10,若求原式常數(shù)項只需求展開式的常數(shù)項.因 ,其中r=0,1,…,k,所以由題意令k-3r=0,則k=3r,即k是3的倍數(shù),k=0,3,6,9.當(dāng)k=0時,r=0,;當(dāng)k=3時,r=1,;當(dāng)k=6時,r=2,;當(dāng)k=9時,r=3,.故原式的展開式中的常數(shù)項是.

    五、求參數(shù)

    關(guān)鍵求展開式中某項的系數(shù),再結(jié)合條件求參數(shù)。

    例7:已知的展開式中x3的系數(shù)為,求實數(shù)a的值.

    解析:

    因,由題意知,解得r=8.所以含x3的項為第9項,其系數(shù)為,解得a=4.

    六、整除和求余數(shù)

    關(guān)鍵是把所求問題轉(zhuǎn)化為二項式問題,但要注意結(jié)合二項式展開式和整除的有關(guān)性質(zhì)。

    例8:①求證:能被31整除;

    ②求除以9的余數(shù).

    解析:

    ①證明:因,展開等于,顯然括號內(nèi)為整數(shù),所以原式能被31整除.

    ②解:,由展開等于,進一步整理,可得,顯然括號內(nèi)的數(shù)是正整數(shù),故S被9除的余數(shù)是7.

    七、求近似值

    對估算求值問題,常借助二項式定理求解。

    例9:計算1.056.(精確到0.01)

    解析:

    1.056=(1+0.05)6=1+C26·(0.05)2+C 36·(0.05)3+…=1+0.3+0.0375+…≈1.34.

    所以1.056≈1.34.

    八、證明不等式

    用二項式定理證不等式時,根據(jù)n的最小值,確定展開式的項數(shù)的最小值,然后視具體情況取定其中的幾項即可。

    例10:求證:.

    解析:

    證明:因為,所以的展開式中至少有四項.又因為,所以.

    九、求和

    二項式定理從右往左看,是把一個多項式合并,或者是一個求和公式,利用它可解決求和問題。

    例11:在(1+x)n的展開式中,奇數(shù)項之和為p,偶數(shù)項之和為q,則(1-x2)n等于( ? ? ? )

    A.0 ? ? ? ?B.pq

    C.p2-q2 ? ?D.p2+q2

    解析:因(1+x)n的展開式中奇數(shù)項之和為p,偶數(shù)項之和為q,所以(1+x)n的和為p-q.又由(1-x2)n=(1-x)n(1+x)n(p+q)(p-q)=p2-q2,故選C.

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