探尋等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的“自然”之路

☉浙江省象山縣第二中學(xué)　鄭洲

探尋等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的“自然”之路

☉浙江省象山縣第二中學(xué)鄭洲

中學(xué)數(shù)學(xué)絕大多數(shù)內(nèi)容是人類在長(zhǎng)期實(shí)踐與反思中經(jīng)過千錘百煉的數(shù)學(xué)精華和基礎(chǔ)，其中數(shù)學(xué)概念、思想、方法的起源與發(fā)展過程都是自然的.每一種數(shù)學(xué)概念、思想與方法，從它的產(chǎn)生背景、形成過程及應(yīng)用看，都是水到渠成、渾然天成的，不僅合情合理，而且很有人情味.［1］若在教學(xué)中，教師照本宣科，直接拋出數(shù)學(xué)概念、思想方法，就像魔術(shù)師“從帽子中突然掏出一個(gè)兔子”似的，這將不利于學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的存在及領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，從而很難實(shí)現(xiàn)思維過程的“理性重建”.因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須順應(yīng)自然法則，遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律和基本特征，構(gòu)建清新自然的數(shù)學(xué)課堂，使數(shù)學(xué)知識(shí)的形成發(fā)展和學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的思維過程有機(jī)地融合在一起，讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)自然、親切的同時(shí)，產(chǎn)生“看個(gè)究竟”的沖動(dòng)，興趣盎然地投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中去.

一、引入和實(shí)際脫離怎能自然

眾所周知，在“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”的推導(dǎo)中，教材（人教A版）給出的求和公式的推導(dǎo)過程是先從高斯求“1+2+3+…+100=？”的方法引入等差數(shù)列求和問題，然后利用“倒序相加”法推導(dǎo)一般的等差數(shù)列求和公式.這樣的安排體現(xiàn)了兩方面的意圖：一是啟發(fā)學(xué)生掌握從特殊到一般的數(shù)學(xué)研究方法，發(fā)展探究事物的能力，發(fā)展理性思維，提高思維品質(zhì)；二是讓學(xué)生感受成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的自信，逐步形成勇于探索的學(xué)習(xí)方式.但高斯算法就是把1到100這100個(gè)數(shù)兩兩配對(duì)后分成50組，且每組兩個(gè)數(shù)之和都為101，從而迅速得出結(jié)果是5050.這種算法的本質(zhì)應(yīng)該是“配對(duì)求和”，而等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)最終使用的是“倒序相加”，這兩種方法之間缺乏必然的聯(lián)系，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很難從“配對(duì)求和”中自然想到“倒序相加”.為了能夠順利完成公式推導(dǎo)教學(xué)，很多教師的做法是在引入高斯求和后直接向?qū)W生拋出“倒序相加法”.但這樣的“告知”無疑脫離了學(xué)生的思維發(fā)展實(shí)際，公式的探究過程就異化為灌輸?shù)倪^程.從接受式學(xué)習(xí)的角度來說，學(xué)生對(duì)“倒序相加”是非常容易理解和接受的.但從發(fā)現(xiàn)式（或者說探究式）學(xué)習(xí)的角度來看，教材的設(shè)計(jì)意圖就沒能實(shí)現(xiàn)，用高斯算法引入的思維價(jià)值沒有恰當(dāng)?shù)匕l(fā)揮作用，只是為了引入而引入，更是違背了“數(shù)學(xué)是自然的”教學(xué)宗旨.［2］因此，我們不禁要思考，該如何設(shè)計(jì)一條順乎自然，順應(yīng)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的等差數(shù)列求和公式的探究過程.

二、因勢(shì)利導(dǎo)，順其自然

既然高斯求和無法自然地過渡到“倒序相加”，那么我們?cè)诮虒W(xué)時(shí)就沒必要走“倒序相加”的路，順著高斯求和的思維軌跡學(xué)生會(huì)想出什么方法呢？實(shí)踐證明，多數(shù)學(xué)生在了解高斯的“配對(duì)求和”后，自然會(huì)想到用“配對(duì)求和”的方法求等差數(shù)列“1+2+3+…+n=”的和，無非在配對(duì)的過程中考慮n的奇偶性，最終他們發(fā)現(xiàn)不論n是奇還是偶，“1+2+3+…+n=的推導(dǎo)思路，很容易推導(dǎo)出等差數(shù)列的求和公式.由此可見，“配對(duì)求和”的思想不僅能夠順利解決等差數(shù)列求和問題，而且比起“倒序相加”學(xué)生能夠自然想到的，更加難能可貴.

三、歸納猜想，延續(xù)自然

我們知道知識(shí)的學(xué)習(xí)具有連續(xù)性，前面所學(xué)的知識(shí)往往對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)具有引導(dǎo)作用.學(xué)生在前面推導(dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，教材采用的是歸納法，學(xué)生對(duì)此應(yīng)該印象頗深.如果我們能夠延續(xù)前面的思路推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式是不是會(huì)更顯自然，更加容易被學(xué)生接受.

先讓學(xué)生計(jì)算S1，S2，S3，S4的值，學(xué)生容易求得S1=a1，S2=2a1+d，S3=3a1+3d，S4=4a1+6d，由此可以初步歸納出Sn= na1+f（n）d，那么問題就歸結(jié)為對(duì)公差d前面系數(shù)的確定.然后，教師引導(dǎo)學(xué)生把d前面的數(shù)字進(jìn)行拆分就很容易猜測(cè)出其中的規(guī)律.S2=2a1+1×d，S3=3a1+（1+2）d，S4=4a1+（1+2+3）d，依次類推可以歸納出Sn=na1+（1+2+3+…+n－1）d，最后問題就歸結(jié)為對(duì)“1+2+3+…+n－1”的求和.［3］處理這個(gè)求和問題可以利用高斯求和，也可以引入倒序相加.當(dāng)然，用歸納猜想的方法推導(dǎo)求和公式或許存在著嚴(yán)密性的不足，但這是學(xué)生借助“配對(duì)求和”自然想到的可貴之處.讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā)進(jìn)行探索，嘗試了原有方法解決的可能性，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行再探索研究，所學(xué)知識(shí)進(jìn)行了一次新的整理，從中發(fā)現(xiàn)出一些有價(jià)值的東西，并應(yīng)用于新的知識(shí)的探求，因此探究過程更加自然流暢.

四、數(shù)陣助力，回歸自然

數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思想之一.從具體圖形入手，通過直觀感知，觀察分析，最后獲得解決問題的靈感是學(xué)生最常用的探究方式，當(dāng)然也是最自然的學(xué)習(xí)方式.教師先啟發(fā)學(xué)生把數(shù)列各項(xiàng)用基本量a1和d表示出來，然后把它們排列成如圖1所示的數(shù)陣，則要求數(shù)列的和只需求出a1和d的個(gè)數(shù)即可.易得a1的個(gè)數(shù)為n，d的排列圖形呈現(xiàn)出三角形的形狀，直接利用三角形不容易獲得d的個(gè)數(shù).接下來，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生通過“補(bǔ)形”的方式，構(gòu)造出如圖2所示的數(shù)陣.如此一來，d的排列圖形轉(zhuǎn)化成了矩形，只需求出矩形中d的個(gè)數(shù)即可，易求d的個(gè)數(shù)為d.不僅如此，這種“補(bǔ)形”的思想其實(shí)也蘊(yùn)含著“倒序相加”的“影子”.我們前面提到由高斯算法學(xué)生很難自然想到“倒序相加”，真是“無意帶將花一朵，卻挑蝴蝶下山來”，現(xiàn)在這個(gè)數(shù)陣就架起了跨越這一思維障礙的橋梁，實(shí)現(xiàn)了思維的自然回歸.

圖2　

圖1　

至此，筆者不由的想起教材（人教A版）寄語(yǔ)中有關(guān)“數(shù)學(xué)是自然的”描述：“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的.如果有人感到某個(gè)概念不自然，是強(qiáng)加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成過程，它的應(yīng)用，以及它與其他概念的聯(lián)系，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.這將有助于大家的學(xué)習(xí).”盡管“條條大路通羅馬”，但我們要盡量選擇“自然”之路.

1.王峰．概念教學(xué)要崇尚自然［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2012（5）．

2.陳朝暉．“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)”的商榷［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2007（5）．

3.馮寅．研究性學(xué)習(xí)的個(gè)案分析——等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)實(shí)錄［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2002（12）．F