不走尋常路不一樣的精彩——例談避免分類討論的解題策略

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)　季小明

不走尋常路不一樣的精彩——例談避免分類討論的解題策略

☉江蘇省如皋市搬經(jīng)中學(xué)季小明

分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于其中有些問題，因?yàn)榉诸愑懻撜撌鲚^長(zhǎng)，討論過程往往十分煩瑣，而且容易討論不完整造成解題失誤.但如果我們把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)注入“生命”的靈動(dòng)，注意克服思維定勢(shì)，力求簡(jiǎn)化分類討論甚至避免分類討論，以求解法的簡(jiǎn)捷，從而提高解題速度和解題的準(zhǔn)確性.因此，我們提倡在熟悉和掌握分類討論思想的同時(shí)，要注意如何避免討論，本文從幾個(gè)方面論述，避免討論的對(duì)策，以供參考.

一、換個(gè)視角更換主元避免分類討論

在解答有些題目時(shí)，若把x看作主元就必須分類討論，則不妨換個(gè)視角，更換主元，結(jié)果可能會(huì)大不一樣，取得較好的效果.

例1已知x為非零實(shí)數(shù)，且x2-2ax≥0對(duì)任意的a∈［-1，1］恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

分析：常規(guī)方法是把x看作主元進(jìn)行分類討論，則比較復(fù)雜，此時(shí)不妨換個(gè)視角，更換主元，把a(bǔ)當(dāng)作主元，則結(jié)果大不一樣.

解：我們視x2-2ax為關(guān)于a的函數(shù)，記f（a）=x2-2ax= -2x·a+x2，則對(duì)任意的a∈［-1，1］，關(guān)于a的一次函數(shù)f（a）=x2-2ax=-2x·a+x2的函數(shù)值總大于等于零的充要條件是解得x≤-2或x≥2.

因此，實(shí)數(shù)x的取值范圍為x≤-2或x≥2.

點(diǎn)評(píng)：此題中，直接視為a的函數(shù)，簡(jiǎn)單便捷，避免了討論.

二、利用數(shù)形結(jié)合避免分類討論

利用數(shù)形結(jié)合的思想，由函數(shù)圖像的幾何直觀性往往可以避免分類討論.

例2若關(guān)于x的不等式|x-1|≤ax（a≠0）的解集為閉區(qū)間［m，n］，其中m＜n，求實(shí)數(shù)m，n∈R的取值范圍.

分析：對(duì)于此絕對(duì)值不等式，常規(guī)方法是去絕對(duì)值，按x≥1和x＜1討論，在每一類中解不等式時(shí)又要對(duì)a進(jìn)行討論，過程極其復(fù)雜.利用數(shù)形結(jié)合的思想，由函數(shù)圖像的幾何直觀性則可以避免分類討論，且過程簡(jiǎn)捷.

解：分別作出函數(shù)y=|x-1|和y=ax（a≠0）的圖像，如圖1所示.

由圖像可知，解集為閉區(qū)間［m，n］，當(dāng)且僅當(dāng)0＜a＜1.

因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0＜a＜1.

圖1　

點(diǎn)評(píng)：通過轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)的圖像，只需觀察圖像，平移圖像，即可直觀得到正確結(jié)果.

三、利用函數(shù)性質(zhì)避免分類討論

在解答有些題目時(shí)，若結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱特點(diǎn)可以避免分類討論.

例3已知f（x）是定義在［-1，1］上的偶函數(shù)，且在［0，1］上遞增，若f（1+m）＜f（2m），求m的取值范圍.

分析：常規(guī)方法是根據(jù)函數(shù)的定義域，1+m，2m∈［-1，1］，但是1+m和2m在［-1，0］，［0，1］的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)，于是就分類討論，這樣非常復(fù)雜.如果注意到偶函數(shù)圖像的對(duì)稱性，則可知道偶函數(shù)滿足f（x）=f（-x）=f（|x|），從而可以避免分類討論.

解：由于f（x）是定義在［-1，1］上的偶函數(shù)，則由其圖像的對(duì)稱性可知偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x）=f（|x|），從而不等式f（1+m）＜f（2m）可轉(zhuǎn)化為f（|1+m|）＜f（|2m|）.又因?yàn)閒（x）在［0，1］上遞增，則有解得-

點(diǎn)評(píng)：只要我們?cè)诮忸}中注意克服思維定勢(shì)，處理好“分”與“合”、“局部”與“整體”之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系，充分挖掘求解函數(shù)問題中潛在的特殊性與簡(jiǎn)單性，往往就能夠避免分類討論，這也是分類討論的思想方法中數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的最高層次.

四、利用分離參數(shù)避免分類討論

分離參數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題中的重要數(shù)學(xué)方法，利用分離參數(shù)往往能夠避免分類討論，從而使得解題簡(jiǎn)便，并且提高正確率.

解析：原問題等價(jià)于x2+2ax+a＞0在x≥1時(shí)恒成立，即，所以只需a＞即可.

例5設(shè)f（x）是R上的減函數(shù)，且不等式f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）對(duì)于x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：原不等式等價(jià)于a2-sinx≥a+1+cos2x對(duì)x∈R恒成立，即a2-a≥1+sin+cos2x，令g（x）=1+sinx+cos2x=

點(diǎn)評(píng)：上述兩例通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值，避免了對(duì)二次函數(shù)單調(diào)性的討論.

五、利用正難則反的原則避免分類討論

當(dāng)所給出的問題直接解決比較復(fù)雜，所討論的方面較多時(shí)，就可以考慮從它的反面，即對(duì)立面考慮，最后再取補(bǔ)集.

例6給出兩個(gè)命題，命題甲：關(guān)于x的不等式x2+（a-1）x+a2≤0的解集為?；命題乙：函數(shù)f（x）=（2a2-a）x為增函數(shù).若甲、乙至少有一個(gè)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

命題乙為真命題時(shí)，2a2-a＞1?a＞1或a＜

因?yàn)榧住⒁抑辽儆幸粋€(gè)是真命題，其反面為：甲、乙都是假命題.所以當(dāng)甲、乙都是假命題時(shí)，故甲、乙至少有一個(gè)是真命題時(shí)a的范圍為a＞

點(diǎn)評(píng)：有些題目正面分類情況較多，而其反面卻只有一種情況，這時(shí)可從反面入手，避免討論.

六、運(yùn)用整體思想避免分類討論

整體思想是指在宏觀上把握問題的實(shí)質(zhì)，不要過分在一些細(xì)節(jié)問題上糾纏不清，要注意各條件之間的聯(lián)系，思考問題時(shí)要有大局觀點(diǎn).采用整體思想解題常常會(huì)收到意想不到的效果.

1.采用整體換元避免分類討論

分析：常用的方法是分類討論，解題過程冗長(zhǎng).據(jù)題設(shè)條件，不妨把z+看作一個(gè)整體，則可避免討論，大大簡(jiǎn)化解題過程.

綜上所述，知z=1±3i，z=3±i.

點(diǎn)評(píng)：通過整體換元，尋覓到解題捷徑，優(yōu)化了解題過程，去除了分類討論，讓人拍手叫絕.

2.采用整體變形避免分類討論