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    例談高考中“參數(shù)范圍”問(wèn)題的求解策略

    2016-11-25 08:25:07江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué)陳德軍
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年5期
    關(guān)鍵詞:交點(diǎn)數(shù)形單調(diào)

    ☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué) 陳德軍

    例談高考中“參數(shù)范圍”問(wèn)題的求解策略

    ☉江蘇省栟茶高級(jí)中學(xué)陳德軍

    在近幾年的高考中,求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題成了高考的熱點(diǎn),對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn),求參變量的取值范圍是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容,其中不少問(wèn)題靠傳統(tǒng)方法不容易求解,下面筆者結(jié)合一些教學(xué)實(shí)踐談?wù)勂鋺?yīng)用.

    一、利用函數(shù)最值求參數(shù)的取值范圍

    解題中遇到形如“要使f(x)>a成立”或“要使f(x)<a成立”的問(wèn)題,只需轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,使得f(x)min>a恒成立或f(x)max<a恒成立即可.

    案例1已知a>0,b∈R,函數(shù)f(x)=4ax3-2bx-a+b.

    (1)證明:當(dāng)0≤x≤1時(shí).

    ①函數(shù)f(x)的最大值為|2a-b|+a;

    ②f(x)+|2a-b|+a≥0.

    (2)若-1≤f(x)≤1對(duì)x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范圍.

    解析:(1)①f′(x)=12ax2-2b=12a

    當(dāng)b≤0時(shí),有f′(x)≥0,此時(shí)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.

    所以當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)max=max{f(0),f(1)}=max{-a+ b,3a-b}=

    ②由于0≤x≤1,故當(dāng)b≤2a時(shí),f(x)+|2a-b|+a=f(x)+ 3a-b=4ax3-2bx+2a≥4ax3-4ax+2a=2a(2x3-2x+1).當(dāng)b>2a時(shí),f(x)+|2a-b|+a=f(x)-a+b=4ax3+2b(1-x)-2a>4ax3+4a(1-x)-2a=2a(2x3-2x+1).

    設(shè)g(x)=2x3-2x+1,0≤x≤1,則g′(x)=6x2-2=

    x00,3()3()11 g′(x)-0+ g(x)1減極小值增13 333,

    所以,當(dāng)0≤x≤1時(shí),2x3-2x+1>0.

    故f(x)+|2a-b|+a≥2a(2x3-2x+1)≥0.

    (2)由①知,當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)max=|2a-b|+a,所以|2a-b|+a≤1.

    若|2a-b|+a≤1,則由②知f(x)≥-(|2a-b|+a)≥-1.

    所以-1≤f(x)≤1對(duì)任意0≤x≤1恒成立的充要條件

    在直角坐標(biāo)系aOb中,上面的不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D1所示的陰影部分,其中不包括線段BC.

    圖1 

    作一組平行線a+b=t(t∈R),得-1<a+b≤3.

    所以a+b的取值范圍是(-1,3].

    特別地,注意條件“a>0”,重視端點(diǎn)的取值情況.

    二、利用分離參數(shù)求參數(shù)的取值范圍

    所謂分離參數(shù),是指在含有參數(shù)的方程(不等式)中,通過(guò)同解變形,使參數(shù)與主元分離于方程(不等式)兩端,則所蘊(yùn)含的函數(shù)關(guān)系便由隱變顯,進(jìn)而研究函數(shù)的最大值(極值)或圖像,求出參數(shù)范圍.分參法是解決參數(shù)取值范圍的常見解法,它的最大好處就是函數(shù)不再含有參數(shù),變成了一個(gè)具體的函數(shù),從而避免了討論.

    案例2f(x)=x-ln(x+a)(a>0)的最小值為0.

    (1)求a的值;

    (2)若?x∈[0,+∞),都有f(x)≤kx2成立,求k的最小值;

    解析:(1)a=1.(過(guò)程略)

    (2)x-ln(x+1)≤kx2,當(dāng)x=0時(shí),k∈R.

    故φ(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,φ(0)=0,所以φ(x)<0,即g′(x)<0;

    分參之后能得到具體的函數(shù),不用討論,但是得到函數(shù)后再求極值是一個(gè)難點(diǎn),當(dāng)一階求導(dǎo)后,需要把分子單獨(dú)拿出來(lái)研究其零點(diǎn)的情況,很多題在求導(dǎo)后是分式,需要進(jìn)一步研究分子,不要在帶著分母整個(gè)求導(dǎo).

    三、利用構(gòu)造函數(shù)求參數(shù)的取值范圍

    解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問(wèn)題,利用參數(shù)分離會(huì)失效,這時(shí)可以設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù),并確定變量的限制條件,用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析,常可使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了,從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑.此類問(wèn)題對(duì)轉(zhuǎn)化能力要求很高,不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因,要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式,從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性.

    案例3設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

    (1)若a=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)若x≥0時(shí),f(x)≥0,求a的取值范圍.

    解析:(1)略.

    (2)注意到f(0)=0,f′(x)=ex-1-2ax,由ex≥x+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立,故f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,從而1-2a≥0.

    當(dāng)x∈(0,ln2a)時(shí),φ′(x)<0?φ(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減,φ(0)max=0,故x∈(0,ln2a)時(shí),φ(x)<0,即f′(x)<0.

    故x∈(0,ln2a)時(shí),f(x)在(0,ln2a)上單調(diào)遞減,f(0)=0.故x∈(0,ln2a)時(shí),f(x)<f(0)=0,故a>1不成立. 2

    此題若要用分參法解決,需要羅比達(dá)法則,超出了高中知識(shí)范圍,故本題只能用討論法去做,那么這類問(wèn)題有什么共同的特點(diǎn)呢?注意題中的條件“若x≥0時(shí),f(x)≥0”,當(dāng)x=0正好有f(x)=0,這是討論法的關(guān)鍵提示.

    四、利用不等式放縮求參數(shù)的取值范圍

    要證明不等式A<B成立,有時(shí)可以將它的一邊放大或縮小,尋找一個(gè)中間量,如將A放大成C,即A<C,后證C<B,這種證法便稱為放縮法,常用的放縮技巧有:(1)舍掉(或加進(jìn))一些項(xiàng);(2)在分式中放大或縮小分子或分母;(3)應(yīng)用基本不等式進(jìn)行放縮.

    案例4若函數(shù)h(x)滿足:①h(0)=1,h(1)=0;②對(duì)任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;③在(0,1)上單調(diào)遞減.則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù).

    (1)判斷函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù),并證明你的結(jié)論.

    (2)若存在m∈[0,1],使h(m)=m,稱m是函數(shù)h(x)的中介元.記p=(n∈N*)時(shí)h(x)的中介元為xn,且Sn=若對(duì)任意的n∈N*,都有Sn<12,求λ的取值范圍.

    (3)當(dāng)λ=0,x∈(0,1)時(shí),函數(shù)y=h(x)的圖像總在直線y=1-x的上方,求p的取值范圍.

    解析:(1)函數(shù)h(x)是補(bǔ)函數(shù).(證明略)

    ①當(dāng)λ=0時(shí),中介元xn=

    (0,1)或

    得中介元xn=

    綜合①②知,對(duì)任意的λ>-1,中介元為xn=

    于是,當(dāng)λ>-1時(shí),有Sn=當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),)n無(wú)限接近于0,Sn無(wú)限接近于

    故對(duì)任意的n∈N*,Sn<成立等價(jià)于

    即λ∈[3,+∞).

    (3)當(dāng)λ=0時(shí),h(x)=(1-xp

    ②當(dāng)p>1時(shí),依題意只需(1-xp)p>1-x在x∈(0,1)時(shí)恒成立,也即xp+(1-x)p<1在x∈(0,1)時(shí)恒成立.設(shè)φ(x)= xp+(1-x)p,x∈(0,1),則φ′(x)=p[xp-1-(1-x)p-1].由φ′(x)= 0,得x=時(shí),φ′(x)<0,當(dāng)時(shí),φ′(x)>0.又因?yàn)棣眨?)=φ(1)=1,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),φ(x)<1恒成立.

    綜上可得p的取值范圍是(1,+∞).

    本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的新定義,函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用,以及分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.點(diǎn)(xp,h(xp))不在直線y=1-x的上方,不符合條件.

    1

    五、利用數(shù)形結(jié)合法求參數(shù)的取值范圍

    某些含參不等式恒成立問(wèn)題,既不好分離參數(shù)求解,又不能轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí),則可采用數(shù)形結(jié)合法.利用數(shù)形結(jié)合往往能迅速而簡(jiǎn)捷地找到解題途徑.對(duì)于解含參不等式恒成立問(wèn)題,我們可以先把不等式兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù),且畫出兩函數(shù)的圖像,然后通過(guò)觀察兩圖像的位置關(guān)系,從而列出關(guān)于含參不等式的約束條件,進(jìn)而解決問(wèn)題.

    案例5已知函數(shù)f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m,是否存在實(shí)數(shù)m,使得y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

    解析:假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)m,滿足題意,故可構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)=-x2+8x-6lnx-m(x>0).

    因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)和函數(shù)y=g(x)的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn),所以也就是函數(shù)y=F(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn),即關(guān)于x的方程-x2+8x-6lnx-m=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,于是再構(gòu)造函數(shù)y=m,φ(x)=-x2+8x-6lnx,也即這兩個(gè)函數(shù)圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn).

    x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)φ′(x)-0+0-φ(x)遞減極小值遞增極大值遞減

    圖2 

    由上表和圖2可知,當(dāng)直線y=m位于兩極值點(diǎn)之間時(shí),函數(shù)y=m和φ(x)=-x2+8x-6lnx的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn),即7<m<15-6ln3.

    所以存在這樣的實(shí)數(shù)m∈(7,15-6ln3),使得y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且只有三個(gè)交點(diǎn).

    數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō):“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微.”通過(guò)移項(xiàng),重組轉(zhuǎn)化為常見的熟悉的函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等),通過(guò)圖像研究函數(shù)問(wèn)題是具備較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的表現(xiàn)之一.

    由此可見,求參數(shù)取值范圍問(wèn)題一直是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn),也是一個(gè)難點(diǎn),一些含參變量的問(wèn)題,往往看起來(lái)很復(fù)雜,甚至無(wú)從下手.但如果能把握題目的結(jié)構(gòu),通曉基本題型的解法,進(jìn)而確定求解方法,則會(huì)收到簡(jiǎn)捷明了、事半功倍的效果.F

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