“一葉知秋”的啟示

陳卓英

[摘 要]分?jǐn)?shù)的內(nèi)容一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，也是教師教學(xué)的一大困惑。通過對原人教版數(shù)學(xué)課本第十冊第四單元中的一道量率區(qū)分的易錯題，從問題解決等方面對學(xué)生的錯因進行分析，尋找重組教材、指導(dǎo)學(xué)法、拓展練習(xí)的教學(xué)改進策略。

[關(guān)鍵詞]量率區(qū)分 剖因溯源 教學(xué)改進

[中圖分類號] G623.5 [文獻標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）14-021

“一葉知秋”是指從一片樹葉的凋落知道秋天的到來，比喻通過個別的細(xì)微的跡象，可以看到整個形勢的發(fā)展趨向與結(jié)果。同樣，在教學(xué)上，只要看看學(xué)生的作業(yè)情況，就可以大致了解到教師的教學(xué)是成功的，還是失敗的。下面這個案例，也許能給我們一些啟示。

一、案例背景

原人教版數(shù)學(xué)課本第十冊第四單元中有這樣一道習(xí)題：“把一根4米長的木料平均分成5段，每段是這根木料的（ ），每段長（ ）米。”該題反饋時，發(fā)現(xiàn)全班有50%的學(xué)生將兩個括號里的答案互相交換了位置，約有40%的學(xué)生在兩個括號里均填寫為4 / 5，10%的學(xué)生在第二個括號里填寫5 / 4、1 / 4、1 / 5等分?jǐn)?shù)。

筆者在與學(xué)生訪談中，發(fā)現(xiàn)他們經(jīng)常會混淆代表具體量和代表分率的兩個分?jǐn)?shù)，還有對用除法解決平均分問題時總愛用“大數(shù)÷小數(shù)”，而不管誰是總數(shù)，誰是份數(shù)。后來通過老師的講評，學(xué)生訂正了錯誤，可再過幾天，出現(xiàn)類似題目，學(xué)生又會頻頻出錯。于是，筆者不禁思考：“學(xué)生為什么在講評和多次練習(xí)后，還是重復(fù)錯誤呢？這說明了什么問題？”

二、剖因溯源

“兩個分?jǐn)?shù)不小心交換了位置”和“除法總是用大數(shù)除以小數(shù)”這兩個問題看起來微小，卻體現(xiàn)了學(xué)生的認(rèn)知心理，反映了學(xué)生認(rèn)知上的某種障礙。筆者認(rèn)為主要原因不外乎以下三種。

（一）教材編排方面

對于“分?jǐn)?shù)的意義”內(nèi)容，原人教版數(shù)學(xué)教材分兩個階段安排：第一階段安排在三年級上冊，主要是把一個物體或一個圖形看作一個整體；第二階段安排在五年級下冊，主要是把很多物體或多個圖形看作一個整體，概括出單位“1”，并將分?jǐn)?shù)的意義拓展到兩種含義（即表示一種關(guān)系和表示具體數(shù)量）。教材這樣編排，一方面我們感到分?jǐn)?shù)意義理解的輕重失衡。翻閱原人教版三年級～五年級的數(shù)學(xué)課本，教材中沒有安排獨立的課時來研究用分?jǐn)?shù)表示數(shù)量，所以和學(xué)生在第一學(xué)段已建立起“部分和整體的一種關(guān)系”相比，分?jǐn)?shù)代表一種數(shù)的內(nèi)容過于單薄。另一方面，我們感到不利于學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的正遷移。教材先讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)表示“部分和整體的一種關(guān)系”，再概括分?jǐn)?shù)的意義，然后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，最后認(rèn)識分?jǐn)?shù)表示一種關(guān)系的另一種意義，這樣編排于無形中割裂了分?jǐn)?shù)的兩種意義，使學(xué)生的學(xué)習(xí)不能發(fā)生正遷移，必然造成錯誤理解所學(xué)的概念。

（二）教師方面

如教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時，教師不能很好地把握分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)重點，忽視了知識結(jié)構(gòu)的前后連貫，隨著知識難度的增加，原本隱藏的問題開始暴露。

（三）學(xué)生方面

由于上述題目中的兩個問題非常相似，又比較抽象，很多學(xué)生面對問題弄不清是求具體的數(shù)量，還是求部分與整體的關(guān)系。以前在低年段學(xué)習(xí)求每份數(shù)時，總數(shù)都大于份數(shù)，結(jié)果一般能被份數(shù)整除，而到了高年段，學(xué)生的思維還是原先的水平，當(dāng)遇到求具體數(shù)量且結(jié)果不是整數(shù)時，就無從下手了。

三、曲徑通幽

基于前面的原因分析，在對教材進行深度解讀后，筆者改進教學(xué)，從而使教學(xué)更有效。

策略（一）：重組教學(xué)內(nèi)容，均衡分?jǐn)?shù)的兩種意義

針對原教材中分?jǐn)?shù)兩種意義的教學(xué)失衡，筆者覺得可以對有關(guān)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容進行整合處理，有助于學(xué)生比較好地理解分?jǐn)?shù)的意義。

階段1：三年級上冊──強化認(rèn)知基礎(chǔ)，拓展分?jǐn)?shù)意義的理解。

由于三年級學(xué)生是在整數(shù)認(rèn)識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)意義的，所以筆者嘗試讓學(xué)生在分水果的過程中體會分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，強調(diào)“平均分”是分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。

（1）通過把4個草莓、2個橘子、1個蘋果分給兩個同學(xué)的操作，引出“平均分”。

（2）每人得到多少個？學(xué)生列式計算，師板書：被除數(shù)÷除數(shù)=商。

（3）理解“一半”的意思，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)1 / 2的意義。

①把1個蘋果平均分成2份，每份是多少？根據(jù)除法的意義，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？1÷2=？

②引出1 / 2，說說1 / 2的意思。

③剛才我們從蘋果中找到了1 / 2，那你能從圖形中找出1 / 2嗎？（活動操作過程略）

（4）類比遷移，認(rèn)識幾分之一（略）。

（5）初步感知整體“1”。

師（小結(jié)）：由于整體的個數(shù)不同，它們的1 / 2所表示的個數(shù)也不一樣。

（6）認(rèn)識分?jǐn)?shù)各部分的名稱（略）。

設(shè)計思路：從分?jǐn)?shù)的引入開始就把整體“1”的均分和單個“1”的均分結(jié)合在一起認(rèn)識，使學(xué)生接納分?jǐn)?shù)時就較好地建構(gòu)起比較完整的分?jǐn)?shù)意義。

階段2：五年級下冊──改變編排結(jié)構(gòu)，完善分?jǐn)?shù)認(rèn)知系統(tǒng)。

“分?jǐn)?shù)的意義”的學(xué)習(xí)主要是對三年級分?jǐn)?shù)認(rèn)識系統(tǒng)的完善，教學(xué)時筆者除了重點揭示單位“1”和認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位外，還把原本分兩個課時教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”與“分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系”的新授整合在一節(jié)課中嘗試教學(xué)。

（1）分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系的認(rèn)識。

①老師買了6個餅，平均分給3個人，每人得到多少個？

生：6÷3=2（個）。

②1.5個餅平均分給3個人，每人得到多少個？

生：1.5÷3=0.5（個）。

……

師：觀察這些算式，你發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)與除法有什么關(guān)系？

師（小結(jié)）：看來，兩個數(shù)相除，商不僅可以用小數(shù)來表示，也可以用分?jǐn)?shù)來表示。

③如果用字母a表示被除數(shù)，b表示除數(shù)，誰可以用字母來表示這種關(guān)系？（板書：a÷b=a / b）

師：a / b是a÷b的商，在這里它表示一個具體的量，有時也表示一種關(guān)系。

設(shè)計思路：以除法的含義為解決問題的主線，讓學(xué)生感受到解決問題的方法是一樣的，只是商的表達(dá)方式不同。這樣教學(xué)，不僅讓學(xué)生比較清楚地認(rèn)識到分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系，又能讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)可以表示具體數(shù)量，為后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)表示分率做好準(zhǔn)備。

（2）單位“1”的認(rèn)識。

①師：看到a / b，你會想到哪些分?jǐn)?shù)？（生答略）

師：請舉例說說1 / 4的含義，也可以畫圖表示。

②學(xué)生反饋交流（略）。

（3）師：在表示1 / 4的過程中，有什么共同點？（都是平均分成4份，取了其中的1份）有什么不同的地方？（分的物體不同）

（4）在分?jǐn)?shù)與除法、具體量與分率的溝通中認(rèn)識單位“1”。

（5）師（小結(jié)）：我們把一個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)表示。這個整體可以用自然數(shù)1來表示，通常把它叫做單位“1”。表示其中的一份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)單位。

設(shè)計思路：這里抓住1 / 4這個突破口，強化1 / 4的含義，引導(dǎo)學(xué)生理解雖然單位“1”不同，但都是用分?jǐn)?shù)1 / 4表示。通過圖的變換，讓學(xué)生對單位“1”是一個物體的認(rèn)識，逐步拓展到單位“1”是多個物體的認(rèn)識，進一步理解單位“1”和分?jǐn)?shù)單位。

策略（二）：指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，引領(lǐng)分?jǐn)?shù)的兩種意義

分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點，尤其是剛開始接觸分?jǐn)?shù)時，學(xué)生對于正確區(qū)分量、率更是個難點。教學(xué)中，教師可給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時收到事半功倍的效果。

1.單位區(qū)分。

如上述題目，分析時可以先從題目的字面入手，引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，觀察這兩個問題有什么異同。通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一個括號后面沒有單位，而第二個括號后面是有單位的。如“每份占總量的幾分之幾”“甲是乙的幾分之幾”所表示的就是分率，分率是沒有單位的；如“每段長幾分之幾米”“每份是幾分之幾”所表示的就是具體數(shù)量，數(shù)量是有單位的。第一個問題“每段是這根木料的幾分之幾”，求的是分率，以木料的全長為標(biāo)準(zhǔn)；第二個問題“每段長幾米”，求的是數(shù)量。

2.數(shù)形結(jié)合。

我們可以借助畫線段圖或示意圖等方法來幫助學(xué)生理解題意，從而把抽象的問題變?yōu)橹庇^圖形。如上述錯例分析中，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意分別畫出兩幅線段圖。如下圖：

師：圖1是把誰看做單位“1”？（整根木料）平均分成幾段？（5段）其中的一段就是表示“每段是這根木料的幾分之幾”，用算式表示是1÷5=1 / 5。圖2是把誰平均分成5段？（4米長的木料）每段是多少米？用算式表示是4÷5=4 / 5（米）。

策略（三）：拓展題目類型，強化分?jǐn)?shù)兩種意義

認(rèn)識分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系后，可以設(shè)計一些專門區(qū)分分?jǐn)?shù)兩種意義的對比練習(xí)題，以便學(xué)生更好分辨“什么時候是一種關(guān)系，什么時候是具體的數(shù)量”“什么時候該加單位，什么時候不該加單位”。如下：

（1）基礎(chǔ)練習(xí)。

①一根5米的鋼管平均截成8段，每段是這根鋼管的（ ），每段長（ ）米。

②同學(xué)們到植物園參觀，用25分鐘走了2千米，平均每分鐘走（ ）千米。

（2）拓展練習(xí)。

①小明做完以下三項作業(yè)要2小時，其中做作業(yè)用了1 / 2小時，聽英語用了1 / 4小時，那剩下的體育鍛煉要用幾小時？

②小明做完以下三項作業(yè)要2小時，其中做作業(yè)用了所有時間的1 / 2，聽英語用了1 / 4，那剩下的體育鍛煉用了全部時間的幾分之幾？

筆者對于三年級和五年級兩次教學(xué)分?jǐn)?shù)的內(nèi)容各有側(cè)重，從教學(xué)情況和效果來看，雖然仍有很多不成熟的地方，但能幫助學(xué)生比較完整地掌握分?jǐn)?shù)的兩種意義，為今后小數(shù)乘除法、分?jǐn)?shù)乘除法等計算教學(xué)和相關(guān)的解決問題的教學(xué)做好鋪墊。

（責(zé)編 杜 華）