高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)變換的學(xué)習(xí)及應(yīng)用策略

馬嫣然

摘 要 三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的模塊，知識(shí)結(jié)構(gòu)緊湊嚴(yán)密，需記憶的內(nèi)容較多。其中尤以三角函數(shù)變換公式繁多，變換類型靈活多樣，很多學(xué)生在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到了困難。本文結(jié)合三角函數(shù)變換類型總結(jié)了多種解題思路，并簡(jiǎn)單探討了日常學(xué)習(xí)中如何掌握好這部分內(nèi)容。

關(guān)鍵詞 高中數(shù)學(xué) 三角函數(shù) 變換類型

中圖分類號(hào)：G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)變換常見(jiàn)類型分析

1.1“角度”的變換

在三角函數(shù)的組成中，角度是作為自變量的重要部分，角度的變換直接影響函數(shù)名稱、次數(shù)、正負(fù)的變化。而在課本所學(xué)公式中也包含了差角、和角、倍角、半角、余角、補(bǔ)角這幾類，因此在變形題目當(dāng)中，有很多題目在角度的變換上下了功夫。在這類題目的求解過(guò)程中，要靈活運(yùn)用角度之間的和差、半倍、補(bǔ)湊的關(guān)系，使用“已知角”來(lái)推導(dǎo)“未知角”，繼而進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。例如 =（ + ） = + = （ ）、2 = （ + ） （ ）等。通過(guò)這種角度變化就能化繁為簡(jiǎn)、由難到易地解決此類問(wèn)題。

例如下題：化簡(jiǎn)sin（ + ）cos（ ） cos（ + ）sin（ ）

分析本題時(shí)發(fā)現(xiàn)如果將后一單項(xiàng)式中的sin（ ）變成sin[ （ ）]，就可以直接套用課本公式sin（ + ）=sin cos +cos sin 這一形式來(lái)解決。因此將負(fù)號(hào)提出，轉(zhuǎn)化為與公式類似的結(jié)構(gòu)就可以解決本題。求解過(guò)程如下：

sin（ + ）cos（ ） cos（ + ）sin（ ）

=sin（ + ）cos（ ） cos（ + ）[ sin（ ）]

=sin（ + ）cos（ ）+cos（ + ）sin（ ）

=sin（ + + ）

=sin（ + ）

1.2函數(shù)名稱的變換

三角函數(shù)中我們學(xué)習(xí)了正弦、余弦、正切三種函數(shù)，而這三種函數(shù)之間又是可以互相轉(zhuǎn)化的，因此函數(shù)名稱的變換也是一個(gè)考查重點(diǎn)。題目中經(jīng)常同時(shí)出現(xiàn)很多不同名稱的三角函數(shù)，很難用統(tǒng)一的方式方法來(lái)化簡(jiǎn)，這就要求我們將不同的三角函數(shù)名稱變換成同一類型的三角函數(shù)，來(lái)達(dá)到求解的目的。最常用的方法是sin2x+cos2x=1、 = tanx即“切割化弦”、“齊次弦化切”，同時(shí)還要注意一些公式的逆用及變用，如2sin2x=1 cos2x等。接著就可進(jìn)一步簡(jiǎn)化、證明、計(jì)算。

1.3函數(shù)內(nèi)容的變換

另有一些題目在解題過(guò)程中需將已知的一些內(nèi)容轉(zhuǎn)化，例如將1、、等轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的三角函數(shù)形式。在內(nèi)容轉(zhuǎn)化時(shí)，可以引入輔助角公式，將題目的形式向兩角之間正弦余弦公式的形式轉(zhuǎn)化，以此來(lái)求解原函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間等。這是一種非常有效的解題手段，例如將asin +bcos 變?yōu)閟in（ + ），這樣就可以按照一個(gè)函數(shù)整體進(jìn)行求解，達(dá)到解題的目的。

2關(guān)于學(xué)習(xí)過(guò)程中的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)

2.1注重與初中原有知識(shí)的銜接，遇到困難不退縮

由于初中時(shí)三角函數(shù)只有特殊角的記憶和代數(shù)運(yùn)算，相對(duì)比較簡(jiǎn)單，因此有些學(xué)生在接觸到高中數(shù)學(xué)的三角函數(shù)部分時(shí)，誤以為該部分內(nèi)容同樣很容易掌握，在學(xué)習(xí)過(guò)程中就掉以輕心，沒(méi)有潛下心來(lái)研究整個(gè)函數(shù)并站在函數(shù)整體的高度上來(lái)看問(wèn)題。結(jié)果在出現(xiàn)難題后一時(shí)無(wú)法解決，就產(chǎn)生畏難情緒，進(jìn)一步阻礙了前進(jìn)的道路，導(dǎo)致惡性循環(huán)。要想從根本上解決這樣的問(wèn)題，需要注意平時(shí)的復(fù)習(xí)鞏固，從初中知識(shí)有意識(shí)地轉(zhuǎn)移到高中知識(shí)上來(lái)。高中數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的很大不同是，高中數(shù)學(xué)引入了“連續(xù)的變化”的概念，因此高中部分的三角函數(shù)知識(shí)有較強(qiáng)的邏輯性和整體性，后面的學(xué)習(xí)往往要運(yùn)用到前面所學(xué)的內(nèi)容。

2.2熟悉推導(dǎo)過(guò)程，靈活記憶公式

三角函數(shù)部分公式多，變換形式復(fù)雜，而考試中又要求學(xué)生熟練掌握基本公式及變形技巧。在這種情況下，要學(xué)會(huì)用巧勁兒來(lái)記憶。例如在誘導(dǎo)公式一節(jié)，共學(xué)習(xí)了六組公式，如果單獨(dú)記憶的話很容易記錯(cuò)記混，這時(shí)候就可以用“奇變偶不變，符號(hào)看象限”來(lái)記憶。這句口訣的意義是將幾個(gè)公式總結(jié)在一起，將角 +2k 、 + 、 、 、 、+ 統(tǒng)一寫(xiě)成k + 的形式。如果k為奇數(shù)，則變換三角函數(shù)的類型，由正弦變?yōu)橛嘞遥蛴捎嘞易優(yōu)檎?；如果k為偶數(shù)，則函數(shù)類型不變化，與原函數(shù)保持一致。下半句“符號(hào)看象限”的意思是指在變形時(shí)，將原函數(shù)中的 角假定為銳角，然后得到原函數(shù)的正負(fù)，將此正負(fù)添加到變形后的結(jié)果前面，就得到了最終的變形結(jié)果。

2.3專注知識(shí)本質(zhì)，加強(qiáng)課后練習(xí)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要準(zhǔn)確把握課本中概念及定理的本質(zhì)，理解三角函數(shù)作為函數(shù)的確切含義，理解每一步變形的依據(jù)，否則一旦題目發(fā)生變化，死記硬背的公式就無(wú)法準(zhǔn)確的派上用場(chǎng)。例如在化簡(jiǎn)過(guò)程中常遇到的y= sinx+bcosx，一開(kāi)始我們上課時(shí)只是記得老師講過(guò)將提出，但是并沒(méi)有真正理解為什么要這樣做。結(jié)果在一次考試中，由于題目比較復(fù)雜，在進(jìn)行過(guò)這一步驟后我就不記得如何發(fā)展到下一步，導(dǎo)致失分。后來(lái)在反思與總結(jié)過(guò)程中，我才真正明白將提出后，是為了把剩下部分括號(hào)內(nèi)的式子看做是兩個(gè)角的正余弦，然后將其變?yōu)锳sin（ x+ ）的形式，再利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行周期性或單調(diào)性等的計(jì)算。這次教訓(xùn)給我?guī)?lái)的啟發(fā)是，在學(xué)習(xí)過(guò)程中不能生搬硬套不求甚解，一定要注意理解知識(shí)的本質(zhì)，注意學(xué)會(huì)推導(dǎo)的過(guò)程，否則很難靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題。

3總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)的三角函數(shù)變換題中，無(wú)論題目是要求化簡(jiǎn)、證明抑或是求解，解題過(guò)程一般都遵循由繁入簡(jiǎn)、由難到易，由未知向已知轉(zhuǎn)化的原則。為此我們要扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)內(nèi)容，采用合適的解題技巧，通過(guò)恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換來(lái)簡(jiǎn)化題目，逐步降低題目難度，直至問(wèn)題得到解決。只要通過(guò)學(xué)練結(jié)合，我們一定會(huì)在以后考試中取得優(yōu)異成績(jī)。

參考文獻(xiàn)

[1] 張夢(mèng)瑤.淺析高中數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)變換[J].文理導(dǎo)航（中旬），2016（01）.

[2] 符白陵.高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的教學(xué)策略研究[D].湖南師范大學(xué)，2014（03）.

[3] 李叢.高一學(xué)生三角函數(shù)認(rèn)知障礙及對(duì)策研究[D].山東師范大學(xué)，2012（04）.