數(shù)形結(jié)合成伴侶相互吸取新活力

冉夢(mèng)君

摘 要：本文抓住數(shù)與形兩者之間的辯證關(guān)系，從“以數(shù)輔形”、“以形助數(shù)”兩個(gè)方面，例談在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的地位和作用，進(jìn)而使學(xué)生能夠真正理解和掌握數(shù)形結(jié)合這種解題方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；以數(shù)輔形；以形助數(shù)

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)最古老，也是最基本的研究對(duì)象，更是數(shù)學(xué)發(fā)展中的一條主線。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分，他們?cè)谝欢l件下可以相互轉(zhuǎn)化，這個(gè)相互轉(zhuǎn)化稱之為數(shù)形結(jié)合。由于代數(shù)本身缺乏直觀性，幾何本身缺乏嚴(yán)密性，所以，只有將二者有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，才能突破思維的限制，加快數(shù)學(xué)的發(fā)展。正如法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日所指出的“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)兩門(mén)科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸取新鮮活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”。因此，探討數(shù)形結(jié)合一直是數(shù)學(xué)教育的熱門(mén)話題，但對(duì)于變化多端的題材，千姿百態(tài)的學(xué)生，永無(wú)完美的教法，這都有待我們數(shù)學(xué)教育工作者不斷認(rèn)識(shí)、研究、開(kāi)發(fā)。回顧歷年高考數(shù)學(xué)試題，數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)容占有很大的比重，筆者通過(guò)分析、研討數(shù)形結(jié)合試題在高考試題中的變化規(guī)律，結(jié)合學(xué)生解題能力的實(shí)際情況，從數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)入手，將數(shù)形結(jié)合思想和方法滲透融合在解題教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)方法與內(nèi)容的整合，收到良好效果。

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來(lái)闡述形的某些屬性，即“以數(shù)輔形”；或者借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”，現(xiàn)就從所述兩個(gè)方面例談在解題教學(xué)中如何教會(huì)學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想方法。

一、以數(shù)輔形

以數(shù)輔形就是根據(jù)幾何圖形的特征，建立直角坐標(biāo)系，構(gòu)造出與之相應(yīng)的代數(shù)方程或函數(shù)解析式，運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題。“以數(shù)輔形”的途徑大體有三種：一是函數(shù)法，二是向量法，三是解析法。

1.函數(shù)法：凡涉及到函數(shù)圖像與解析式或函數(shù)圖像間的關(guān)系問(wèn)題時(shí)，常采用“以數(shù)輔形”的途徑，此時(shí)的“數(shù)”一般是指函數(shù)的性質(zhì)或解析式。這類(lèi)問(wèn)題在歷年高考題中常考常新，其破題思路是：根據(jù)函數(shù)圖像，判斷函數(shù)解析式或者圖像時(shí)，要從函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、正負(fù)性、變換趨勢(shì)、特殊點(diǎn)等性質(zhì)入手。把函數(shù)圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題去研究。

2.解析法：在用“以數(shù)輔形”的途徑處理平面幾何、立體幾何問(wèn)題時(shí)，“以數(shù)輔形”中的“數(shù)”一般也是指建立坐標(biāo)系。尤其是在處理立體幾何與平面解析幾何知識(shí)交匯問(wèn)題時(shí)，只有通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn)形數(shù)的轉(zhuǎn)化。

例1.已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到直線的距離等于點(diǎn)P到直線CD的距離，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線是（ ）

A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.直線

【解析】以A為原點(diǎn)，AB為x軸、AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)P（x，y），作PE⊥AD于E、PE⊥A1D1于F，連結(jié)EF，易知=+=+1又作PN⊥CD于N，則—PN—‖—1-y—.依題意—PE—‖—PN—，即=，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所在的曲線為雙曲線，選擇B.

【點(diǎn)評(píng)】“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，軌跡問(wèn)題更是如此，從幾何角度不好入手時(shí)，可以嘗試從代數(shù)的角度，利用解析法求解出相應(yīng)軌跡，不失為此類(lèi)問(wèn)題解決的好方法.

二、以形助數(shù)

當(dāng)求解有關(guān)數(shù)式問(wèn)題無(wú)從著手之際，應(yīng)嘗試圖形直觀性質(zhì)的分析，即以形助數(shù)，或許能茅塞頓開(kāi)，發(fā)現(xiàn)解題的捷徑。以形助數(shù)就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中“數(shù)”的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規(guī)律來(lái)研究解決問(wèn)題，這樣可以化抽象為直觀，易于顯露出問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)借助幾何直觀審題，還可以避免一些復(fù)雜的數(shù)字討論?！耙孕沃鷶?shù)”中的“形”，或有形或無(wú)形。若有形，則可為圖表與模型；若無(wú)形，則可另行構(gòu)造或聯(lián)想。因此“以形助數(shù)”的途徑大體有三種：一是運(yùn)用圖形；二是構(gòu)造圖形；三是借助于代數(shù)式的幾何意義。

1.運(yùn)用圖形法：在解決某些含參不等式（或方程）問(wèn)題時(shí)，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為運(yùn)用兩個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系來(lái)解決。

例2.已知不等式--<0在上恒成立，則的取值范圍是

【解析】原不等式可變形為-<，令=-，=，則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，要求的取值范圍使得函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像下方，作出兩個(gè)函數(shù)圖像，由圖像知：，且-即，綜上，。

【點(diǎn)評(píng)】本題將抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，直觀，容易獲得結(jié)果。數(shù)形結(jié)合是處理不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的得力工具，其基本步驟為：首先將不等式變形為兩個(gè)函數(shù)值大小的比較形式，再作出函數(shù)圖像.

2.構(gòu)造圖形法：在研究方程問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)構(gòu)造函數(shù)圖像來(lái)解決。在近幾屆高三復(fù)習(xí)教學(xué)中我都選用了2006年高考湖北卷理科數(shù)學(xué)第10題作為例子，從代數(shù)、幾何兩個(gè)角度對(duì)比分析其解法，備受學(xué)生青睞的是構(gòu)造圖形法。

例3.關(guān)于的方程-+=0，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)k，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；

其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

解析略

3.借助于代數(shù)式的幾何意義命題，也類(lèi)見(jiàn)不鮮，如2014年上海六校聯(lián)考題：若點(diǎn)P（x，y）在動(dòng)點(diǎn)所在軌跡上，則的取值范圍是。顯然點(diǎn)M的軌跡是圓心在，半徑為1的圓，用數(shù)形結(jié)合思想發(fā)現(xiàn)的幾何意義為圓上一點(diǎn)P與原點(diǎn)所在直線的斜率，易得所求范圍。

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，不僅是幾何問(wèn)題用代數(shù)方法思考，或是代數(shù)（或三角）問(wèn)題由圖形去思考，而是密切聯(lián)系、相互滲透的統(tǒng)一整體。根據(jù)解決問(wèn)題的需要，可以先把數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)和特征去研究，再把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題去研究，通過(guò)這種數(shù)形相互滲透，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。作為教師，我們應(yīng)該在教學(xué)的過(guò)程中貫穿這些重要的數(shù)學(xué)思想方法，盡可能多的訓(xùn)練有關(guān)數(shù)學(xué)解題能力的相關(guān)知識(shí)，拓展學(xué)生的視野，完善自身的數(shù)學(xué)理論體系，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不斷提高學(xué)生的綜合素質(zhì)能力。

（作者單位：重慶市奉節(jié)中學(xué)）