圓中之“最”，有“跡”可尋

柏素霞

近年來，以圓為載體，通過點的運動或是圓本身的運動來考查與圓有關的最值的題型不在少數(shù)，解決這類問題的關鍵是找出確定最值成立的條件，同學們要學會化未知為已知，與已學知識點相聯(lián)系，架起思維的橋梁，實現(xiàn)轉化，從而找到突破口求解.

一、 結合三角形的中位線定理求解

例1 如圖1，AB是☉O的弦，AB=6，點C是☉O上的一個動點，且∠ACB=45°.若點M，N分別是AB，BC的中點，則MN長的最大值是_______.

【分析】根據中位線定理得到，AC最大時，MN最大.AC是圓的一條弦，隨著點C的運動，弦AC的長在發(fā)生變化，在圓內，直徑是最長的弦，因此，當AC過點O為直徑時AC最長，從而求得直徑后就可以求出最大值.

解：∵點M，N分別是AB，BC的中點，

∴MN=AC，

∴當AC取得最大值時，MN就取得最大值，當AC為直徑時最大，如圖2，

∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，

∴AD=6，

∴MN=AD=3，

故答案為：3.

【說明】在解決本類題型時我們要學會動中覓靜，要分清在運動過程中圖形的不變元素和變動元素，探尋到那些隱含的、在運動變化中沒有改變的不變量或不變關系.本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質及圓周角定理，解題的關鍵是了解什么時候MN的值最大.本題中的不變關系就是三角形的中位線定理，通過這個不變關系實現(xiàn)了最大值的轉化，通過求AC的最大值從而求得了MN的最大值.

二、 結合垂線段的性質求解

例2 如圖3，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上的一個動點，以AD為直徑畫☉O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為___________.

【分析】如圖4，由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短.根據同圓中同弧所對的圓心角和圓周角之間的關系可知∠EOF=120°，易求得∠EOH=60°，根據特殊的直角三角形三邊間的比例關系可知EF=OE，當半徑OE最短時，EF最短.

解：如圖4，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此時圓的直徑為2，

∴OE=OF=1.

由圓周角定理可知

∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=1×=，

由垂徑定理可知EF=2EH=，

故答案為：.

【說明】本題考查了垂徑定理、圓周角定理以及特殊的直角三角形的性質.解本題的關鍵是根據運動變化，找出滿足條件的最小圓，再利用特殊直角三角形三邊之比找出EF與圓的直徑之間的關系.這里的最值實質上是應用了“垂線段最短”，再轉化為所要求的弦的最小值.

三、 “最”上加“最”，綜合求解

例3 如圖5，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，經過點C且與邊AB相切的動圓與CB、CA分別相交于點E、F，則線段EF長度的最小值是________.

【分析】利用勾股定理的逆定理得到∠C為直角，利用“90度的圓周角所對的弦為直徑”，得到EF為圓的直徑.如圖6，設圓與AB的切點為D，圓心為點O，連接CO、DO，這兩條半徑之和始終等于直徑EF的長，當（CO+DO）的長度最短時，則EF的長度最小.故當C、O、D三點共線時，即當CD垂直于AB時，CD是圓的直徑，此時EF長度最小，求出即可.

解：∵在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，可知EF為圓的直徑.

設圓與AB的切點為D，連接CD，

當CD垂直于AB，即CD是圓的直徑時，EF長度最小，最小值是=7.2.

【說明】本題考查了勾股定理的逆定理及直徑、圓周角的相關性質.解決本題的關鍵是要看清圓在運動的過程中，EF與（CO+DO）始終相等，故可進行等量轉化.在運動過程中，有那么一個特殊狀態(tài)，C、O、D三點共線且垂直于AB，此時CD最短且為直徑，這里運用了兩點之間線段最短和垂線段最短的性質.

以上幾例為圓中有關最值計算問題的常用思路，同學們只要能尋得問題的源頭，便能抵達成功的彼岸.

（作者單位：江蘇省揚州大學附屬中學東部分校）