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    “圓”中難點十一問

    2016-10-09 22:31:29
    初中生世界·九年級 2016年9期
    關(guān)鍵詞:外心圓心角圓周角

    王云峰

    在圓的章節(jié)學習中,我們會學到很多重要的知識和方法,也會提出一些很有分量的思考問題,下面的問題你會答嗎?

    1. 如何證明幾個點在同一個圓上?

    答:根據(jù)圓的定義“圓是到定點的距離等于定長的點的集合”,將問題轉(zhuǎn)化為證明這幾個點到同一個點(即圓心)的距離相等.如圖1,兩個直角三角形有相同的斜邊,那么兩個直角頂點以及斜邊的兩個端點在同一個圓上(圓心是斜邊的中點).

    2. 長度相等的弧是等弧嗎?

    答:能夠互相重合的弧叫做等弧,由定義可知等弧的長度相等,但長度相等的弧不一定能互相重合,所以長度相等的弧不一定是等弧.

    3. 垂徑定理有哪些應用?

    答:垂徑定理是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系、弧相等問題的重要依據(jù),同時也為圓中的計算與作圖提供了依據(jù)和方法.

    在解決與弦有關(guān)的問題時,常構(gòu)造出如圖2所示的直角三角形,這是圓中常用的基本圖形.

    如圖3,☉O中,半徑OD⊥弦AB于點C,與弦有關(guān)的計算問題?;瘹w到Rt△OAC中求解.若用r表示半徑,a表示弦AB的長,d表示圓心O到弦AB的距離,h表示劣弧AB的最高點到弦AB的距離,則r、a、d、h之間滿足r2=d2+

    2及d+h=r,可知在r、a、d、h中,知道其中任意兩個量,就可求出其余兩個量,即“知二求二”.

    4. 與圓有關(guān)的角有哪些?

    答:圓心角與圓周角,定理“圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等”是“圓心角的度數(shù)”與“弧的度數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù);圓周角定理體現(xiàn)了圓周角與圓心角之間的關(guān)系,是“弧相等”與“角相等”相互轉(zhuǎn)化的重要依據(jù).

    5. 一條弦所對的圓周角有什么關(guān)系?

    答:由“同弧或等弧所對的圓周角相等”及“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”知,一條弦所對的圓周角相等或互補.

    6. 三角形的外心與內(nèi)心有什么不同?

    答:三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點,它到三角形三個頂點的距離相等.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)部,直角三角形的外心是斜邊中點,鈍角三角形的外心在三角形的外部.

    三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點,它到三角形三邊的距離相等;三角形的內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部.

    【說明】三邊長分別為a、b、c(∠C=90°)的直角三角形的外接圓半徑是,內(nèi)切圓半徑是.

    7. 如何證明一條直線是圓的切線?

    答:如果直線與圓有公共點,那么利用切線的判定定理即“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”進行證明;如果直線與圓不能確定公共點,那么利用“圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線”進行證明,即作出圓心到直線的垂線段,證明垂線段與圓的半徑相等.

    8. 如何求正多邊形的面積?

    答:如圖4,正n邊形的半徑為R,邊AB=a,圓心O到邊AB的垂線段OM=d,則正多邊形的面積為nS△AOB=2nS△AOM=nad,即將關(guān)于正n邊形的計算轉(zhuǎn)化到Rt△AOM中進行.

    9. 弧長公式、扇形面積公式、圓錐側(cè)面積公式分別是什么?

    答:n°的圓心角所對的弧長為l弧=;圓心角為n°的扇形面積是S扇形=;弧長為l弧的扇形面積公式是S扇形=l弧R;母線長為l母,底面圓半徑為r的圓錐側(cè)面積是S側(cè)=πrl母.

    【說明】弧長公式、扇形面積公式、圓錐側(cè)面積公式很容易發(fā)生混淆,熟練掌握每個公式的推導過程是避免混淆的有效措施.如:l弧=×2πr;S扇形=×πr2;S側(cè)=×2πr×l母.另外弧長公式與圓錐側(cè)面積公式中都有字母l,兩者表示的意義不相同,為防止混淆,運用公式時可用文字標注出其意義.

    10. 如何求不規(guī)則圖形的面積?

    答:求不規(guī)則圖形的面積,一般利用“割補法”將不規(guī)則圖形割補成規(guī)則圖形,于是不規(guī)則圖形面積可用規(guī)則圖形面積的和或差表示出來,進而再求面積.如果不規(guī)則圖形中含有弧,一般要連接半徑構(gòu)造出弧所在的扇形再求解.

    11. 圓中常用的輔助線有哪些?

    答:(1) 連接半徑(以便運用“同圓的半徑相等”,即構(gòu)造出等腰三角形);(2) 過圓心作弦的垂線(以便運用垂徑定理);(3) “遇直徑,連直角”(以便運用“直徑所對的圓周角是直角”);(4) “遇切點,連半徑”(以便運用切線的性質(zhì)定理).

    (作者單位:江蘇省鹽城市葛武初級中學)

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