直擊點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

張衛(wèi)

畢達(dá)哥拉斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓.”同學(xué)們，當(dāng)你開(kāi)始“圓”這一章的學(xué)習(xí)時(shí)就進(jìn)入了一個(gè)神奇美麗的世界，讓我們從學(xué)習(xí)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系開(kāi)始吧！

一、 概念釋疑

認(rèn)真的你一定會(huì)注意到，在我們的書(shū)本上對(duì)“圓”給出了兩種不同的定義：

1. 把線段OP繞著端點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形叫做圓.

2. 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

對(duì)于第一種解釋大家應(yīng)該很容易理解，對(duì)于第二種定義同學(xué)們可能就不太好理解了.通俗地講集合就是由具有同一屬性的對(duì)象匯總成的集體，第二種定義的意思就是：圓，只有一個(gè)圓心，圓心到圓上各點(diǎn)的長(zhǎng)都相等，并且到圓心的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在這個(gè)圓上.

二、 概念拓展

如果我們?cè)谄矫嫔袭?huà)一個(gè)圓，我們可以知道平面內(nèi)的點(diǎn)與這個(gè)圓存在三種位置關(guān)系：（1） 點(diǎn)在圓上；（2） 點(diǎn)在圓內(nèi)；（3） 點(diǎn)在圓外.

由此我們還可以得出兩個(gè)結(jié)論：

1. 圓的內(nèi)部可以看作是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合.

2. 圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合.

三、 例題的拓展

蘇科版《數(shù)學(xué)》教科書(shū)第39頁(yè)嘗試與交流：

如圖1，線段PQ=2 cm.

（1） 畫(huà)出下列圖形：

到點(diǎn)P的距離等于1 cm的點(diǎn)的集合；到點(diǎn)Q的距離等于1.5 cm的點(diǎn)的集合.

（2） 在所畫(huà)圖中，到點(diǎn)P的距離等于1 cm，且到點(diǎn)Q的距離等于1.5 cm的點(diǎn)有幾個(gè)？請(qǐng)?jiān)趫D中將它們表示出來(lái).

（3） 在所畫(huà)圖中，到點(diǎn)P的距離小于或等于1 cm，且到點(diǎn)Q的距離大于或等于1.5 cm的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形？把它畫(huà)出來(lái).

【解析】（1） 到點(diǎn)P的距離等于1 cm的點(diǎn)的集合是以P為圓心、1 cm長(zhǎng)為半徑的圓，到點(diǎn)Q的距離等于1.5 cm的點(diǎn)的集合是以Q為圓心、1.5 cm長(zhǎng)為半徑的圓，如圖2-a；

（2） 滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，為（1）中兩圓的交點(diǎn)M、N，如圖2-b；

（3） 由前面的概念可知這樣的點(diǎn)既在☉P內(nèi)或☉P上又得在☉Q外或☉Q上，即為如圖2-c的陰影部分（包括邊界）.

變式1 圓心位置、半徑大小都確定

如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，以B為圓心，BC為半徑畫(huà)圓，試判斷點(diǎn)A、C、E、F與☉B(tài)的位置關(guān)系.

【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，所以AB=8>4，則點(diǎn)A在☉B(tài)外；很明顯，點(diǎn)C在☉B(tài)上；BE=AB=4，所以點(diǎn)E在☉B(tài)上；連接BF，在Rt△BCF中，BF >BC，所以點(diǎn)F在☉B(tài)外.

【點(diǎn)評(píng)】現(xiàn)在要判定平面內(nèi)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，除了通過(guò)畫(huà)圖，還可以通過(guò)比較該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小來(lái)判定，而后者以后會(huì)用得更多些.

變式2 圓心位置不變，半徑改變

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4.以B為圓心、r為半徑畫(huà)圓，當(dāng)r在什么范圍時(shí)，點(diǎn)C在☉B(tài)內(nèi)，點(diǎn)A在☉B(tài)外.

【解析】要使點(diǎn)C在☉B(tài)內(nèi)，r>BC=4；要使點(diǎn)A在☉B(tài)外，r

變式3 圓心位置改變，半徑不變

如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心、2為半徑作☉P，當(dāng)點(diǎn)P由B→A以1個(gè)單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P到A時(shí)運(yùn)動(dòng)停止）過(guò)程中，點(diǎn)F在☉P內(nèi)有多少時(shí)間？

【解析】由勾股定理易知AC=4，則AF=2.過(guò)F作FH⊥AB，可得FH=<2，因此點(diǎn)F一定有一段時(shí)間在☉P內(nèi).此時(shí)只要弄清何時(shí)圓心P與點(diǎn)F的距離為2，如圖6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1，同理P2H=1，則P1 P2=2，而點(diǎn)P以1個(gè)單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)，因此點(diǎn)F在☉P內(nèi)共2秒.

變式4 圓心位置、半徑大小都改變

如圖7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P由B→A以1個(gè)單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P到A時(shí)運(yùn)動(dòng)停止），以P為圓心的圓的半徑也由0開(kāi)始以1個(gè)單位每秒的速度變大. 在這個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)F在☉P內(nèi)有多少時(shí)間？

【解析】如圖8，根據(jù)變式3的運(yùn)算結(jié)果，在Rt△AFH中，F(xiàn)H=，AH=3，則HB=5.假設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)點(diǎn)F正好在☉P上，則PB=PF=t，PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下來(lái)點(diǎn)F一直在☉P內(nèi)，因此點(diǎn)F在☉P內(nèi)共8-2.8=5.2（秒）.

同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)上面的例子都是萬(wàn)變不離其宗——緊緊圍繞著點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，所以平時(shí)大家多積累一定能有更多收獲！

（作者單位：江蘇省常州市新北區(qū)龍虎塘中學(xué)）