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    透視2016中考題型,解讀“圓”的學習策略

    2016-10-09 22:32:55
    初中生世界·九年級 2016年9期
    關(guān)鍵詞:弧長圓心角圓周角

    徐菊萍

    圓是最常見、最完美的圖形,是簡單而又特殊的曲線, 它有獨特的對稱性與旋轉(zhuǎn)不變性:圓是軸對稱圖形,任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸,垂徑定理及推論體現(xiàn)了圓的軸對稱性;圓是中心對稱圖形,弧、弦與圓心角之間的關(guān)系體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性.

    圓又與直線圖形有著密切的關(guān)系,圓的一些性質(zhì)可以利用直線知識證明,而圓的知識又為研究直線圖形的性質(zhì)提供了新的內(nèi)容.圓與直線圖形,成為平面幾何研究的兩個主要對象.圓貫穿于三角形、四邊形、解直角三角形等基本幾何圖形性質(zhì)的研究,也與其他知識點如代數(shù)函數(shù)、方程等相結(jié)合作為中考壓軸題,既可以從“數(shù)”的一面對它進行研究,也可以從“形”的一面對它進行研究,有很強的綜合性.下面我們結(jié)合2016中考題型,一起來深入解讀“圓”的學習策略.

    一、 圓的基本概念和性質(zhì)

    對于圓的基本概念、圓的對稱性及根據(jù)對稱性探索出的弧、弦、圓心角之間的關(guān)系、垂徑定理、圓周角、圓內(nèi)接四邊形等知識,多以填空題、選擇題形式出現(xiàn),在綜合題及應(yīng)用題中常作為被考查的一個方面.

    考點1 圓心角和圓周角

    例1 (2016·山東濟寧)如圖1,在☉O中,=,∠AOB=40°,則∠ADC的度數(shù)是( ).

    A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°

    【解析】已知,在☉O中,=,∠AOB=40°,根據(jù)“同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,并且都等于所對圓心角的一半”可得∠ADC=∠AOB=20°,故答案選C.

    【點評】有關(guān)圓周角的計算,我們在解答時,應(yīng)從圓周角與其所對應(yīng)的弧、圓心角、弦等方面考慮,不要忘記“在同圓或等圓中”這個重要前提.

    例2 (2016·湖南婁底)如圖2,已知AB是☉O的直徑,∠D=40°,則∠CAB的度數(shù)為( ).

    A. 20° B. 40° C. 50° D. 70°

    【解析】根據(jù)圓周角推論“在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等”可得∠B=∠D=40°,“直徑所對的圓周角是直角”得∠ACB=90°,所以∠CAB=180°-90°-40°=50°,故選C.

    【點評】利用圓周角推論“直徑所對的圓周角是直角”,常常需要添加輔助線,“連直徑”或者“連弦”構(gòu)成“直徑所對的圓周角”,從而將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中,為進行角、線段之間的相互轉(zhuǎn)化開辟途徑.

    變式1 如圖3,△ABC內(nèi)接于☉O,弦AD⊥AB交BC于點E,過點B作☉O的切線交DA的延長線于點F,且∠ABF=∠ABC.求證:AB=AC.

    【解析】此題策略是連直徑,得直角三角形.

    如圖4,連接BD,可得BD是直徑,根據(jù)同角的余角相等的性質(zhì)得∠ABF=∠D,根據(jù)同弧所對的圓周角相等得∠D=∠C,再根據(jù)∠ABF=∠ABC,可證得∠ABC=∠C,即可得AB=AC.

    變式2 ( 2016·江蘇揚州)如圖5,☉O是△ABC的外接圓,直徑AD=4,∠ABC=∠DAC,則AC長為( ).

    【解析】此題策略是連弦,得直角三角形.

    如圖6,連接CD,依據(jù)“弧、弦、圓心角的關(guān)系”定理:在同圓或等圓中,如果兩條?。踊?、優(yōu)?。蓷l弦、兩個圓心角中有一組量對應(yīng)相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別(對應(yīng))相等,及圓周角定理和推論,由∠ABC=∠DAC可得=,得出AC=CD,又AD為直徑,得∠ACD=90°,由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理(或三角函數(shù)),可求得在Rt△ACD中,AC=CD=AD=×4=2.

    【反思】這幾題用“圓”糅合了三角形和圓的基本知識,以及利用輔助線轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,分別從不同的角度考查對圓的對稱性的理解情況,考查對圖形的識別能力、觀察分析能力以及綜合運用知識的能力.

    考點2 垂徑定理

    例3 (2016·湖北黃石)如圖7所示,☉O的半徑為13,弦AB的長度是24,ON⊥AB,垂足為N,則ON=( ).

    A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

    【解析】已知☉O的半徑為13,弦AB的長度是24,ON⊥AB,垂足為N,由垂徑定理可得AN=BN=12,再由勾股定理可得ON=5,故答案選A.

    【點評】垂徑定理常常結(jié)合勾股定理,在做與半徑和弦都有關(guān)的計算時,作輔助線的方法是“既作弦心距又連半徑”,構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來解決.

    公式:半弦

    a2+弦心距d2=半徑r2(其中a為弦長,d為弦心距,r為半徑).

    變式3 直徑為52厘米的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后,截面如圖8,若油最大深度為16厘米.那么油面寬度AB的長是多少厘米?

    【解析】此題策略是“既作弦心距又連半徑”,得直角三角形.

    連接OA,作OC⊥AB于C,則AC=BC=AB.

    在Rt△OAC中,OA=×52=26,OC=26-16=10,

    ∴AC===24.

    ∴AB=2AC=48(厘米).

    考點3 圓內(nèi)接四邊形

    例4 (2016·湖南婁底)如圖9,四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,已知∠C=∠D,則AB與CD的位置關(guān)系是________.

    【解析】已知四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形,由圓內(nèi)接四邊形的對角互補的性質(zhì)可得∠A+∠C=180°,又因∠C=∠D,可得∠A+∠D=180°,所以AB∥CD.

    【點評】四個頂點共圓,要學會聯(lián)系“對角互補”和特殊四邊形中的知識,對解決角度計算、線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系有重要作用.

    二、 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

    與圓有關(guān)的位置關(guān)系涉及的知識點主要有:點到圓心的距離d與圓的半徑之間的聯(lián)系,圓心到直線的距離d與圓的半徑之間的聯(lián)系,兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之間的聯(lián)系,圓的切線性質(zhì)定理與判定定理等,一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn),在解答題、探究題中作為主要考查目標也常出現(xiàn),這部分內(nèi)容不僅以考查基礎(chǔ)知識的形式出現(xiàn),而且還以考查綜合運用能力的形式出現(xiàn).

    考點4 點、線、圓與圓的位置關(guān)系

    例5 (2016·湖南永州)如圖10,給定一個半徑長為2的圓,圓心O到水平直線l的距離為d,即OM=d.我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)記為m.如d=0時,l為經(jīng)過圓心O的一條直線,此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點,即m=4,由此可知:

    (1) 當d=3時,m=________;

    (2) 當m=2時,d的取值范圍是________.

    【解析】(1) 當d=3時,因為3>2,即d>r,直線與圓相離,則m=1;

    (2) 當d=3時,m=1;當d=1時,m=3;所以當1

    【點評】與圓有關(guān)的位置關(guān)系,應(yīng)了解點和圓、直線和圓、圓與圓共有幾種位置關(guān)系,并要能靈活運用數(shù)形結(jié)合思想,恰當?shù)剡\用數(shù)量關(guān)系來判斷位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

    考點5 切線的性質(zhì)和判定

    例6 (2016·廣東廣州)如圖11,以點O為圓心的兩個同心圓中,大圓的弦AB是小圓的切線,點P是切點,AB=12,OP=6,則劣弧AB的長為_______.(結(jié)果保留π)

    【解析】因為AB是切線,P為切點,由切線性質(zhì)“圓的切線垂直于過切點的半徑”和“垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦”,可得AP=BP=6,連接半徑OA或OB,由勾股定理可得OB=12,再由垂徑定理和圓心角定理,可得劣弧AB所對的圓心角∠AOB=120°,再由弧長公式可得劣弧AB的長為8π.

    例7 (2016·湖北黃石)如圖12,☉O的直徑為AB,點C在圓周上(異于A,B),AD⊥CD.

    (1) 若BC=3,AB=5,求AC的值;

    (2) 若AC是∠DAB的平分線,求證:直線CD是☉O的切線.

    【解析】(1) 根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,可得∠ACB=90°,再由勾股定理即可求得AC=4;

    (2) 連接過圓上的點C的半徑,根據(jù)角平分線性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì),∴∠DAC=∠OCA,即AD∥OC,又∵AD⊥DC,∴OC⊥DC,∴DC是☉O的切線.

    【點評】重點知識:切線的識別與特征.

    遇到有切線時,一般要引過切點的半徑,以便利用切線的性質(zhì)定理,得到垂直,進而得到直角三角形,從而使思考簡化;或連接要證的切線與圓的交點,以便判定切線.

    三、 與圓有關(guān)的計算

    與圓有關(guān)的計算涉及范圍較廣,主要有線段的長度、角度、弧長、陰影部分面積、扇形面積、圓柱側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積計算,這里我們主要研究弧長、扇形面積、圓柱圓錐的側(cè)面積和全面積.

    考點6 弧長、扇形面積

    例8 (2016·湖南長沙)如圖13,扇形OAB的圓心角為120°,半徑為3,則該扇形的弧長為________.(結(jié)果保留π)

    【解析】已知扇形OAB的圓心角為120°,半徑為3,根據(jù)弧長公式可得扇形的弧長為=2π.

    例9 (2016·浙江寧波)如圖14,半圓O的直徑AB=2,弦CD∥AB,∠COD=90°,則圖中陰影部分面積為________.

    【解析】已知CD∥AB,根據(jù)“同底等高的兩個三角形的面積相等”可得S△ACD=S△COD,所以S陰影=S扇形COD==.

    【點評】熟知計算公式是關(guān)鍵,還要學會通過作圖、識圖、閱讀圖形探索弧長、扇形及其組合圖形面積的計算方法和解題規(guī)律,把不規(guī)則圖形的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的問題(例題9是利用同底等高進行了轉(zhuǎn)化).本考點應(yīng)注意:

    (1) 在弧長的計算公式中,n是表示1°的圓心角的倍數(shù),n和180都不要帶單位;

    (2) 題設(shè)未標明精確度的,可以將弧長用π表示;

    (3) 正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念,度數(shù)相等的弧,弧長不一定相等,弧長相等的弧不一定是等弧,只有在同圓或等圓中,才有等弧的概念,才是三者的統(tǒng)一.

    考點7 圓柱、圓錐的側(cè)面積和全面積

    例10 (2016·浙江寧波)如圖15,圓錐的底面半徑r為6 cm,高h為8 cm,則圓錐的側(cè)面積為( ).

    A. 30π cm2 B. 48π cm2

    C. 60π cm2 D. 80π cm2

    【解析】根據(jù)勾股定理可求得圓錐的母線長為10 cm,再由圓錐的側(cè)面積公式得S=πRl=π×6×10=60π(cm2).

    【點評】正確區(qū)分圓錐側(cè)面展開圖中各元素與圓錐間的各元素的對應(yīng)關(guān)系是處理此類問題的關(guān)鍵.比如圓錐的側(cè)面積就是其展開扇形的面積,所以應(yīng)掌握扇形面積計算公式以及圓錐與扇形之間的聯(lián)系.

    分析近年“與圓有關(guān)的計算”的中考題,不難發(fā)現(xiàn),“與圓有關(guān)的計算”離不開解直角三角形,特別是勾股定理,而解直角三角形離不開直角三角形,因而如何構(gòu)造直角三角形是必須掌握的;另外在涉及弧長、扇形面積的計算時,要靈活運用相關(guān)的計算公式,要弄清楚圓錐的高、母線、底面的半徑與圓錐的側(cè)面展開圖之間的內(nèi)在聯(lián)系.

    “圓”是我們學習的第一個曲線圖形,在圖形認識上是一個飛躍.圓的復習應(yīng)緊緊圍繞基本概念、基本圖形、重要定理及圓的有關(guān)計算進行,要在復雜圖形中分解出基本圖形,或通過添加適當輔助線,構(gòu)造或分解基本圖形,將復雜問題簡單化.

    另外,要體會圓中一些隱含條件的作用,如“同弧所對的圓周角相等”“半徑都相等”等,培養(yǎng)挖掘隱含條件的意識和能力.

    “萬變不離其宗”,如何游刃有余地解決圓的問題,除了熟悉基本知識基本圖形以外,還要注意滲透轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程的思想、由特殊到一般的思想、分類討論的思想方法以及運動變化、變中不變等觀點.

    相信大家定能利用“圓”進一步地把初中幾何知識系統(tǒng)化,培養(yǎng)應(yīng)用意識,拓展數(shù)學思維,豐富解決數(shù)學問題的方法與手段,提高綜合運用能力、創(chuàng)新意識和實踐的能力,對初中的幾何知識有一個整體上的了解,把教材內(nèi)容融會貫通,使數(shù)學能力實現(xiàn)一個“質(zhì)”的飛躍!

    (作者單位:江蘇省南京師范大學附屬蘇州石湖中學)

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