“數與代數”領域學生圖形直觀能力的培養(yǎng)

俞秉鈞

小學第一學段學生思維以具體形象思維為主，是一個由直觀描述逐步向抽象提取過渡的過程，需要圖形直觀作為支撐，圖形直觀能力是他們不可或缺的數學能力。小學第一學段的數學知識雖簡單、淺顯，但并不意味著我們就可以丟棄圖形表征等主要手段，教師必須重視圖形直觀能力在日常教學中的有機滲透。只有將無形的數學思想方法貫穿到有形的圖形直觀之中，才有利于教師從整體上把握數學教學，將數學的本質、知識形成的過程、解決問題的過程展示給學生，將思維的方式方法展現給學生，學生的數學能力才能得到提升。

筆者通過挖掘第一學段“數與代數”領域教材中適合圖形直觀的教學內容，借助課堂教學將其放大、滲透，注重兒童的數學理解和主動建構，讓圖形直觀能力成為學生數學素質的重要組成部分。

一、活化資源，豐富圖形直觀的有效載體

1.優(yōu)化插圖資源，豐富材料直觀內涵

第一學段學生的圖形直觀思維是隨著讀圖展開的，優(yōu)化讀圖資源就顯得尤為重要。其優(yōu)化可以借助這些策略進行。

化靜為動，凸顯過程。化“靜”為“動”，凸顯知識形成的過程，彰顯學生思維的過程，讓學生正確把握圖的內涵，促進主動建構。

化繁為簡，突出重點?；睘楹啠瑢碗s的插圖轉化為信息量相對單一、利于學生學習的圖，學生就能有序、有效地讀圖，主動建構數學知識。

去粗存精，合理重組。對于信息量比較大的插圖，我們有必要進行重組、再加工，通過增減等策略讓學生能更清晰地讀懂圖。

2.經歷銜接過程，轉變圖形直觀意識

第一學段的教材主要以實物圖為主，如：人教版數學教材首次出現線段圖是在二年級上冊的“求一個數的幾倍是多少”這一內容中。在實際教學中，線段圖可以更早滲透，做好實物圖向線段圖的自然過渡和銜接。實物圖向線段圖的過渡大致分為四個階段：一是實物圖；二是趨于線段化的排列圖（包括實物和幾何圖形）；三是長方條圖形；四是線段圖。如在“求比一個數多幾或少幾的問題”時，教師在引導學生用個性化的圖形表征數學問題后，利用課件讓學生經歷從實物圖到符號圖再到線段圖的“數物結合→數形結合”的數學化過程。

3.開發(fā)數學題材，提升圖形直觀能力

這里的數學題材，是數學教學中反復使用、經久不衰的習題，比如排隊中的數學問題、排列問題、間隔問題、雞兔同籠問題、搭配問題等等。這些題材是對第一學段學生進行圖形直觀能力培養(yǎng)的很好載體。如在研究雞兔同籠問題時，引導學生用“○”表示頭，用“|”表示腿，用 和 表示雞和兔，得到的“數學畫”既是形象的圖畫，又是抽象的符號。

二、優(yōu)化教學，凸顯圖形直觀的思維價值

借助圖形直觀，能啟迪思路，為學生創(chuàng)造了一個自己主動思考的機會，體驗和感受數學發(fā)現的過程。

1.借助圖形直觀理解概念

小學數學概念教學中，如果能夠建立抽象的數學概念與形象的圖形之間的聯系，把數學概念中最本質的屬性用恰當的圖形演示出來，把數和形結合起來，就可以豐富學生的感性材料，為建構數學概念奠定基礎，學生對所學數學概念就容易理解和掌握。如在人教版《數學》二年級下冊“有余數除法”的教學中，可以通過手中搭、腦中想、圖形表征等操作讓學生理解余數的含義。

2.依賴圖形直觀探索規(guī)律

數學規(guī)律的探索應該讓學生自主探索發(fā)現，而圖形直觀能引導學生創(chuàng)造性地探索數學規(guī)律，更好地樹立起形和數的辯證關系。如“9乘幾等于幾十減幾”這一規(guī)律很難被學生發(fā)現，但直觀的圖表把隱藏的數學關系顯性化了，為學生提供了探索數學規(guī)律、發(fā)現數學本質的情境。

3.運用圖形直觀理解算理

小學第一學段有相當一部分內容是計算問題，計算教學需要引導學生理解算理，而有效運用圖形直觀，不僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現過程性目標。如在20以內的進位加法教學中，圖形直觀使算理具體化，讓學生更好地理解“湊十”的原理，充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

三、探索途徑，獲得圖形直觀的思維習慣

1.以“讀圖”為切入口，培養(yǎng)整體直觀思維力

“讀圖”過程中，學生的形象思維和抽象思維得到互補互助，感性經驗和理性經驗得到溝通，培養(yǎng)了學生的整體直觀思維能力。在教學中，我們要培養(yǎng)學生良好的讀圖習慣，指導學生看圖的方法，從而提高學生讀圖的能力。

（1）借鑒語文的方式，獲得讀圖的基本方法

有序地讀圖。如剛入學時的“準備圖”，可先指導學生從整體上觀察畫面，有序、完整地說出整個插圖所表達的意思。然后，再讓學生按圖中人物的性別、人物之間的關系、活動情景和不同的景物分類觀察。

選擇性讀圖。一些信息量比較大的圖就需要學生回避干擾因素，有目標、有選擇地去讀圖，理解題意，收集信息，進而解決問題。

發(fā)散性讀圖。教材中的插圖，特別是單元主題圖其實是一個開放的情境，教師可以由集束性向發(fā)散性方向引導，以發(fā)散性思維加上聯想模式，鼓勵他們去尋找、思考、探求。

完整地表述。比如看圖列式時，可以要求學生面對圖能用三句話完整地表述圖的意思，以此來進一步明確加法和減法的內涵，掌握加減法問題的基本模型。

（2）凸顯數學的特質，形成讀圖的基本技能

用“圖”讀“圖”。如圖1，單純地讀圖、說圖不能使學生理解“作為標準的那個人兩次都沒數到”這一思維關鍵點，但如果讓學生用圖畫一畫，就能突破這一難點了。

理解數學特有的圖形符號。數學的信息圖中包含許多數學特有的符號，比如大括號、問號、括號、虛線等。在教學中，教師要讓學生體會這些符號的形成過程，理解這些符號的內涵。

2.以“引領”為保證，促進圖形直觀能力的形成

小學第一學段學生的圖式意識還很薄弱，具體教學活動中應通過教師的有效指導來實現價值引導，促進圖形直觀能力的養(yǎng)成。如：人教版《數學》二年級上冊“求一個數的幾倍是多少”的教學片斷。

1.出示問題：蘋果有3個，梨的個數是蘋果的3倍。梨有幾個？請你先用“數學畫”表示，再列式計算。

2.交流反饋：黑板上依次呈現表征正確的“數學畫”及算式。

3.梳理：

（1）討論：你們認為這些“數學畫”怎么樣？看著這些圖你能理解蘋果與梨的關系嗎？哪幾幅看起來比較簡捷？哪副圖最簡捷？

（2）演示：老師在黑板上示范畫線段圖，根據線段圖說說蘋果與梨的數量關系。

（3）求梨的個數為什么用乘法？誰能看著線段圖說一說？

4.小結：像這樣求一個數的幾倍是多少的數學問題，就是求幾個幾是多少，所以用乘法來計算。

在這里，教師從學生已有的知識經驗和活動經驗出發(fā)，引導他們用個性化的圖像進行圖形表征，在其獨立操作的基礎上，教師對作品按層次呈現，讓學生感受線段圖的簡捷，逐步建立起“以1代3”的表象，經歷從具體到抽象的過程。經過教師這樣的引領，學生對線段圖的記憶和理解一定會更深刻。

3.以“表征”為突破口，促進圖形直觀能力的提升

圖形表征可以讓學生頭腦中的“圖畫”，用示意圖、草圖等形式表現出來，是對動手操作的糾正、補充、細化和深化。在圖形表征中，學生不僅能夠熟練、有序地完成操作，而且可以在表征的過程中對問題進行深層次思考，形成更深刻的、個性化的認識和體驗，使外在的操作真正內化為學生認識的動力，使數學教學走向深入、走向精彩。

（1）運用圖形表征，實現由粗略到精致的提升

學生思維是隨著操作順序進行的，操作順序內隱著學生的思維進程。學生在探索性的操作活動中，有時可能無從下手，有時可能會有一些初步的思考，這些思考往往是無序的、粗糙的，有必要在圖形表征中加以改進和完善，實現思維過程和結果由無序到有序的轉變，促進圖形直觀能力由粗略到精致的提升。如：人教版數學二年級上冊“倍的認識”教學片段。在學生通過動手擺一擺、圈一圈等活動初步感知倍的意義后，教師安排了以下三個層次的“畫一畫、議一議”活動。

活動一：第一行有2個○，第二行的個數是第一行的（ ）倍。（倍數分別是1倍、2倍、3倍、4倍……通過畫一畫，說一說，充分感知幾的幾倍就是幾個幾。）

活動二：畫出第二行的個數是第一行的2倍，比一比誰的方法多？

學生獨立畫圖后，呈現幾幅學生作業(yè)（如圖3），質疑：

（1） 這幾幅圖中表示的倍數關系都對嗎？

（2） 仔細觀察第一幅、第二幅圖，它們的個數各不相同，這是為什么呀？討論后讓學生說說不同的方法。

（3） 活動三：一共有12個小圓片，擺成兩行，第二行是第一行的（ ）倍。

“倍”這一概念是學生首次接觸，在這里教師沒有讓知識“一步到位”，而是在教學中給學生提供充足的時空，讓每位學生在動手操作后動腦操作，再用圖的形式表征出來，凸現學生思維的真實狀態(tài)，并在不斷的挑戰(zhàn)中修正、提升，思維成果實現從無序到有序的轉變，圖形表征能力實現由粗略到精致的轉變。

（2）運用圖形表征，實現表面到深層的理解

數學教學中的操作，不是為了操作而操作。具體的操作活動和背后的數學知識密切聯系在一起，因此，要善于利用操作，幫助學生實現數學知識由表面到深層的理解，發(fā)展思維能力。如人教版《數學》二年級下冊“有余數除法”的教學片斷。

師：如果我們拿剛才的11根小棒，來擺△、，可以擺幾個？還余下幾根呢？請大家先在腦子里搭一搭，再動手畫一畫，看看和腦子里想的是不是一樣？然后用算式表示出來。

生1：△ △ △| | 11÷3=3……2

生2： | 11÷5=2……1

師：如果我們繼續(xù)拿12根、13根、14根、15根來擺△、，可以擺幾個？還余下幾根呢？請你們先在腦子里搭一搭，再用算式表示出來。（學生獨立活動，交流反饋）

師：如果我們來搭三角形，余下的根數可能比3多嗎？搭五邊形呢？你發(fā)現了什么？（學生自由說，討論得出余數必須比除數小。）

……

在這里，通過表象操作豐富了學生的活動經驗，使動手操作之后的圖形表征真正成為學生積極參與數學活動的有效中介，使他們更好地理解余數比除數小的關系。借助圖形表征能夠讓學生實現多重數學語言的轉化，幫助學生建立多重知識表象，在教學中學生的圖形直觀能力也得到了很大程度的提升。

【責任編輯：陳國慶】