一類(lèi)高階整函數(shù)系數(shù)微分方程的復(fù)振蕩

周　鑒,楊叢麗

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)　550001)

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一類(lèi)高階整函數(shù)系數(shù)微分方程的復(fù)振蕩

周鑒,楊叢麗

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng)550001)

摘要：研究一類(lèi)高階整函數(shù)系數(shù)微分方程f(k)+A(z)f=0的解的增長(zhǎng)級(jí)，得到當(dāng)A(z)為超越整函數(shù)時(shí)，在一定條件下方程的任一非平凡解f的增長(zhǎng)級(jí)不小于系數(shù)A(z)的增長(zhǎng)級(jí)。

關(guān)鍵詞：微分方程; 整函數(shù); 增長(zhǎng)級(jí)

0引言及已知的結(jié)果

對(duì)于某些復(fù)平面上的線性微分方程解的增長(zhǎng)級(jí)的情況，國(guó)際數(shù)學(xué)人士S.Bank,I.Laine,G.Gunderson已經(jīng)做了不少的研究，在國(guó)內(nèi)高仕安，陳宗煊等人從事該領(lǐng)域的研究多年，已經(jīng)有了許多有意義的結(jié)果，而關(guān)于于二階方程f″+A(z)f=0的研究對(duì)進(jìn)一步研究高階方程具有指導(dǎo)意義，本文主要考慮形如：

f(k)+A(z)f=0

(1)

的線性微分方程，其中A(z)為超越整函數(shù)時(shí)方程解的增長(zhǎng)級(jí)。

文章使用Nevanlinna值分布理論的相關(guān)記號(hào)，用m(r,f)、N(r,f)、T(r,f)、分別表示函數(shù)f的近似函數(shù)、極點(diǎn)密指量、特征函數(shù)。具體參見(jiàn)楊樂(lè)[1]或Hayman[2]等。

在文獻(xiàn)[3]中S.Bank與I.Laine曾經(jīng)證明了如下的定理

則對(duì)方程(1)的任一非平凡解f有 ρ(f)≥ρ(A)。

1所需引理

引理2.3[5]設(shè)f為超越亞純函數(shù)，k≥2為整數(shù)，則

2定理2的證明

(2)

由ρ2<ρ(A)及引理2.1知，存在一個(gè)具有正上對(duì)密度的集合E0使得

T(r,A)≥rρ2r∈E0

(3)

取E=[r0,+∞)∩E0

結(jié)合(2)與(3)可得

(4)

由方程(1)有

(5)

及

(6)

(7)

利用定理已知條件及(7)有

(8)

結(jié)合(4)，(6)，(8)又有

≤o(1)T(r,A)+2skT(r,g)+o(1)T(r,g)

≤o(1)T(r,g)+2skT(r,g)

=(o(1)+2sk)T(r,g)

注如果以Θ(0,A)表示z=0對(duì)函數(shù)A(z)的虧量，其中A(z)零點(diǎn)不計(jì)重?cái)?shù)，即

(9)

再利用定理2的結(jié)論ρ(f)≥ρ(A)可知 T(r,f)>S(r,A)。

最后我們得到推論

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊樂(lè).值分布及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社,1982.

[2] HAYMAN W.Meromorphic function[M].Oxford：Clarendon press,1964.

[3] BANK S,LAINE I .On the oscillation theory of f″+Af=0 where A is entire [J].Trans Amer Math，1982,73: 351-363.

[4] ISHIZAKI K,TOHGE K.On the complex Oscillation of some linear differentialequations [J].J Math Ana and Appl,1997,206:503-517.

[5] FRANK G,HENNEKEMPER W.Einige ergebnisse ber die werteverteilung memorpher Funktionen und ihrer ableitungen[J].Resultate Math,1981,4:39-54.

[6] BANK S,LAINE I.On the zeros of meromorphic solutions of second order linear differential equations[J].comment Math Helv,1983,58:656-677.

[7] 劉永,陳宗煊.一類(lèi)高階微分方程的復(fù)振蕩[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,1(4):14-19.

[8] 藍(lán)雙婷,陳宗煊.高階齊次線性微分方程解的零點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,55(3):525-534.

[9] 曹廷彬,陳宗煊.一類(lèi)高階線性微分方程解的復(fù)振蕩性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)雜志,2008,28(1):31-38.

文章編號(hào)：1004—5570(2016)01-0045-03

收稿日期：2015-10-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11101099);貴州省科學(xué)技術(shù)基金(黔科合J字LKS[2009]04號(hào))

作者簡(jiǎn)介：周鑒(1976-),男,碩士,副教授,研究方向:復(fù)分析,E-mail:zhoujiandepict@163.com.

中圖分類(lèi)號(hào)：O174.52

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

The complex oscillation of some kind of higher order diff-erential equations with entire function coefficients

ZHOU Jian,YANG Congli

(School of Mathematics and Computer science,Guizhou Normal University,Guizhou,Guiyang 550001,china)

Abstract:In this paper consider the order of growth of some kind of higher order linear differential equations f(k)+A(z)f=0 with entire function coefficients.It is shown that the order of growth of any non-trivial solutions of the equation not less than the order of growth of the coefficient A(z),if the A(z) is a transcendental entire function.

Key words:differential equations; entire function; order of growth