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    一類特殊的微分方程求解方法研究

    2017-01-17 16:46:53趙偉舟
    關(guān)鍵詞:微分方程

    趙偉舟

    【摘要】微分方程在實(shí)際生活中具有廣泛應(yīng)用,研究微分方程的求解具有重要意義.本文針對由齊次方程衍生的一類特殊微分方程,借助變量代換和分離變量討論了具體的求解方法.

    【關(guān)鍵詞】微分方程;齊次方程;變量代換;分離變量

    1.問題的提出

    稱形如dydx=f(yx)的微分方程為齊次方程.對方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,當(dāng)c1=c2=0時(shí),即為齊次方程;當(dāng)a1b1a2b2≠0時(shí),可通過線性變換將其轉(zhuǎn)化為齊次方程進(jìn)行求解.對于a1b1a2b2=0或c1,c2不定的情況,該微分方程又如何求解呢?

    2.問題的求解

    對于方程dydx=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,隨著常數(shù)取值的不同,可以把其轉(zhuǎn)化為其他類型的微分方程進(jìn)行求解,下面根據(jù)二階行列式為零的幾種特殊情況分別進(jìn)行討論:

    (1)當(dāng)a1=b1=0,c1≠0時(shí),

    dydx=c1a2x+b2y+c2.(*1)

    令u=a2x+b2y+c2,得:dudx=a2+b2dydx.

    將(*1)代入上式,得:dudx-a2=b2c1u.

    這是典型的可分離變量的微分方程,不妨設(shè)解為φ(u,x,C)=0(C為任意常數(shù),下同),從而原微分方程的解為φ(a2x+b2y+c2,x,C)=0.

    (2)當(dāng)a2=b2=0,c2≠0時(shí),方程可整理為:

    dydx=a1x+b1y+c1c2=b1c2y+a1x+c1c2,

    即dydx-b1c2y=a1x+c1c2.

    這是一階線性微分方程,直接可借助求解公式,

    y=e-∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C),

    其中P(x)=-b1c2,Q(x)=a1x+c1c2.

    (3)當(dāng)a1a2=b1b2=c1c2時(shí),

    不妨設(shè)比值為k,則可將原微分方程化為:

    dydx=ka2x+kb2y+kc2a2x+b2y+c2=k.(*2)

    顯然,此時(shí)微分方程的解為y=kx+C.

    (4)當(dāng)a1a2=b1b2≠c1c2時(shí),

    仍令a1a2=b1b2=k,代入原微分方程,得:

    dydx=ka2x+kb2y+c1a2x+b2y+c2=k+c1-kc2a2x+b2y+c2(*3)

    令u=a2x+b2y+c2,則:dudx=a2+b2dydx.

    代入微分方程(*3)并整理,得

    u(a2+kb2)u+b2(c1-kc2)du=dx.

    兩邊積分可得:

    1a2+kb2{a2x+b2y+c2-(c1-kc2)b2a2+kb2ln[(a2+kb2)(a2x+b2y+c2)+(c1-kc2)b2]}=x+C.

    3.問題的擴(kuò)展

    考察方程dydx=f(a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2),右邊盡管是a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的表達(dá)式,但變量代換令u=a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2,整理后得到:

    a2ux+b2uy+c2u=a1x+b1y+c1.

    兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得

    a2dudxx+a2u+b2dudxy+b2udydx+c2dudx=a1+b1dydx.

    顯然,這樣的代換只能使得方程求解更為復(fù)雜.因此對這類形式的微分方程,一般通過考察a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2的具體形式選擇具體的求解方法.例如當(dāng)a1b1a2b2≠0時(shí),可通過線性變換x=X+h,y=Y+k將微分方程轉(zhuǎn)化為

    dYdX=fA1X+B1YA2X+B2Y.

    這是典型的齊次方程,該方程的求解可以按照前面方法進(jìn)行.而當(dāng)a1b1a2b2=0的討論要復(fù)雜一些,需要對內(nèi)部進(jìn)行整理并尋求合適的變量代換.限于篇幅,這里不再贅述.

    4.結(jié) 論

    微分方程的求解對研究實(shí)際問題具有重要意義,這里針對由齊次方程衍生的一類特殊方程,通過考慮參數(shù)的不同取值,基于傳統(tǒng)的變量代換和分離變量以及現(xiàn)有微分方程理論,研究了不同條件下的具體求解方法.從求解過程可以看出,微分方程的求解方法完全依賴于方程的具體形式,對形式復(fù)雜的微分方程只有通過分析局部特點(diǎn),簡化方程形式,類比基本模型,才能獲得原方程的解.

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第7版.北京:高等教育出版社,2014.

    [2]張棣.常微分方程[M].西安:西北大學(xué)出版社,1992.

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