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    血液流速的微分方程模型

    2016-11-11 02:21:57刁菊芬
    考試周刊 2016年85期
    關(guān)鍵詞:微分方程模型

    刁菊芬

    摘 要: 本文通過對(duì)血管內(nèi)血液流速分布情況的分析,認(rèn)真研究了血液流速與血管半徑的關(guān)系,然后根據(jù)生理學(xué)原理建立了微分方程模型,并對(duì)該模型進(jìn)行了求解。

    關(guān)鍵詞: 微分方程 模型 血液流速

    1.問題分析及基本假設(shè)

    根據(jù)生理學(xué)可知,人體不同部位的血管粗細(xì)是不一樣的,所以不同部位的血液流速也是不相等的。并且同一段血管內(nèi),管壁處的血液流速與血管管軸處的流速是不相同的。圖1是血管和及流動(dòng)血液的縱剖面,當(dāng)血液從管壁移向管軸時(shí),流動(dòng)速度逐漸增加。那么,人體內(nèi)血液的流動(dòng)速度與血管粗細(xì)之間具體關(guān)系可以怎么表示呢?為了便于研究,需要做如下假設(shè):

    (1)設(shè)血液在血管中的流動(dòng)是穩(wěn)定流動(dòng)的(即流動(dòng)速度與時(shí)間無關(guān),只與位置有關(guān));

    (2)設(shè)血管的半徑R,長(zhǎng)度為L(zhǎng)(R比L小得多);

    (3)血液流動(dòng)的速度為V;

    (4)血液的黏滯度為常數(shù)η;

    (5)單位長(zhǎng)度的血管,左端血壓力為P,右端血壓力為P(P>P)。

    2.模型建立

    由于各層流體運(yùn)動(dòng)速度不同,之間產(chǎn)生摩擦力,則上層液體促使下層液體運(yùn)動(dòng),同時(shí)下層液體延緩上層液體的運(yùn)動(dòng)??梢栽O(shè)想血液中平放著一塊面積為A的平板,根據(jù)黏滯流體動(dòng)力學(xué)知識(shí),作用于面積A上的力F等于ηA。

    利用微元法,現(xiàn)對(duì)血液中的部分血液(看成空心圓柱體狀,長(zhǎng)度為一個(gè)單位)的流動(dòng)速度進(jìn)行討論,此空心圓柱的內(nèi)半徑為r,圓柱的厚度為dr,設(shè)它的軸與血管的軸相重合(如圖2)。圓柱的內(nèi)表面面積為2πr,上面受到的力為F=η·2πr。

    該力方向與血液運(yùn)動(dòng)方向相同,圓柱的外表面上受到相反的力的作用,

    F=η·2πr-d(η·2πr)

    因而兩力之和(摩擦力)為:

    F+F=-d(η·2πr)=-2πη(+r)dr

    因?yàn)檠菏欠€(wěn)定流動(dòng)的,所以摩擦力的大小應(yīng)該和促使空心圓柱沿著軸流動(dòng)的力相等。這個(gè)促使空心圓柱沿著軸流動(dòng)的力決定于壓力降,就等于:

    F′=(P-P)2πrdr

    由此有:

    -2πη(+r)dr=(P-P)2πrdr

    整理得:

    +·=-(1)

    由此得到微分方程模型。

    3.模型求解

    令=u,則=,方程(1)可化為

    +u=-(2)

    利用一階線性微分方程的通解公式,可得方程(2)的通解為u=-r,即:

    =-r(3)

    方程(3)為可分離變量的微分方程,通過分離變量、兩邊積分可得方程(1)的通解為:

    V=Clnr-r+C

    因?yàn)閞→0時(shí),lnr→∞,但運(yùn)動(dòng)速度是一個(gè)有限數(shù),所以C=0;當(dāng)r=R時(shí),運(yùn)動(dòng)速度V=0,所以C=R。綜上所得,血液的流動(dòng)速度與血管半徑之間的關(guān)系為:

    V=(R-r)

    4.模型總結(jié)

    根據(jù)模型的求解結(jié)果可知,血液流速與其黏滯系數(shù)成反比,與血管兩端壓力降成正比,血管的半徑越大則流速越大。血管內(nèi)血液流速的分布符合醫(yī)學(xué)生理學(xué)知識(shí)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]周義倉(cāng),勒禎,秦軍林.常微分方程及其應(yīng)用[M].北京:科技出版社,2003.

    [2]姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)建模[M].高等教育出版社,2005.

    [3]吳茵杰,黃敏.醫(yī)學(xué)生理學(xué)[M].科學(xué)出版社,2004.

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