常微分方程教學(xué)的一些思考

摘 要：常微分方程是數(shù)學(xué)相關(guān)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的專(zhuān)業(yè)課程，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。如何把教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容同動(dòng)力系統(tǒng)發(fā)展方向相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生能夠運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，這是當(dāng)今“常微分方程” 教學(xué)面臨的新課題。

關(guān)鍵詞：微分方程 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)方法 動(dòng)力系統(tǒng)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-1578（2017）03-0008-01

1 引言

一個(gè)世紀(jì)以來(lái)，常微分方程理論（動(dòng)力系統(tǒng)）得到了迅猛發(fā)展，極大地促進(jìn)了力學(xué)、物理、生物、化學(xué)、自動(dòng)控制、機(jī)械工程、電子科學(xué)及航空航天技術(shù)的發(fā)展。教育部在《教育部關(guān)于中央部門(mén)所屬高校深化教育教學(xué)改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》中指出“對(duì)傳統(tǒng)學(xué)科專(zhuān)業(yè)進(jìn)行更新升級(jí)，用新理論、新知識(shí)、新技術(shù)更新教學(xué)內(nèi)容，調(diào)整專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)和建設(shè)重點(diǎn)，優(yōu)化人才培養(yǎng)方案，推進(jìn)專(zhuān)業(yè)綜合改革，提高高校優(yōu)勢(shì)特色專(zhuān)業(yè)集中度”。李克強(qiáng)總理于2016年4月15日在北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院考察時(shí)說(shuō)：數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的皇冠，是其他科學(xué)研究的主要工具；基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究在我國(guó)是薄弱環(huán)節(jié)，對(duì)許多領(lǐng)域形成瓶頸制約，需要一批人靜下心來(lái)把“冷板凳”坐熱；一定要把基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究擺在更加重要的位置。李克強(qiáng)總理又于2016年5月31日在全國(guó)科技創(chuàng)新大會(huì)上再次說(shuō)到：“世界上科技創(chuàng)新走在前列的國(guó)家，很大程度上得益于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的長(zhǎng)期領(lǐng)先；要現(xiàn)實(shí)科技跨越發(fā)展，必須大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用，培養(yǎng)更多拔尖人才，加快建設(shè)數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)”。因此在新形式下我們需要培養(yǎng)一批掌握動(dòng)力系統(tǒng)理論、能夠運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)的新理論、新方法解決實(shí)際問(wèn)題，服務(wù)于科技的專(zhuān)業(yè)人才。這對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)及非線性科學(xué)的基礎(chǔ)核心課程“常微分方程”提出了新的要求。如何運(yùn)用新的教學(xué)思想去改進(jìn)教學(xué)方法，如何將新知識(shí)、新方法注入新的教學(xué)內(nèi)容中，這是當(dāng)今 “常微分方程”課程教學(xué)面臨的新課題。結(jié)合作者這些年的學(xué)習(xí)和教學(xué)經(jīng)歷，本文將從教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容這兩個(gè)方面出發(fā)，探討新時(shí)期“常微分方程”課程的教學(xué)。

2 選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法

常微分方程既是數(shù)學(xué)分析的延續(xù)，又是代數(shù)學(xué)、泛函分析、偏微分方程、微分幾何、拓?fù)鋵W(xué)等專(zhuān)業(yè)課程的基礎(chǔ)，現(xiàn)已經(jīng)發(fā)展成為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支——?jiǎng)恿ο到y(tǒng)。引入先進(jìn)的教學(xué)理念和現(xiàn)代化的教學(xué)手段，有利于提升教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。新的教學(xué)方法主要有：講授、討論、演示、任務(wù)驅(qū)動(dòng)、自主學(xué)習(xí)等。根據(jù)常微分方程課本，一般第一章都是常微分方程模型、發(fā)展歷史、基本問(wèn)題的介紹，詳情請(qǐng)看文獻(xiàn)[1-5]。我們以文獻(xiàn)[4、5]為例探討教學(xué)方法的選取。依據(jù)“講歷史、講思想、講方法”的教學(xué)理念，第一章宜采用自主學(xué)習(xí)和課堂討論的方式進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生了解常微分方程的發(fā)展歷史、研究問(wèn)題及如何運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)微分方程模型進(jìn)行研究。對(duì)于第二部分內(nèi)容——初等積分法、線性方程及常系數(shù)線性方程等，宜采用混合教學(xué)法：以任務(wù)驅(qū)動(dòng)和自主學(xué)習(xí)為主，結(jié)合PPT演示等教學(xué)方法進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)，即首先向?qū)W生介紹相關(guān)內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)，要特別關(guān)注首次積分的構(gòu)造、解的結(jié)構(gòu)等，讓學(xué)生明白自己當(dāng)前的學(xué)習(xí)任務(wù)，以任務(wù)為動(dòng)力來(lái)加強(qiáng)自主學(xué)習(xí)。最后一部分內(nèi)容主要介紹常微分方程的定理理論，其內(nèi)容主要包括微分方程解的存在性、唯一性、解的延拓、解對(duì)初值和參數(shù)的依賴性、Lyapunov穩(wěn)定性理論、動(dòng)力系統(tǒng)的基本概念等。這部分內(nèi)容是常微分方程的重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)過(guò)程中常用的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)的靈魂是思想，只有形成了思想才具備理論上的創(chuàng)新能力。因此這部分內(nèi)容主要應(yīng)以教師講授為主，重點(diǎn)介紹相關(guān)理論的數(shù)學(xué)思想、重要定理的證明思想以及如何運(yùn)用相關(guān)理論對(duì)微分方程模型進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力?？傊魏谓虒W(xué)方法都將以“突出重點(diǎn)、加強(qiáng)基礎(chǔ)、重視能力、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用”為教學(xué)目的，努力提高教學(xué)水平。

3 新形勢(shì)下教學(xué)內(nèi)容的選取

隨著當(dāng)前教育的改革與發(fā)展，選修課程所占比重增加，必修課學(xué)時(shí)減少，不少學(xué)校常微分方程課程的教學(xué)學(xué)時(shí)才48。當(dāng)前科學(xué)發(fā)展日新月異，常微分方程的理論和方法一直處于不斷完善和發(fā)展中。在學(xué)時(shí)減少的情況下，如何選擇合理的教學(xué)內(nèi)容是當(dāng)前常微分課程教學(xué)的新課題。傳統(tǒng)的常微分方程課程教學(xué)過(guò)多偏重于精確求解，事實(shí)上很多方程我們無(wú)法求解，比如Riccati方程、三體運(yùn)動(dòng)方程等，因此精確求解已經(jīng)不是常微分方程發(fā)展的方向。教學(xué)內(nèi)容的選取需保證理論基礎(chǔ)的完整性和學(xué)習(xí)的可持續(xù)性。常微分方程的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)偏重于常微分方程定理理論部分，其重點(diǎn)內(nèi)容包括Picard存在唯一性定理、Peano存在性定理、解的延拓、解對(duì)初值和參數(shù)的依賴性、Lyapunov穩(wěn)定性理論、動(dòng)力系統(tǒng)基本概念等。這些教學(xué)內(nèi)容涉及一些偏微分方程、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、近世代數(shù)等課程的基本思想。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)使得學(xué)生在以后的專(zhuān)業(yè)課程學(xué)習(xí)中對(duì)新知識(shí)有初步的感覺(jué)，有利于提高他們對(duì)新課程學(xué)習(xí)的興趣，甚至為研究生階段打下良好的基礎(chǔ)。在今后的常微分方程教學(xué)改革中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)大綱和教學(xué)計(jì)劃的安排，把重心放在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，重點(diǎn)加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)與訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

總之， 隨著科技的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，教學(xué)必須發(fā)生改變。只有這樣， 才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)理論知識(shí)解決問(wèn)題的能力，為社會(huì)培養(yǎng)高素質(zhì)的人才。

參考文獻(xiàn)：

[1] V.I. Arnold.Ordinary Differential Equations[M]. MIT Press，Princeton，1973.

[2] 張芷芬，丁同仁等，微分方程定性理論[M].科學(xué)出版社，1985.

[3] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社，2004. [4] 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程[M].高等教育出版社，2007.

[5] 張偉年，杜正東，徐冰.常微分方程[M].高等教育出版社，2014.

作者簡(jiǎn)介：吳奎霖，男，博士，貴州大學(xué)副教授，研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng)。