二次錐規(guī)劃方法在誤差追蹤投資組合中的應(yīng)用*

白　頡，趙志國(guó)

(太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030001)

?

二次錐規(guī)劃方法在誤差追蹤投資組合中的應(yīng)用*

白頡，趙志國(guó)

(太原學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 太原 030001)

摘要:主要研究證劵投資組合中的誤差追蹤模型，并將此模型轉(zhuǎn)換成二次錐規(guī)劃模型，然后利用SDPT3軟件來求解二次錐規(guī)劃，以致解決誤差追蹤問題.

關(guān)鍵詞:二次錐規(guī)劃；投資組合；最優(yōu)化方法

二次錐規(guī)劃(SCOP)是錐規(guī)劃的特例,它是在一個(gè)仿射空間和有限個(gè)二階錐笛卡爾積的交集上求一個(gè)線性函數(shù)極小值或極大值的問題.作為數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域的一個(gè)重要分支,二次錐規(guī)劃的研究有非常重要的意義.二次錐規(guī)劃有著廣泛的應(yīng)用背景[1-2],許多數(shù)學(xué)規(guī)劃問題都可轉(zhuǎn)化成二次錐規(guī)劃求解[3],而且一般說來其效果要比轉(zhuǎn)化成半定規(guī)劃的效果好[4].因此近年來二次錐規(guī)劃成為數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域的一個(gè)值得關(guān)注的方向．由于其約束是非線性、凸、連續(xù)的,但并不連續(xù)可微,因此,二次錐規(guī)劃是非光滑非線性凸規(guī)劃問題.線性規(guī)劃、凸二次規(guī)劃和二次約束下的凸二次規(guī)劃等都是二次錐規(guī)劃的特例.二次錐規(guī)劃應(yīng)用廣泛，其研究問題涉及控制、金融、組合優(yōu)化、工程技術(shù)等諸多領(lǐng)域．而且許多數(shù)學(xué)問題均可轉(zhuǎn)化為二次錐規(guī)劃求解，如矩陣分式優(yōu)化問題、雙曲線約束問題、范數(shù)極小化問題等.

本文將二次錐規(guī)劃模型及其求解方法應(yīng)用于金融學(xué)中投資組合問題中，重點(diǎn)研究誤差追蹤投資組合問題.首先介紹二階錐規(guī)劃，包括二階錐規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式和其對(duì)偶形式，進(jìn)而構(gòu)建誤差追蹤投資組合模型，并將其轉(zhuǎn)化成二階錐規(guī)劃模型；最后給出數(shù)值算例，并用SDPT3實(shí)現(xiàn)且分析其結(jié)果.

1二次錐規(guī)劃

二次錐規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為[5]

xi∈Ki,i=1,…,n}

(1)

其中,xi∈Ki(i=1,2,…,n)是變量，b∈Rm和Ai∈Rm×ki,ci∈RKi是已知量,Ki是維數(shù)為ki的二次錐,即

Ki=

{xi=(xi0,xi1)∈R×Rki-1:xi0-‖xi1‖≥0}

其中‖·‖是歐幾里德范數(shù).易知Ki是自對(duì)偶的，即

Ki=Ki*={si∈Rki:siTxi≥0,?xi∈Ki}

且Ki的內(nèi)部為

Ki0=

{xi=(xi0,xi1)∈R×Rki-1:xi0-‖xi1‖>0}二次錐規(guī)劃的對(duì)偶規(guī)劃為[6]

(D)max{bTy:AiTy+si=ci,

si∈Ki,i=1,…,n}

(2)

其中,y∈Rm為變量,si∈Ki,i=1,2,…,n為松弛變量.令k=k1+k2+…+kn,K=K1×K2×…×Kn,A=(A1,…,An)∈Rm×k,c=(c1,…,cn)∈Rk,x=(x1,…,xn)∈K，s=(s1,…,sn)∈K，

本文中Rk表示k維實(shí)列向量,Rk1×…×Rkn定義為Rk1+k2+…+kn，所以x=(x1,…,xn)∈K是Rk1+k2+…+kn中的列向量.那么問題(P)和(D)可分別簡(jiǎn)記為

(P)min{cTx:Ax=b,x∈K},

(D)max{bTy:ATy+s=c,s∈K}.

如果矩陣A是行滿秩，且原SOCP的可行解是非空的，那么就存在一個(gè)向量x∈K使得Ax=b.基于對(duì)偶理論，求解SOCP的原對(duì)偶問題等價(jià)于解以下系統(tǒng)

(3)

方程組(3)是SOCP的最優(yōu)條件.

2誤差追蹤投資組合模型

假設(shè)投資者選取n個(gè)資產(chǎn)，其收益率分別表示為S1,…,Sn,(n≥2).令μi和σi分別表示第i個(gè)資產(chǎn)的預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)差.當(dāng)i≠j時(shí),ρij表示Si和Sj的相關(guān)系數(shù).令μ=(μ1,…,μn)T和∑=(σij)m×n為對(duì)稱協(xié)方差矩陣，其中σij=σi2，并且當(dāng)i≠j時(shí)，σij=ρijσiσj.假設(shè)xi表示第i個(gè)資產(chǎn)的投資資金，投資組合為x=(x1,…,xn)，其預(yù)期收益和方差為

E[x]=x1μ1+…+xnμn=μTx

和

假設(shè)投資者的預(yù)期目標(biāo)以某個(gè)資產(chǎn)為參照物，如上證綜合指數(shù)，這將產(chǎn)生跟蹤誤差，它是指投資組合的收益和基準(zhǔn)之間的誤差.假設(shè)xMB是基準(zhǔn)組合的權(quán)向量，x是投資組合的權(quán)向量，那么這種誤差為μTx-μTxBM=μT(x-xBM)．因此，投資者在跟蹤誤差不能超過一定范圍的條件下，選擇最優(yōu)投資組合最大化預(yù)期收益，其模型表示為

(4)

下面將以上問題轉(zhuǎn)換成二階錐規(guī)劃問題.由于∑是正半定，所以存在一個(gè)矩陣R使得∑=RRT.定義y=RTx，z=RTx-RTxBM.可以看到(4)中的前兩個(gè)約束條件等價(jià)于(y0,y)∈C1，(z0,z)∈C2，其中，y0=σ,z0=TE.因此，模型(4)等價(jià)于下面的二階錐規(guī)劃模型(5)

(5)

3數(shù)值算例

(c0,c1,c2)∈K3

(6)

y0=σ=0.032

其中,(y0,y1,y2)∈K1,(z0,z1,z2)∈K2,(c0,c1,c2)∈K3.

(7)

其中，(y0,y)∈K1,(z0,z)∈k2,(c0,c)∈K3.

用SDPT3-4.0軟件，得到最優(yōu)解為x1=0.6788,x2=0.0376,x3=0.2159;y0=0.1749,y1=-0.0115,y2=-0.0215;z0=-0.0215,z1=0.0057,z2=0.0044;c0=-0.0115,c1=0.0114,c2=0.0057.所以，在一些條件約束下投資者通過分別買三種股票的最優(yōu)比例分別為x1=0.6788,x2=0.0376,x3=0.2159.

4小結(jié)

本文主要研究證劵投資組合中的誤差追蹤模型，并將此模型轉(zhuǎn)換成二次錐規(guī)劃模型，然后利用二次錐規(guī)劃方法解決誤差追蹤問題.利用SDPT3-4.0軟件，非常有效地解決我們的問題，且它的運(yùn)算速度非?？?我們?nèi)〉玫难芯拷Y(jié)果為投資者，尤其是機(jī)構(gòu)投資者，如基金公司，提供了選取最優(yōu)投資組合的有效模型和方法，具有重要的應(yīng)用價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

[1]M S Lobo, L Vandenberghe, S Boyd, et al. Application of second order cone programming[J].Linear Algebra and Its Applications, 1998,284(3):193-228.

[2]Y J Kuo, H D Mlittelmann. Interior point methods for second order cone Programm and OR applieations[J].Computational Optimization and Applieations,2004,28(3):255-285.

[3]Z Q Luo. Applieations of convex optimizationin signal proeessing and digital communication[J].Mathematieal programming,2003,97(2):177-207.

[4]F H Clarke.Optimization and Nonsmooth Analysis[M].New York:John Wiley and Sons,1983.

[5]S Boyd, C Crusius, A Hansson. Control applications of nonlinear convex program ming[J].Journal of Proeess Control,1998,8(6):313-324.

[6]M Buss, H Hashimoto, J B Moore. Dextroush and grasping for optimization[J].IEEE Transactionson Roboties and Automation,1996,12(3):406-410.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

Application of the Second-order Cone Programming in Error Tracking the Portfolio Selection Problem

BAI Jie, ZHAO Zhi-guo

(DepartmentofMathematics,EducationInstituteofTaiyuanUniversity,Taiyuan,Shanxi030001,China)

Abstract:In this paper, the Error tracking model of Securities investment is mainly studied. Firstly, transform it into the second-order cone programming，then use SDPT3 software to solve the two cone programming , and lastly the rationality of the Model is tested by numerical example.

Key words:the second-order cone programming; Portfolio Selection Problem; optimization method

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.06.013

*收稿日期：2015-12-20

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(71561008)

作者簡(jiǎn)介：白頡,女,山西呂梁人,講師.

中圖分類號(hào)：O221

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-7974(2016)03-0036-03