基于均值

劉旭　郭俊娟　郭聰聰　張德飛

【摘要】Markowitz均值——方差模型是用于研究投資者如何通過合理的資金分配來達(dá)到既定收益下，風(fēng)險最小化問題.本文采用該模型，基于投資優(yōu)化組合的理論對云南省內(nèi)地的特色股票做投資組合分析，通過對五支股票數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，得到在預(yù)期收益既定的條件下，投資風(fēng)險最小時的最優(yōu)投資組合。同時，根據(jù)這五支股票的投資權(quán)重進一步精選出三支股票，并計算出了最優(yōu)的投資權(quán)重。

【關(guān)鍵詞】投資組合 Markowitz均值——方差模型 收益率

一、引言

隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，人民的可支配收入增加，投資消費觀念在改變，越來越多的機構(gòu)和個人都在謀求不同投資方式使其增值.比如存入銀行、投資資金等。存入銀行幾乎沒有風(fēng)險，可投資回報率低，投資基金回報率高了，但高收入總伴隨著高風(fēng)險，因此最大限度地降低風(fēng)險成為投資者最為關(guān)注的問題.故而投資組合決策理論和方法的研究就越來越重要。投資組合研究是現(xiàn)代金融理論的重要課題之一，它是基于投資者面臨風(fēng)險和收益所作出的權(quán)衡取舍，主要解決風(fēng)險與收益之間的關(guān)系[1]。

本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法[2]，建立 Markowitz均值——方差模型[3]。從深圳A股中選取了云南白藥，上證A股中選取了云南投城、云維股份，以及中小企業(yè)股中選取了云南鍺業(yè)、云南鹽化5支股票構(gòu)成一個投資組合，從大智慧軟件下載2012年3月至2014年3月的股票數(shù)據(jù).借助Matlab軟件[4]，在已有假設(shè)的基礎(chǔ)上，對歷史數(shù)據(jù)進行分析，計算各支股票的收益率，方差和協(xié)方差矩陣，最終得出各支股票的投資權(quán)重和投資組合的風(fēng)險. 希望投資者對股票的投資有所幫助。

二、Markowitz均值——方差模型

（一）模型簡介

現(xiàn)代投資組合理論也叫分散投資理論，該理論最重要的內(nèi)容是研究投資者在不確定條件下，經(jīng)濟主體與資源在時間和空間上如何配置問題。1952年Markowitz在《金融雜志》發(fā)表了里程碑式的論文：《證券組合選擇》[5]，奠定了證券組合理論的基石，提出的均值方差模型開創(chuàng)了在不確定條件下進行理性投資組合的理論與方法，首次用精確地數(shù)理模型證明了分散投資的優(yōu)點。目前，該模型已成為投資理論與投資實踐的主要方式。Markowitz均值方差模型[6]發(fā)展了一個概念明確、可操作的投資組合理論，該模型首先假定資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布，通過分散化投資降低風(fēng)險，讓投資組合的風(fēng)險依賴于方差和協(xié)方差。這樣關(guān)于大量的不同資產(chǎn)的投資組合選擇的復(fù)雜的多維問題就約束成了一個簡單的二次規(guī)劃問題。

（二）模型假設(shè)

為了使復(fù)雜問題簡單化需要一些假設(shè)條件，模型成立的假設(shè)條件是：

①每種資產(chǎn)收益率都服從正態(tài)分布。

②市場有效性假設(shè)，股票價格已經(jīng)反映了股票內(nèi)在的經(jīng)濟價值。

③占優(yōu)原則假設(shè)，同一風(fēng)險水平下投資者選擇收益率較高的證券股票，同一收益率水平下，選擇風(fēng)險較低的證券股票。

④充分掌握了股票信息，不存在交易費用，不繳納所得稅。

⑤理性投資，投資者是不知足的和厭惡風(fēng)險的，用期望收益率來衡量未來實際收益率的總體水平，以收益率的方差來衡量收益率的不確定性（風(fēng)險），因而投資者在決策中只關(guān)心投資的期望收益率和方差，即投資者總是希望期望收益率越高越好，方差越小越好。

（三）模型建立

對于一個含有n種股票的投資組合p，我們將它的收益率[7]記為RP，第i支股票的收益率記為Ri，xi表示投資第i種資產(chǎn)所占的投資比例，就有

模型（1-6）的經(jīng)濟意義：目標(biāo)函數(shù)表示使投資者構(gòu)建的投資組合風(fēng)險最小，即損失最小；一個約束條件表示構(gòu)建的投資組合收益不得小于投資者的預(yù)期收益；另一個約束條件意味著將投資者的預(yù)算全部分配到投資者的投資組合中去，一次性滿倉操作，若X中的分量為負(fù)表示可以賣空該股票。

（四）模型求解

三、Markowitz均值——方差模型的實證研究

（一）計算風(fēng)險值及各支股票的最優(yōu)投資組合

本文從大智慧軟件獲取云南白藥、云南城投、云維股份、云南鍺業(yè)、云南鹽化五支股票數(shù)據(jù)并計算出收益率。這里收益率計算公式為：后一天與前一天的開盤價之差除以前一天的開盤價再乘100%。借助MATLAB軟件計算出每支股票的期望收益率、方差和協(xié)方差矩陣，以及各支股票收益率曲線。下面計算最優(yōu)的投資組合。

假設(shè)預(yù)期達(dá)到的收益率為r=15%=0.15（該收益率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同期銀行存款利率，因此具有現(xiàn)實意義）

（二）選取最優(yōu)投資方案

在很多時候，投資者對所想投資的股票存在資金有限或是其他約束條件，同時也為了增大其預(yù)期收益，此時多選擇其中比較理想的幾支股票進行投資。然而在以上所研究的五支股票中，根據(jù)其投資權(quán)重可重點投資云南白藥、云南投城、云南鍺業(yè)。

在以上計算的基礎(chǔ)上，再次計算這3支股票的方差、協(xié)方差矩陣，具體運算如下：

把X進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，得到云南白藥、云南投城、云南鍺業(yè)的投資權(quán)重為：

四、結(jié)論

Markowitz均值——方差模型為投資理論與投資實踐的重要方式，它將決策者的思維過程條理化、數(shù)量化，在已有假設(shè)的基礎(chǔ)上研究如何通過合理的資金分配來達(dá)到既定風(fēng)險水平下收益最大化問題。本文采用Matlab軟件，計算各支股票的期望收益率、方差和協(xié)方差矩陣，從而確定對各支股票的投資權(quán)重和投資組合的風(fēng)險，進而得出最優(yōu)投資方案。

參考文獻(xiàn)

[1]董南.均值-CVaR投資組合模型的改進及實證研究[J].邵陽學(xué)院學(xué)報2011，（4）：1-4.

[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型第3版[M].北京：高等教育出版社，2003：1-20，35-75.

[3]張建濤，張紅亮.證券組合中Markowitz模型及其對比研究[J].沿海企業(yè)與科技，2005.

[4]萬福永，戴浩暉，潘建瑜.數(shù)學(xué)實驗教程（MATLAB版）[M].北京：科學(xué)出版社，2006： 1-56.

[5]Markowitz H M. Portfolio selection[J].Journal of Finance，1952，7：77-91.

[6]徐緒松，王頻，侯成琪.基于不同風(fēng)險度量的投資組合模型的實證比較[J].武漢大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2004，（3）：5-8.

[7]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2004：75-79，165-179.

作者簡介：張德飛（1980-），男，博士，教授，主要從事金融數(shù)學(xué)等方面的研究。