一個(gè)簡(jiǎn)潔的圣維南方程組推導(dǎo)過(guò)程

（鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，河南鄭州450001）

（鄭州大學(xué)水利與環(huán)境學(xué)院，河南鄭州450001）

圣維南方程組是明渠非恒定漸變流基本微分方程組。它是由連續(xù)性微分方程式和運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式所構(gòu)成。由于漸變流又是非恒定流，運(yùn)動(dòng)要素既隨流程變化也隨時(shí)間變化，推導(dǎo)連續(xù)性微分方程式時(shí)只考慮一階微量項(xiàng)，直接忽略二階微量項(xiàng)。明渠流是水位變化產(chǎn)生的重力流。運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式推導(dǎo)時(shí)，把水位看成是由底部高程和水深所構(gòu)成，兩者獨(dú)立分析，分別得出重力和壓力對(duì)流動(dòng)的影響。這樣的推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔明了且概念清楚，易于教學(xué)。

水力學(xué)；明渠流；非恒定流；圣維南方程組

引言

圣維南方程組是明渠非恒定漸變流基本微分方程組。它是由連續(xù)性微分方程式和運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式所構(gòu)成。［1］由于是非恒定流，運(yùn)動(dòng)要素隨時(shí)間變化。由于是非均勻漸變流，運(yùn)動(dòng)要素又隨流程坐標(biāo)變化。選取微元體作為研究對(duì)象，并考慮運(yùn)動(dòng)要素在微小時(shí)段內(nèi)變化時(shí)，就涉及到空間和時(shí)間兩個(gè)微小變量。如不能區(qū)分微量的量級(jí)，使推導(dǎo)過(guò)程統(tǒng)一在一個(gè)必要的尺度上，忽略相對(duì)的高階微量項(xiàng)，將十分繁瑣，主次不明。由于是漸變流，流線不相互平行。水面線和底坡線作為兩條特殊的流線也是不相互平行的。在推求運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式時(shí)，壓力、重力、阻力及加速度等矢量，均應(yīng)是在所分析方向上的投影。明確投影方向，并將產(chǎn)生壓力差和重力分量的因素清晰的隔離開(kāi)來(lái)，將會(huì)使推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔明了、概念清晰、方便理解。

一、連續(xù)性微分方程式的推導(dǎo)

連續(xù)性微分方程式由質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)，是質(zhì)量守恒定律在明渠非恒定流流動(dòng)中的體現(xiàn)。

如圖1所示，運(yùn)用歐拉法，選取上游u-u斷面和下游d-d斷面之間控制體內(nèi)的液體作為研究對(duì)象。流段長(zhǎng)度為ds。

圖1連續(xù)性微分方程式推導(dǎo)

那么，dt時(shí)段內(nèi)由u-u斷面流入的液體質(zhì)量為：ρQdt

那么，t時(shí)刻控制體內(nèi)液體質(zhì)量為：ρAds

由質(zhì)量守恒定律，dt時(shí)段內(nèi)由于交換而引起控制體內(nèi)液體的質(zhì)量增量與由于非恒定而引起控制體內(nèi)液體的質(zhì)量增量相等：

此式即為圣維南方程組中連續(xù)性微分方程式的形式。與經(jīng)典形式完全相同。［1］

二、運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式的推導(dǎo)

運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式由牛頓第二定律推導(dǎo)，反映的是明渠非恒定漸變流流動(dòng)中力與運(yùn)動(dòng)要素之間的關(guān)系，也是反映功能轉(zhuǎn)換的關(guān)系。

圖2運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式推導(dǎo)

如圖2所示，選取流程坐標(biāo)s至s+ds流段的水流作為研究對(duì)象。

由于每個(gè)過(guò)水?dāng)嗝嫠痪怯汕赘叱毯退钏鶚?gòu)成，即z=z0z+h。則為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，把水位變化分割開(kāi)來(lái)，分別單獨(dú)考慮渠底高程和水深變化對(duì)水流的影響。

圖3壓力分量推導(dǎo)示意圖

當(dāng)只考慮底坡變化而不考慮水深變化時(shí)，即相當(dāng)于均勻流的情況。如圖4所示。則重力在流動(dòng)方向的分量為：ρgAdsi。

圖4重力分量推導(dǎo)示意圖

不難得出該流段水流所受到阻力分量的表達(dá)式為：Ff=-τ0χds

控制體內(nèi)液體所受到合外力在流動(dòng)方向上的分量為：

此式即為圣維南方程組中運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式的形式。與經(jīng)典形式完全相同。［1］

三、結(jié)束語(yǔ)

圣維南方程組中連續(xù)性微分方程式推導(dǎo)過(guò)程中，分析由于流量沿程變化而引起控制體內(nèi)質(zhì)量變化時(shí)，可忽略水力要素隨時(shí)間的變化，均用初始時(shí)刻的值進(jìn)行計(jì)算；分析控制體內(nèi)液體體積隨時(shí)間變化而引起質(zhì)量變化時(shí)，可忽略由于斷面位置不同而引起水力要素的變化，均以上游斷面水力要素來(lái)進(jìn)行計(jì)算。運(yùn)動(dòng)（能量）微分方程式推導(dǎo)過(guò)程中，把水位分割成渠底高程和水深兩部分，僅考慮渠底高程變化時(shí)計(jì)算重力的作用，僅考慮水深變化時(shí)計(jì)算壓力的作用。這樣的推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔明了、概念清楚，易于教學(xué)。

［1］吳持恭.水力學(xué)與山區(qū)河流開(kāi)發(fā)保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（四川大學(xué)）.水力學(xué)（第4版）（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2008：76-80.

一個(gè)簡(jiǎn)潔的圣維南方程組推導(dǎo)過(guò)程

李占松 師冰雪

The Saint-Venant equations are the basic differential equations of unsteady gradual flows in open channels.It consists of the continuous differential equation and motion（energy）differential equation.Because the gradually varied flow is unsteady and the movement elements changed with the changing of flow path and time，we can only consider the first order trace and neglect the second order trace when the continuous differential equation is derived.The open channel flow is a gravity flow resulted from the change of water level.When the motion（energy）differential equation derived，the water level is taken as consisting of the bottom elevation and the depth of the water，then the two parts are analyzed independently，differentiate the effect of gravity and pressure on the flow.This derivation is concise and clear and also easy for teaching.

hydraulics；open channel flow；unsteady flow；the Saint-Venant equations

G642文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2096-000X（2016）18-0097-02

李占松（1965-），男，漢族，河南長(zhǎng)葛人，副教授，博士，主要從事計(jì)算水力學(xué)及工程水力學(xué)方面的研究。