數(shù)形結(jié)合巧解題

高思梅

【摘要】本課探究的是一道與圖形面積有關(guān)的問題，看似簡(jiǎn)單，在分析問題、解決問題的過程中卻引發(fā)了學(xué)生熱烈的討論，讓學(xué)生深深的體會(huì)到了數(shù)形結(jié)合的妙處.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；圖形面積；代數(shù)式的值

幾何直觀是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的10個(gè)核心概念之一，幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力.事實(shí)上，很多重要的數(shù)學(xué)內(nèi)容都具有“雙重性”，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)它們，才能很好的理解它們、掌握它們的本質(zhì)意義，并使這些內(nèi)容變得更容易使學(xué)生接受并運(yùn)用它們?nèi)ニ伎紗栴}，形成幾何直觀能力，這也就是常說的“數(shù)形結(jié)合”.

一、題目分析

題目：（如圖）用4個(gè)相同的小矩形與一個(gè)正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知該圖案的面積為49，小正方形的面積為16，若用x，y表示小矩形的兩邊長，則x2+y2=

條件分析，以“形”變“數(shù)”

本題所給的條件為圖形的面積，而要求解的卻是代數(shù)式的值.為解決此題，需留心觀察圖形的特點(diǎn)，分析題中的條件，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算.

為了讓學(xué)生體驗(yàn)“形”變“數(shù)”的過程，教師只將題目條件呈現(xiàn)出來，隱去了要求解的式子，提出一個(gè)更加開放的問題：請(qǐng)大家觀察圖形，你是怎樣分析題目條件的？

學(xué)生1：題中有兩個(gè)條件，由正方形的面積計(jì)算公式我可以得到兩個(gè)式子

條件1：大正方形的面積為49

轉(zhuǎn)化成（x+y）2=49.

條件2：小正方形的面積為16

轉(zhuǎn)化成（x-y）2=16.

教師：很好.學(xué)生1對(duì)兩個(gè)條件分別進(jìn)行了分析，得到了關(guān)于x，y的兩個(gè)等式.還有不一樣的想法嗎？

學(xué)生2：由大正方形的面積為49可知大正方形的邊長為7，所以 x+y=7，由小正方形的面積為16，可知小正方形的邊長為4，所以x-y=4.

教師：同學(xué)們分析得很到位，我們還能再仔細(xì)觀察圖形的結(jié)構(gòu)，進(jìn)行分析嗎？

學(xué)生3：我發(fā)現(xiàn)小正方形的面積+4個(gè)小矩形的面積=大正方形的面積，所以，16+4xy=49 .那么，xy=8.25

教師：學(xué)生3巧妙的利用圖形的特點(diǎn)得到了上面這個(gè)等式.那么，題中的條件是怎樣被這幾名同學(xué)“變臉”的？分析得到的結(jié)論有什么共同點(diǎn)？哪名同學(xué)能夠講講？

學(xué)生4：兩個(gè)條件都是正方形的面積，分析得到的結(jié)論都是等式！

教師：沒錯(cuò)，同學(xué)們的回答正好說出了解決原問題的關(guān)鍵，圖形面積的條件都被同學(xué)們“變”成了代數(shù)式，那么這道題要我們解決的究竟是什么問題呢？請(qǐng)看：x2+y2=.要求的正好就是一個(gè)代數(shù)式的值，現(xiàn)在我們能解決這個(gè)問題了嗎？

在教師的引導(dǎo)點(diǎn)撥下，學(xué)生從不同角度單純的對(duì)條件進(jìn)行分析思維反而更放得開，感受到數(shù)形“不分家”，并且自然地引出了題中的問題.

二、解法呈現(xiàn)

1.利用二元一次方程組求解

（學(xué)生思考）有了前面的基礎(chǔ)，更多的同學(xué)想到的是直接利用二元一次方程組求解.以下是學(xué)生5的展示：由前面分析條件可知，兩個(gè)正方形的邊長分別為7和4，從而列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解方程組就可以求出x，y的值，再求出x2+y2.

教師：學(xué)生6對(duì)完全平方公式掌握得很熟練，選擇了對(duì)比兩個(gè)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，直接將兩個(gè)完全平方式相加.他將要求值的式子x2+y2看成了一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算，非常好！

3.以“形”助“數(shù)”，利用圖形面積求解

（1）教師：同學(xué)們利用完全平方公式和二元一次方程組順利地求出了x2+y2的值，請(qǐng)同學(xué)們?cè)偕钊氲厮伎迹}中的圖形還能在解題過程中再助我們一臂之力嗎？

短暫的停頓過后，又是幾分鐘的思考，學(xué)生再次將手高高舉起.

學(xué)生9：如圖，連接大正方形的對(duì)角線，易知右下角劃斜線的三角形與左上角劃線部分的三角形是全等的.將右下角三角形部分的面積“移”到左上角.這樣，x2+y2的值就轉(zhuǎn)化成了大正方形面積的一半與小正方形面積一半的和.

所以，x2+y2=12×49+12×16=32.5.

教師小結(jié)：這名同學(xué)采用了圖形割補(bǔ)的辦法，這也是解決圖形面積問題，尤其是不規(guī)則圖形面積的一種常用方法.同學(xué)們?cè)谶@節(jié)課中很好地結(jié)合了“形”與“數(shù)”，這就是解決本題的關(guān)鍵，所以在我們的共同探索下，得到了那么多不同的解法.

三、一點(diǎn)體會(huì)

圖形有助于發(fā)現(xiàn)、描述問題，有助于探索、發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結(jié)果.總之，圖形可以幫助我們把困難的數(shù)學(xué)問題變?nèi)菀?，把抽象的?shù)學(xué)問題變簡(jiǎn)單.

在本題中，正確地把圖形數(shù)字化，將題目所給的圖形語言轉(zhuǎn)化成與x，y有關(guān)的代數(shù)式，以“形”變“數(shù)”，有助于我們利用代數(shù)式的變形等進(jìn)行定量的計(jì)算.

“形”有形象直觀的特點(diǎn)，將題中所求的代數(shù)式x2+y2的值轉(zhuǎn)化為圖形語言的話，利用圖形的直觀性幫助求解，以“形”助“數(shù)”，能進(jìn)一步拓寬這道題的解題途徑.

總之，這道題的解答正好印證了一句話：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事難.

【參考文獻(xiàn)】

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