淺析高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題方法

宋仁旭

摘 要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要的基礎(chǔ)知識和技能，是刻畫生活中離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它可以幫助我們解決日常生活中的存款利息、資產(chǎn)折舊等多種問題，而且它對學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)具有重要的意義。在高中數(shù)列學(xué)習(xí)的過程中，面對不同問題，學(xué)生應(yīng)學(xué)會靈活運(yùn)用不同的解題方法完美的解答數(shù)列問題。下面，本文將對高中數(shù)學(xué)中數(shù)列的解題方法進(jìn)行簡要的概括，并以實例強(qiáng)化學(xué)生對不同方法的理解，為高中學(xué)生解決數(shù)列問題提供相應(yīng)的幫助。

關(guān)鍵詞：高中；數(shù)學(xué)；數(shù)列；解題方法

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）22-0030-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.22.017

一、數(shù)列的介紹

（一）數(shù)列的概念

數(shù)列是以整數(shù)集（或他的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)，其中的每個數(shù)都稱為這個數(shù)列的項，第n位的數(shù)是這個數(shù)列的第n項，通常用an表示。其一般形式可寫為a1，a2，…，an，an+1，…，簡記為{an}。

（二）數(shù)列的重要性

學(xué)習(xí)數(shù)列，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強(qiáng)化學(xué)生觀察、分析、歸納、推理、運(yùn)算、應(yīng)用等多種能力的培養(yǎng)。數(shù)列還可與函數(shù)、不等式、立體幾何、解析幾何等多種數(shù)學(xué)知識相聯(lián)系，具有較強(qiáng)的綜合性，使學(xué)習(xí)數(shù)列的同時，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力的培養(yǎng)。

二、解題方法淺析

（一）定義法

例：有如下三個結(jié)論：①數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則{an}是一個關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)；②bn是n的一次函數(shù)的充要條件是數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；③數(shù)列{bn}是等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列{bn}的前n項和Sn是二次函數(shù)。其中敘述正確的個數(shù)為（）

A . 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析：對于①，我們根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列{an}的通項公式為an=a1qn-1，a1qn-1不是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)。對于②和③，我們根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，等比數(shù)列{bn}的通項公式為bn =b1+（n-1）d=dn+（b1-d），其前n 項和Sn=nb1+n（n-1）d/2=dn2/2+（b1-d/2）n；當(dāng)d=0時，bn= b1，bn不是n的一次函數(shù)，Sn=nb1，Sn不是二次函數(shù)。因此本次選擇A。

（二）畫圖法

畫圖法是指根據(jù)題目給出的已知條件，通過畫圖的方法找出不同條件之間的關(guān)系，進(jìn)而了解問題的關(guān)鍵所在，解答數(shù)列問題。

例：等差數(shù)列{an}中，am=n，an=m，且d≠0，m≠n，則am+n是多少？

解析：

通過{an}是等差數(shù)列且d≠0可知an是關(guān)于n的一次函數(shù)，則如上圖所示，坐標(biāo)（n，m），（m，n），（m+n，am+n）三點共線，所以利用直線處處斜率相等可得（n-m）/（m-n）=（am+n –n）/[（m+n）-m]，可解得am+n=0。

（三）公式法

公式法是指運(yùn)用數(shù)列中等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式解決問題的方法。

例：已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}前n項和Sn滿足6Sn=（an+1）（an+2）， S1>1，n∈N*，求{an}的通項公式。

解析：當(dāng)n=1時，a1=S1=（a1+1）（a1+2）/6，且a1=S1>1，解得a1=1（舍）或2，所以a1=2。由公式可知an+1=Sn+1 - Sn=（an+1+1）（an+1+2）/6 -（an+1）（an+2）/6，整理得（an-1- an-3）（ an+1+ an）=0，又an>0，解得an+1- an=3。因此，可得知數(shù)列{an}是以2為首項以3為公差的遞增等差數(shù)列，通項公式an=2+3（n-1）=3n-1。

（四）函數(shù)思想求解

數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此通過函數(shù)的思想對數(shù)列問題進(jìn)行求解是有效方法之一。

例1：已知f（x）=a·bx的圖像經(jīng)過A（4，1/4）和B（5，1）兩點。①求f（x）的解析式；②已知an=log2f（n），n∈N*，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，解不等式an·Sn≤0。

解析：對于①，由題知a·b4=1/4，a·b5=1，解得a=1/1024，b=4，因此函數(shù)解析式f（x）= 4x/1024。對于②，由題知an= log2（4n/1024）= log24n- log21024=2n-10，則數(shù)列{an}是以-8為首項以2為公差的等差數(shù)列，an=2n-10，Sn=n（-8+2n-10）/2= （n-9）n，所以由an·Sn≤0可得（2n-10）（n-9）n≤0，解得5≤n≤9，又n∈N*，所以n=5，6，7，8，9。

例2：已知數(shù)列{an}遞增， an=n2+λn，n∈N*，求λ。

解析：由數(shù)列{an}遞增知an+1-an>0，即[（n+1）2+λ（n+1）]-[n2+λn]=2n+1+λ>0恒成立，因此λ>-1-2n恒成立（n∈N*）。設(shè)f（n）= -1-2n，則需求出f（n）的最大值，由上面可知f（n）最大值為f（1）=3（n∈N*），所以λ的取值范圍是λ>3。

（五）方程求解法

方程求解法是指在解答數(shù)列問題時，根據(jù)等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式，構(gòu)造出方程組，通過求解方程組解答數(shù)列問題的方法。

例：等差數(shù)列{an}的前n 項和是Sn，S10=30，S15=195，求S20。

解析：解答此題的關(guān)鍵在于求出其通項公式，下面有兩種解答方法，均為方程思想求解法。

法1：設(shè)數(shù)列的前n項和Sn=kn2+tn，由題得方程組S10=100k+10t=30，S15=225k+15t=195，解得k=2，t=-17，所以Sn=2n2-17n。代入n=20得S20=460。

法2：設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，首項為a1，由等差數(shù)列前n項和公式得方程組S10=10a1+10（10-1）d/2=30，S15=15a1+15（15-1）d/2=195，解得a1=-15，d=4，所以Sn=-15n + 4n（n-1） /2=2n2-17n。將n=20代入解得S20=460。

（六）構(gòu)造數(shù)列法

構(gòu)造數(shù)列是解決數(shù)列問題的重要方法之一，它包括構(gòu)造等差數(shù)列、構(gòu)造等比數(shù)列等多種方法。

1.構(gòu)造成差數(shù)列

例：已知數(shù)列{an}滿足an=2an-1+2n-1，n≥2且n∈N*，a4=81。

（1）求a1、a2、a3；

（2）是否存在實數(shù)λ使得數(shù)列為等差數(shù)列

若存在求出λ和an的值，若不存在說明理由。

解析：（1）已知a4=81，將n=4代入an=2an-1+2n-1中得a3=33，再將n=3代入an=2an-1+2n-1中得a2=13，再將n=2代入得出a1=5。

（2）設(shè)存在實數(shù)λ使

為等差數(shù)列，則-=（an-2 an-1-λ）/2n=（2n-1-λ）/2n=1-（λ+1）/2n，因此常數(shù)λ=-1，可求得等差數(shù)列

的首項（a1-1）/2=2，公差d=1。因此λ=-1，=n+1，an=（n+1）2n+1。

2.構(gòu)造等比數(shù)列

例：現(xiàn)存在數(shù)列{an}，其首項a1=2，an+1=3an+2，n∈N*，求數(shù)列{an}的通項公式。

解析：此數(shù)列{an}既非等差數(shù)列又非等比數(shù)列，根據(jù)題我們可自行構(gòu)造等比數(shù)列，利用此等比數(shù)列進(jìn)行求解。設(shè)數(shù)列{an+k}是以an的系數(shù)3為公比的等比數(shù)列，即an+1+k=3（an+k），整理得an+1=3an+2k，又an+1=3an+2，解得k=1，即{an+1}是以an+1=3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，an+1=3·3n-1=3n，所以an=3n-1。

（七）分類討論法

在數(shù)列解題過程中，有些復(fù)雜的問題是無法直接一次性解答的，這時就需要化整為零將問題進(jìn)行分類討論。

例：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn= -n2+5n，求{|an|}的前n項和Tn的表達(dá)式。

解析：已知Sn= -n2+5n，則當(dāng)n=1時，a1= S1=4；當(dāng)n≥2時，an=Sn -Sn-1= （-n2+5n）-[-（n-1）2+5（n-1）]=-2n+6。因此，當(dāng)n≤3時an≥0，|an|= an；當(dāng)n≥4時，an<0，|an|= -an。

所以，當(dāng)1≤n≤3時，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|= a1+a2+…+an =Sn= -n2+5n；當(dāng)n≥4時，Tn=|a1|+|a2|+|a3|…+|an|= a1+a2+ a3- a4-…-an = -Sn+2S3 =-Sn+12= n2-5n+12。因此Tn= -n2+5n，（1≤n≤3）

n2-5n+12，（n≥4） 。

（八）遞推法

遞推法是指根據(jù)問題中所提供的遞推關(guān)系以探求、構(gòu)造等方法解決數(shù)列問題的方法。

例：Sn是數(shù)列{an}的前n項和，對于任意自然數(shù)n，都有2 Sn=n（a1+an），試證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

解析：要證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，我們先要了解等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列是指從第二項起，每一項與它前一項的差都為同一個常數(shù)的數(shù)列，通項公式為an= a1+（n-1）·d。因此可通過已知條件進(jìn)行遞推，求得結(jié)果。首先，我們將Sn轉(zhuǎn)化為an：當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1= n（a1+an）/2- （n-1）（a1+an-1）/2=[n（an-an-1）+ a1+an-1]/2，整理得①a1+ （n-2）an-（n-1）an-1=0，同理知②a1+ （n-1）an+1- nan=0。由②-①得：（n-1）an+1-2 （n-1） an+（n-1） an-1=0，又n-1≠0，則an+1-2an+an-1=0，即當(dāng)n≥2時，an+1-an=an-an-1。因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

總之，在高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生應(yīng)該學(xué)會靈活運(yùn)用函數(shù)法、畫圖法、構(gòu)造數(shù)列法、遞推法、歸納猜想法等多種方法對不同的數(shù)列問題進(jìn)行解答。

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[ 責(zé)任編輯 趙建榮 ]