在主動(dòng)建構(gòu)中感悟模型思想

胡德運(yùn) 陳燕

【關(guān)鍵詞】模型思想；主動(dòng)建構(gòu)；感悟；乘法分配律

【中圖分類(lèi)號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）21-0055-03

【作者簡(jiǎn)介】1.胡德運(yùn)，江蘇省無(wú)錫市洛社中心小學(xué)（江蘇無(wú)錫，214187），一級(jí)教師，無(wú)錫市數(shù)學(xué)教學(xué)能手；2.陳燕，江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校小學(xué)部（江蘇無(wú)錫，214177），一級(jí)教師，無(wú)錫市數(shù)學(xué)教學(xué)能手。

“乘法分配律”是乘法中的三大運(yùn)算律之一，它有效溝通了乘法與加法、減法之間的聯(lián)系，思維含量高，是一種非常重要的數(shù)學(xué)模型。與乘法交換律、結(jié)合律只包含單一的運(yùn)算相比，乘法分配律中含有兩種運(yùn)算，這種形式上的變化與特殊結(jié)構(gòu)往往會(huì)給學(xué)生造成一定的認(rèn)知障礙。那么，乘法分配律的教學(xué)如何有效突破教學(xué)難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生走出思維的窠臼呢？筆者擷取蘇教版四下《乘法分配律》一課的幾個(gè)教學(xué)片段，談?wù)勛约旱膶?shí)踐與思考。

一、從“解決問(wèn)題”到“發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象”

出示情境圖：四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有4個(gè)班，每個(gè)班領(lǐng)24根跳繩。四、五年級(jí)一共要領(lǐng)多少根跳繩？學(xué)生列綜合算式解答，教師組織全班交流。

生：先算出四、五年級(jí)一共有多少個(gè)班，再算一共要領(lǐng)多少根跳繩，列式（6+4）×24=240（根）。

生：先算出四、五年級(jí)各領(lǐng)多少根跳繩，再算一共要領(lǐng)多少根跳繩，列式6×24+4×24=240（根）。

師：同學(xué)們用兩種不同的方法解決了這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，兩個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果都是240，這兩個(gè)算式之間可以用哪個(gè)符號(hào)連接起來(lái)？

生：等號(hào)。

師：這樣我們就得到一個(gè)等式：（6+4）×24=6×24+4×24，比一比，等號(hào)兩邊的算式各有什么特點(diǎn)？又有什么聯(lián)系？

學(xué)生小組討論，之后全班交流。

師：剛才同學(xué)們交流了自己的想法，其實(shí)我們還可以結(jié)合乘法的意義從運(yùn)算的角度來(lái)思考。等號(hào)左邊先算什么？表示幾個(gè)24？

生：先算6加4等于10，10×24表示10個(gè)24。

師：等號(hào)右邊呢？

生：6×24表示6個(gè)24，4×24表示4個(gè)24，加起來(lái)一共是10個(gè)24。

師：我們發(fā)現(xiàn)，等號(hào)兩邊的算式雖然各有特點(diǎn)，但都是在求幾個(gè)24是多少？

生：都是在求10個(gè)24是多少。

從解決實(shí)際問(wèn)題入手，引導(dǎo)學(xué)生列綜合算式進(jìn)行解答，在交流不同算式的實(shí)際意義和比較計(jì)算結(jié)果的基礎(chǔ)上，得到“乘法分配律”研究的第一個(gè)實(shí)例的等式。然后，教師及時(shí)去情境化，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較兩個(gè)算式的不同特點(diǎn)，并結(jié)合乘法的意義從運(yùn)算的角度來(lái)說(shuō)明等號(hào)兩邊算式之間的聯(lián)系，使學(xué)生了解等式表示的數(shù)學(xué)內(nèi)容。學(xué)生在分析等式“現(xiàn)實(shí)意義”的過(guò)程中，初步感受到乘法分配律的合理性；在分析等式“數(shù)學(xué)意義”的過(guò)程中，初步認(rèn)識(shí)了乘法分配律的基本結(jié)構(gòu)和內(nèi)涵。

二、從“個(gè)例分析”到“舉例豐富”

師：剛才我們觀察了一個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)了等式中兩個(gè)算式之間的聯(lián)系。那么，具有這樣特點(diǎn)的兩個(gè)算式是不是一定能組成等式呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)谛睦锵认雰蓚€(gè)具有這樣特點(diǎn)的算式。

生：我想的兩個(gè)算式是（9+3）×5和9×5+3×5。

師：這兩個(gè)算式能組成等式嗎？

生：可以組成等式，兩邊的結(jié)果都等于60。

生：左邊的算式先算9+3等于12，12×5表示12個(gè)5；右邊的算式是算9個(gè)5加上3個(gè)5，也表示12個(gè)5，可以組成等式。

師：看來(lái)，無(wú)論是從計(jì)算結(jié)果上來(lái)比較，還是從乘法的意義上來(lái)思考，都可以確定（9+3）×5和9×5+3×5可以組成等式。

師：你也能像這樣寫(xiě)出兩個(gè)算式，并判斷它們能否組成等式嗎？

學(xué)生自主寫(xiě)算式，教師組織全班交流并相機(jī)板書(shū)例子。

師：有沒(méi)有誰(shuí)寫(xiě)的算式不能組成等式的？

生：沒(méi)有。

師：像這樣的一組算式還能寫(xiě)嗎？寫(xiě)得完嗎？

生：還能寫(xiě)，寫(xiě)不完，有無(wú)數(shù)個(gè)。

研究乘法分配律需要豐富的素材，因此，教師有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生明確：從第一個(gè)實(shí)例中看到的數(shù)學(xué)現(xiàn)象并不能很快上升為一種普遍規(guī)律，還需要舉出更多的例子在類(lèi)似的情況中進(jìn)行求證。教學(xué)中，教師遵循由扶到放的原則，按照“寫(xiě)出算式→算出得數(shù)→比較結(jié)果→形成等式”的基本思路引導(dǎo)學(xué)生正確地舉例，同時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合乘法的意義，從運(yùn)算的角度對(duì)每組算式能否組成等式進(jìn)行驗(yàn)證。在舉例的過(guò)程中，教師不僅注重引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注舉例的數(shù)量，還注重引導(dǎo)學(xué)生從反例的角度進(jìn)行逆向思考。從單個(gè)例子的等式關(guān)系，類(lèi)推到更多例子的若干同類(lèi)現(xiàn)象的等式關(guān)系，教師在不斷豐富學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)感性材料的同時(shí)，無(wú)形中也傳遞了科學(xué)的認(rèn)知方法和態(tài)度。

三、從“概括特征”到“建立模型”

師：仔細(xì)觀察黑板上的這些等式，等號(hào)兩邊的算式有什么共同特點(diǎn)？

學(xué)生小組討論，教師組織全班交流。

生：每組兩個(gè)算式中的三個(gè)數(shù)是相同的，計(jì)算結(jié)果也相同。

生：等號(hào)左邊的算式都是先算加法再算乘法，右邊的算式都是先算兩個(gè)乘法再算加法。

師：這兩個(gè)乘法都是誰(shuí)和誰(shuí)相乘??？

生：都是括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)分別與括號(hào)外面的數(shù)相乘。

師：如果用字母a、b、c分別表示這三個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律可以怎樣表示？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這個(gè)字母表達(dá)式的左邊和右邊分別表示什么？

師：左邊表示兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，也就是（a+b）個(gè)c；右邊表示兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘再相加，也就是“a個(gè)c+b個(gè)c”。等式兩邊都是算（a+b）個(gè)c是多少，所以結(jié)果不變。

師：我們發(fā)現(xiàn)的這個(gè)規(guī)律是乘法中又一條重要的運(yùn)算律，叫乘法分配律。（板書(shū)課題）你覺(jué)得“分配”這個(gè)詞是什么意思？

生：“分配”就是括號(hào)里的數(shù)分別與括號(hào)外的數(shù)相乘。

師：沒(méi)錯(cuò)，“分配”就是“分別配對(duì)”的意思。在這里，a和b分別與誰(shuí)配對(duì)？

根據(jù)學(xué)生的回答，教師完成板書(shū)：

（a+b）×c=a×c+b×c

師：從左往右看這個(gè)字母式，乘法分配律表示兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把積相加，結(jié)果不變。那從右往左看呢？

生：兩個(gè)加數(shù)分別與一個(gè)數(shù)相乘，再把積相加，就等于兩個(gè)加數(shù)的和與這個(gè)數(shù)相乘。

在學(xué)生充分感悟等式左右兩邊算式特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，教師給予學(xué)生充分思考、交流的時(shí)空，引導(dǎo)他們用自己的語(yǔ)言描述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用含有字母的式子抽象、概括發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，不僅培養(yǎng)了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，還使學(xué)生初步感悟到歸納的數(shù)學(xué)思想方法。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘法意義來(lái)分析乘法分配律，明晰（a+b）×c與a×c+b×c之間的聯(lián)系，使學(xué)生從本質(zhì)上理解乘法分配律。同時(shí)，教師緊緊圍繞“分配”一詞，引發(fā)學(xué)生展開(kāi)深度思考，形象化地解釋a與c配對(duì)得到a×c，b與c配對(duì)得到b×c，有助于學(xué)生建立乘法分配律的數(shù)學(xué)模型，使他們初步感悟模型思想。

四、從“反思研究”到“溝通聯(lián)系”

師：回顧剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，我們是怎樣研究出乘法分配律的？

生：我們先解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，得到了一個(gè)等式，然后舉了更多例子進(jìn)行觀察比較。

生：在判斷兩個(gè)算式能不能組成等式時(shí)，我們不僅從計(jì)算結(jié)果上進(jìn)行判斷，還根據(jù)乘法的意義進(jìn)行思考。

生：與以前學(xué)習(xí)運(yùn)算律一樣，我們用字母式子表示出了乘法分配律。

師：同學(xué)們總結(jié)得真好！其實(shí)，我們對(duì)乘法分配律并不陌生，在以前的學(xué)習(xí)中就曾接觸過(guò)。（出示：12×3）這是兩位數(shù)乘一位數(shù)，我們是怎樣計(jì)算的？

生：我們把12分成10和2，先算10×3和2×3，再把兩個(gè)積加起來(lái)。

師：把這種想法用等式表示出來(lái)就可以寫(xiě)成12×3=10×3+2×3，就運(yùn)用了乘法分配律。

師（出示“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算”情境圖）：三年級(jí)時(shí)，我們學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算，還記得長(zhǎng)方形籃球場(chǎng)的周長(zhǎng)是怎樣求的嗎？

生：用兩條長(zhǎng)加上兩條寬，列式是28×2+15×2。

生：先算出一條長(zhǎng)和一條寬的和，再乘2，列式是（28+15）×2。

師：這兩道算式都是在求籃球場(chǎng)的周長(zhǎng)，所以它們的結(jié)果是相等的。（板書(shū)：28×2+15×2=（28+15）×2）看著這個(gè)等式，你想到了什么？

生：我想到了乘法分配律。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能僅僅滿(mǎn)足于結(jié)論的獲得，更重要的是探索結(jié)論的過(guò)程。一方面，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧乘法分配律的研究過(guò)程，及時(shí)將學(xué)生通過(guò)探索獲得的經(jīng)驗(yàn)與結(jié)論進(jìn)一步抽象、概括、提煉為數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)與方法，讓學(xué)生“知其然”更“知其所以然”。另一方面，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧“兩位數(shù)乘一位數(shù)”和“長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算”的有關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生在“說(shuō)理”中經(jīng)歷演繹論證的思維過(guò)程，有效溝通了新舊知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)一步提升了他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和水平。

在教學(xué)中，教師有意識(shí)地滲透模型思想，不僅可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，發(fā)展其思維能力，提升其思維品質(zhì)，還可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)其應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)其積極的情感。“乘法分配律”的教學(xué)，需要教師合理利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的探索過(guò)程、從感性到理性的“數(shù)學(xué)化”過(guò)程，從而使學(xué)生在自主活動(dòng)和積極思辨中完成對(duì)乘法分配律的意義建構(gòu)，初步感悟數(shù)學(xué)模型思想。