淺談數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

何勝鳳

【摘要】數(shù)學(xué)作為研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)的雙基。通過數(shù)形結(jié)合思想，不僅可將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，還可以大大簡化解題步驟。對此，文章從數(shù)形結(jié)合概念入手，就數(shù)形結(jié)合在集合問題和不等式問題中的應(yīng)用進(jìn)行探討，從而為數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 解題 不等式

數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)學(xué)科中的基本思想，對培養(yǎng)學(xué)生思維能力具有重要作用。通過數(shù)形結(jié)合思想，可讓學(xué)生在教學(xué)活動中更加直觀的理解不同的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，從而大大提高教學(xué)效率，增強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力。

一、數(shù)形結(jié)合的概念

數(shù)形結(jié)合是一種直觀的教學(xué)方式，它將原本生硬的相互學(xué)的理論知識賦予了更多圖形化的方式，并通過板書、多媒體等方式呈現(xiàn)給學(xué)生。研究認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合思想，可將原本枯燥和抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系等轉(zhuǎn)換為更加直觀的的結(jié)合圖形，從而回歸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)——“數(shù)”與“形”，最終讓學(xué)生更加簡單、直觀的理解和掌握數(shù)學(xué)知識點(diǎn)。

二、數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

數(shù)形結(jié)合思想被廣泛用在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個階段，隨著數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入，教師可更加直觀的將數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)給學(xué)生，而學(xué)生也可以清晰的了解問題，并大大激發(fā)學(xué)生對問題的興趣和愛好。通過數(shù)形結(jié)合方法，不僅可以鍛煉學(xué)生的空間幾何思維，還可提高數(shù)學(xué)分析能力。可以說，數(shù)形結(jié)合方法在培養(yǎng)學(xué)生能力方面發(fā)揮著獨(dú)特的作用，并成為當(dāng)前初中數(shù)學(xué)的一種重要教學(xué)方式。具體來看，數(shù)形結(jié)合方法的作用主要表現(xiàn)在以下幾個方面：第一，結(jié)合數(shù)形結(jié)合方法，有助于提升學(xué)生求解與函數(shù)相關(guān)的代數(shù)題和幾何題；第二，通過數(shù)形結(jié)合方法，可通過直觀的圖像和模型幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題；第三，通過函數(shù)途徑或者是幾何圖形可幫助學(xué)生更好的進(jìn)行數(shù)學(xué)方程式的求解；數(shù)形結(jié)合有助于求解與幾何量相關(guān)的函數(shù)不等式問題。

三、數(shù)形結(jié)合在解題中的實際應(yīng)用

3.1集合問題

在集合的運(yùn)算中，通常采用數(shù)軸、韋恩圖來表示。通過圖形直觀的將不同集合之間的關(guān)系反映出來，從而讓學(xué)生對問題一目了然，并大大簡化了問題，讓集合運(yùn)算變得快捷。

【例題1】某學(xué)校先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂等三場知識講座，其中有75人聽了數(shù)學(xué)講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，17人同時聽了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人同時聽了數(shù)學(xué)、音樂講座，9人同時聽了歷史音樂、講座，還有6人聽了全部講座，求聽講座的人數(shù)。

分析：對于該問題的求解，如果單純依靠學(xué)生的想象是非常難求解的。因此，在求解中，利用韋恩圖將上述的集合關(guān)系表示出來，從而我們可以得到不同集合之間的數(shù)量關(guān)系。

在圖1中，聽數(shù)學(xué)和歷史講座的人數(shù)、聽音樂和歷史講座的人數(shù)、聽數(shù)學(xué)和音樂講座的人數(shù)，以及三者都聽的人數(shù)即可直觀的反應(yīng)出來。由于75人聽了數(shù)學(xué)講座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，那么三組共有75+68+61人。同時根據(jù)容斥原理可知，即可求解得到聽講座總?cè)藬?shù)。

解：68+75+61-（17+12+9）+6=204-38+6=172.

所以，聽講座的人數(shù)為：172人。

總結(jié)：在該問題中，通過數(shù)形結(jié)合思想，其本質(zhì)就是將比較抽閑的集合問題直接轉(zhuǎn)換為比較生動的圖形化語言，從而讓學(xué)生更加清晰的了解不同集合的交集、并集等。這種解題方法就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。在解決這類問題中，讓學(xué)生充分掌握好韋恩圖原理，并靈活運(yùn)用，對提高學(xué)生的解決技巧和思維能力具有重要作用。

3.2不等式問題

在初中數(shù)學(xué)中，不等式問題是一個重要的組成部分。而不等式的計算與等式的計算之間存在的唯一不同就是不等式通常是一個集合，而不是一個常數(shù)。在求解中，要找到不等式的解，通常需要結(jié)合數(shù)軸。因此，在對不等式相關(guān)知識進(jìn)行教學(xué)過程中，我通常將數(shù)形結(jié)合思想滲透到課堂中，這樣不僅可以提高課堂效率，也有利于學(xué)生具備不等式的解題能力。

【例題2】求解不等式

分析：在對干不等式進(jìn)行求解的過程中，我們通常都是先分別對不同的不等式進(jìn)行求解，然后通過數(shù)軸畫出不等式的解的范圍；然后再求解不同不等式的解的集合。

解：對不等式①進(jìn)行求解，從而得到①式

對②式進(jìn)行求解，得到

將不等式①、②的解的結(jié)合通過數(shù)軸畫出，從而可以得到圖2.

通過圖2可以得出：

不等式①、②的共同解為

總結(jié)：根據(jù)數(shù)軸可直觀的將不同不等式的解的范圍展現(xiàn)出來，從而通過數(shù)軸即可了解不等式的解的關(guān)系。但是，在課堂教學(xué)中，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到數(shù)軸中，其最為關(guān)鍵的問題是要掌握 和 之間的方向問題，這樣才能更加準(zhǔn)確的得出結(jié)果?？梢娝?，通過數(shù)形結(jié)合方法，可大大展提高學(xué)生的解題能力，也讓學(xué)生對問題更加直觀。

結(jié)束語

總之，數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)的一個重要特點(diǎn)，對培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要作用。通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，也將原來比較枯燥、抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的圖形，從而大大增強(qiáng)了數(shù)學(xué)課堂的趣味性。同時，我們也要認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)不是幾節(jié)課即可培養(yǎng)，而需要長期潛移默化的運(yùn)用，才能更好的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【參考文獻(xiàn)】

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