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    型極限的求法

    2016-05-30 20:52:50林美娟
    科技資訊 2016年23期
    關(guān)鍵詞:計算

    林美娟

    摘要: 型極限是微積分學中最為常見的極限,是待定型極限,不能直接用極限的四則運算法則求出.根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,可以用以下方法簡捷地求出 型極限:利用有理化或約分把待定型極限轉(zhuǎn)化為確定型的極限來求;將所求極限看成函數(shù)在某點的導數(shù),然后利用導數(shù)的定義求得;利用無窮小量的等價替換或洛必達法則簡化計算過程后求得.

    關(guān)鍵詞: 型極限 無窮小量 計算

    中圖分類號:O17 文獻標識碼:A 文章編號:1672-3791(2016)08(b)-0000-00

    函數(shù)的極限可以分為兩大類:待定型和確定型. 型極限是指分子、分母均為無窮小量的函數(shù)的極限,是待定型極限,不能直接用四則運算法則來計算.這類極限的計算貫穿于微積分學的教學過程之中,如何簡捷地求出這類極限是每個師生所關(guān)心的問題.對于這種類型的極限,可以根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)來選用計算方法.常用的計算方法有下面四種.

    1.利用有理化或約分轉(zhuǎn)化極限類型

    函數(shù)極限的四則運算法則給出了求函數(shù)極限最基本的方法,而 型極限是不具備函數(shù)極限四則運算法則要求的,不能直接利用函數(shù)極限的四則運算法則來計算.對于函數(shù)是有理函數(shù)的 型極限可以將分子或分母因式分解后約去零因式,然后轉(zhuǎn)化為可以用函數(shù)極限的四則運算法則計算的極限.對于極限是 型的無理函數(shù)可以將分母或分子有理化后約去零因式再用函數(shù)極限的四則運算法則計算其極限.

    2.利用導數(shù)的定義揭示極限意義

    函數(shù)在某點的導數(shù)其實就是當自變數(shù)的改變量趨向于零時,相應函數(shù)的改變量與自變數(shù)改變量之比的極限,顯然是一個 型極限.可見,有的 型極也可以看成或轉(zhuǎn)化為函數(shù)在某點的導數(shù),然后利用導數(shù)的定義來求.

    3.利用無窮小量的等價替換優(yōu)化計算

    型極限的函數(shù)的分子、分母都是無窮小量,對于較為復雜的無窮小量用與其等價且簡單的無窮小量去替換,可以優(yōu)化計算過程.

    常用的等價無窮小量有:當 時, ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , ~ , -1~ .

    在替換的時候必須保證替換后的分子和分母與原來的分子分母等價,不能只考慮局部等價,要求整體等價.

    4.利用洛必達法則簡化計算

    洛必達法則是計算待定型極限的有力武器.對于符合洛必達法則條件的 型極限可以用洛必達法則計算.如果應用洛必達法則后得到的極限還是 型,只要仍滿足洛必達法則的條件,那么可以繼續(xù)使用洛必達法則.

    在求 型極限的過程中,要盡可能地將函數(shù)的分子分母化為幾個因式之積的形式,可以約分的先約分,極限不為零的因式直接求出,這樣可以化簡函數(shù)的形式.同時還要靈活、綜合地運用相關(guān)方法來優(yōu)化計算過程.例如,在求極限 時,先用洛必達法則可得到 ,還是 型極限.如果不化簡,再用洛必達法則計算,函數(shù)會變得比較復雜.這時,可以先求出 的極限值,這樣就可以得到 ,從而使函數(shù)得以簡化.最后可用無窮小量等價替換求得極限.

    參考文獻

    [1]劉玉璉.數(shù)學分析講義(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2008,4.

    [2]費定暉等.數(shù)學分析習題集題解[M].山東:山東科學技術(shù)出版社,1980,2.

    [3]劉智斌等.一類待定型極限的求法[J].數(shù)學學習與研究,2015,05:88—89.

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