一道數(shù)學(xué)題是如何被解出來的

薛明

【摘 要】問題就是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，問題的解決就是由問題的初始狀態(tài)通過學(xué)生已具備的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的過程。通過波利亞《怎樣解題》數(shù)學(xué)思維的新方法在具體問題中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題的價(jià)值，也就是增強(qiáng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題；解決；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

一條數(shù)學(xué)問題究竟是如何被解出來的，體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面就以筆者參加2016年廣州市“卡西歐杯”中學(xué)數(shù)學(xué)教師“講題比賽”的題目為例。

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于-1/3。

（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

題目出處：這題目是2010年北京市數(shù)學(xué)理科高考題第19題，難度0.51。條件信息：考察軌跡方程；三角形中的幾何計(jì)算；點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題。

解題思路：第一問由所有已知條件組成的初始狀態(tài)如何到達(dá)目標(biāo)狀態(tài)？此時(shí)的學(xué)生回憶所學(xué)，發(fā)現(xiàn)與課本學(xué)習(xí)的例題相仿，而且此時(shí)的學(xué)生已經(jīng)具備知道求點(diǎn)的軌跡方程的步驟的知識(shí)儲(chǔ)備。初始狀態(tài)明晰、準(zhǔn)確，目標(biāo)清楚。從而將“建設(shè)限代化”——建系、設(shè)點(diǎn)、限制條件、代入、化簡這一系列操作在具體情境中進(jìn)行運(yùn)用。

題目條件中點(diǎn)有坐標(biāo)說明已經(jīng)建好系，因此按步驟設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），將題目條件kAP·kAP=-直接表達(dá)出來即可。因?yàn)辄c(diǎn)B與A（-1，1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1）。已知點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)A（-1，1）利用已知兩點(diǎn)求斜率得kAP=，kBP=代入式，化簡可得點(diǎn)的軌跡方程。有的同學(xué)可能就此下結(jié)論，但也有部分同學(xué)在過去的運(yùn)用中積累過相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)回顧下解題過程，仔細(xì)觀察斜率是個(gè)分式結(jié)構(gòu)，根據(jù)分母不能為零得x≠±1，老師與學(xué)生再次一起總結(jié)，強(qiáng)化函數(shù)先求定義域避免錯(cuò)誤。

第二問的目標(biāo)狀態(tài)是問是否存在滿足所有初始狀態(tài)的點(diǎn)P。這是一道求解題，主要部分是未知量、已知數(shù)據(jù)和條件。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（u，v），求解橫、縱坐標(biāo)這兩個(gè)未知數(shù)就是目標(biāo)。根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn)將題目的初始條件轉(zhuǎn)化成兩個(gè)關(guān)于橫縱坐標(biāo)的方程可以得以求解。在具體情境中，△PAB與△PMN的面積相等就是一個(gè)等式。當(dāng)面臨一個(gè)復(fù)雜問題時(shí)，應(yīng)設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為簡單問題，或從它相關(guān)的簡單問題入手。而將三角形面積表達(dá)出來促使學(xué)生畫出圖形進(jìn)行分析，而表達(dá)出底和高的長度，在學(xué)生掌握了已知兩直線求交點(diǎn)、點(diǎn)到直線距離等公式的前提下成為可能。

思路背景：這些思路的發(fā)展宛如要進(jìn)行一次此地到彼地的旅游需要做的攻略，由此地到彼地，需要若干途徑，而每個(gè)途徑又有若干步驟。也正如波利亞的《怎樣解題》120頁中示范的一個(gè)原始人如何渡過一條小溪進(jìn)行的一連串的念頭，這一連串的念頭應(yīng)該稱之為分析。分析是創(chuàng)造，綜合是執(zhí)行。分析是設(shè)計(jì)一個(gè)方案，綜合是執(zhí)行這個(gè)方案。而如何執(zhí)行這個(gè)方案，課標(biāo)中明確指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的、富有個(gè)性的過程?！?/p>

引導(dǎo)學(xué)生將文字語言轉(zhuǎn)化成圖形語言，盡量適當(dāng)?shù)漠媹D，方便由圖像觀察。發(fā)現(xiàn)為求△PAB得面積，要求AB距離，求點(diǎn)P到直線AB的距離，從而要求AB直線方程，而求△PMN的面積，需知道M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則需要求直線AP的方程和x=3聯(lián)立解方程，第二問經(jīng)過分析變成若干需要解決的簡單的問題。

列出等式·2·│u+v││3-u│，這個(gè)化簡過程對大部分學(xué)生（屬于C類學(xué)校）較困難，老師需要示范如何勇敢的嘗試，細(xì)心的化簡。

思路背景：正如波利亞在《怎樣解題》79頁所說：“可以說教學(xué)生解題也是一種意志的教育，學(xué)生要解決對他來說并不容易的題目，他要學(xué)會(huì)面對失敗鍥而不舍，重視小的進(jìn)步，靜候?qū)嵸|(zhì)性的念頭，當(dāng)這一念頭出現(xiàn)后全力以赴?！边@也是數(shù)學(xué)教育最重要的一點(diǎn)。

筆者講到這里就已經(jīng)用完賽時(shí)十五分鐘，說了下變式：如利用定義法、相關(guān)點(diǎn)法求點(diǎn)軌跡方程。獲得2016年廣州市“卡西歐杯”“講題比賽”二等獎(jiǎng)。

倘若繼續(xù)思考，據(jù)波利亞著名的“怎樣結(jié)題表”，解題過程分為弄清問題、擬定計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃和回顧4個(gè)階段。我們適時(shí)向?qū)W生提出這樣的問題與建議：你能否用別的方法導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果？你能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于其他的問題？

也許有的學(xué)生就會(huì)提供這種解法：│PA‖PB│sin∠APB=│PM‖PN│sin∠MPN（**）。而∠APB和∠MPN對頂角相等，化簡成，若仔細(xì)觀察圖形，過點(diǎn)M作直線平行于x軸，再過點(diǎn)A，P分別作這條直線的垂線交所作直線于D，E，△MAD相似于△MPE，，等式右邊同理。得即（3-u）2=│u2-1│，解得u=。這種方法思維量大，但是大大簡化了運(yùn)算的繁瑣。

這道比賽題目取自于教材，但作了創(chuàng)新，重點(diǎn)考查了學(xué)生對知識(shí)的遷移能力，邏輯思維能力及代數(shù)運(yùn)算能力和探究問題的能力，難度并不大，是一道難得的好題。通過這道經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的解決我們體會(huì)到數(shù)學(xué)問題解決就是主體創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，問題的解決是有價(jià)值的：可以使主體充分發(fā)揮自己的潛能，創(chuàng)造性地解決新情境下的問題；可以使主體在實(shí)際情境中獲取和構(gòu)造數(shù)學(xué)，而不是機(jī)械地去模仿；可以使主體體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思想方法，構(gòu)建屬于自己的數(shù)學(xué)觀念；可以激發(fā)主體的自主性心理特征，變得自尊、自信、自律和自我激勵(lì)，培養(yǎng)主體對數(shù)學(xué)的興趣?？梢?，數(shù)學(xué)問題的解決不僅僅局限于解答問題，而是一種全新的數(shù)學(xué)教育觀念。這與現(xiàn)在流行的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不謀而合。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不是指具體的知識(shí)與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力，可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力。核心素養(yǎng)基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的，具有綜合性、整體性和持久性。適逢廣東高考今年初次使用全國卷，數(shù)學(xué)考題命題相對創(chuàng)新，難度相對增大，老師應(yīng)該重視每一道數(shù)學(xué)題是如何被解出來的。講題時(shí)不僅僅講知識(shí)、方法，還要挖掘潛藏的能力、態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)解題的過程中逐步形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這種素養(yǎng)是適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，解決的也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問題，而是學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度看待問題，用數(shù)學(xué)的思維方法思考問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題。