當(dāng)心慣性思維在數(shù)學(xué)解題中的負(fù)效應(yīng)

屠廣平

[摘 要] 初中生在數(shù)學(xué)解題時(shí)常會(huì)出現(xiàn)生搬硬套、主觀臆測(cè)、思路單一、疏于反思等現(xiàn)象. 本文依據(jù)實(shí)例剖析這些現(xiàn)象與慣性思維的內(nèi)在聯(lián)系，旨在為消除和防范慣性思維在數(shù)學(xué)解題中的負(fù)效應(yīng)提供一點(diǎn)啟示.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題；慣性思維；負(fù)效應(yīng)

慣性思維對(duì)于數(shù)學(xué)解題既有正面效應(yīng)，也有負(fù)面效應(yīng)；既可能使解題者縮短對(duì)新問(wèn)題的探索過(guò)程，也可能誘導(dǎo)解題者步入誤區(qū). 從初中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐看，慣性思維對(duì)學(xué)生的負(fù)面影響比較明顯，致使學(xué)生常常陷入解題困境. 基于此，本文用實(shí)例揭示慣性思維的負(fù)效應(yīng)在數(shù)學(xué)解題中的主要表現(xiàn)，剖析成因，探討應(yīng)對(duì)策略，以供參考.

負(fù)效應(yīng)之一：生搬硬套，適得其反

初中生受知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等諸多因素的限制，在解題時(shí)往往會(huì)對(duì)教師所傳授的解題模式產(chǎn)生依賴(lài). 這種心理傾向會(huì)束縛學(xué)生的解題思維，養(yǎng)成機(jī)械模仿、生搬硬套的解題習(xí)慣.

實(shí)例 在學(xué)習(xí)解二元一次方程組的課堂上，教師給出如下練習(xí)題：

已知關(guān)于x，y的二元一次方程組x+y=6m，x-y=2m的解滿(mǎn)足3x+2y=16，求m的值.

學(xué)生根據(jù)本節(jié)課教師講解例題的解題方法，做出了正確解答：先解二元一次方程組，得到x=4m，y=2m，再將所得的解代入3x+2y=16，解得m=1.

為加深學(xué)生對(duì)二元一次方程組解法的理解，教師布置了相關(guān)課后習(xí)題，其中一題是：已知關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+y=3，2x-y=6的解滿(mǎn)足x-2y=3，求a的值.

分析 教師布置該習(xí)題的意圖是讓學(xué)生用本單元已經(jīng)學(xué)過(guò)的關(guān)于“同解問(wèn)題”的知識(shí)求解，其正確的解題思路應(yīng)該是：先把兩個(gè)不含字母a的方程組成新的方程組，即先解方程組x-2y=3，2x-y=6，解得x=3，y=0，再將所得的解代入ax+y=3中，解得a=1. 然而，有的學(xué)生一看到該課后習(xí)題與課堂上的例題和習(xí)題在形式上幾乎相同，便不假思索地照套不誤，原以為“一套就靈”，結(jié)果套出了問(wèn)題.

啟示 習(xí)慣“對(duì)題型，套解法”是初中生在解題時(shí)的“常見(jiàn)病”，如果不注意防治，就會(huì)嚴(yán)重阻礙學(xué)生思維的發(fā)展，影響學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí). 因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師傳授解題知識(shí)時(shí)應(yīng)注意調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)建構(gòu)的積極性，讓學(xué)生在參與中理清解題思路，領(lǐng)悟解題方法，做到既知其然，又知其所以然，由此加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，防范因循式解題思維的形成，克服“照樣畫(huà)葫蘆”的解題習(xí)慣.

負(fù)效應(yīng)之二：主觀臆測(cè)，疏漏頻出

由于學(xué)生只回答了a≠0的情況下函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，沒(méi)有回答a=0時(shí)函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，所以解題錯(cuò)誤.

啟示 著名數(shù)學(xué)家波利亞指出：在解題中最糟糕的情況是，學(xué)生并沒(méi)有理解問(wèn)題就進(jìn)行演算或作圖. 慣性思維誘導(dǎo)下的主觀臆測(cè)就會(huì)讓這種“最糟糕的情況”頻頻出現(xiàn). 因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，在擬定求解計(jì)劃前務(wù)必仔細(xì)解讀題目的表述，理解題意，弄清問(wèn)題，從而變“臆測(cè)”為“明察”，以阻斷解題知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的負(fù)遷移.

負(fù)效應(yīng)之三：思路單一，迷途難返

慣性思維會(huì)形成認(rèn)知的傾向性，導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)習(xí)慣于按固定的思維模式和解題方法去思考和解決問(wèn)題. 在解題受阻的情況下，學(xué)生會(huì)按照原來(lái)認(rèn)準(zhǔn)的路徑一個(gè)勁地往前闖，以致造成“鉆牛角尖”的情形.

實(shí)例 在一次測(cè)試中，試卷上有這樣一道題：如圖1，已知△ABC的內(nèi)角平分線(xiàn)BD和CE交于點(diǎn)F，∠BAC=60°，求證：EF=DF.

部分學(xué)生證明此題時(shí)是連接AF，試圖證明△AEF≌△ADF. 在發(fā)現(xiàn)連接AF無(wú)法證明時(shí)，學(xué)生依然想利用“三角形全等”對(duì)該題做出證明. 冥思苦想中又試畫(huà)了不少輔助線(xiàn)，但始終找不到出路，最后以失敗告終.

分析 “全等三角形的判定”是初中平面幾何教學(xué)中的重要內(nèi)容，其安排的教學(xué)時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，用三角形全等的方法去論證命題的訓(xùn)練也比較多. 這一過(guò)程，使學(xué)生產(chǎn)生凡碰到平面幾何證明題均用“三角形全等”去進(jìn)行論證的慣性思維. 因此，在解該試題時(shí)，學(xué)生雖屢屢碰壁，仍一意孤行，結(jié)果只能是“望題興嘆”. 其實(shí)，該題正確的解題思路不能用“三角形全等”，而應(yīng)該用“計(jì)算”的方法去求證，即先算出∠EFD=120°，然后求得∠EFD+∠BAC=180°，從而得到A，E，F(xiàn)，D四點(diǎn)共圓，接著由“在同圓或等圓中，等角所對(duì)的弦相等”得出EF=DF.

啟示 數(shù)學(xué)解題是一個(gè)復(fù)雜的思維過(guò)程，固定的思維、單一的思路很難解決千變?nèi)f化的問(wèn)題. 因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師應(yīng)采用一題多解、一題多變、一題多思等方法去拓展學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同側(cè)面、不同角度去尋找解題方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)想、學(xué)會(huì)求異、學(xué)會(huì)變通，從而擺脫慣性思維的束縛，促使問(wèn)題得到有效解決.

負(fù)效應(yīng)之四：疏于反思，一錯(cuò)再錯(cuò)

反思是思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力，是學(xué)生消除數(shù)學(xué)解題中各種困惑、提升數(shù)學(xué)解題能力的最佳途徑. 然而，深入到潛意識(shí)中的慣性思維會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生思維惰性. 對(duì)于數(shù)學(xué)解題中至關(guān)重要的反思活動(dòng)，學(xué)生會(huì)認(rèn)為這費(fèi)神費(fèi)腦而予以排斥. 但是，反思環(huán)節(jié)的缺失，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在解題時(shí)陷入一錯(cuò)再錯(cuò)的“泥沼”.

實(shí)例 學(xué)習(xí)“絕對(duì)值”這節(jié)課的內(nèi)容后，教師給出這樣一道練習(xí)題：已知a+1=2，求a的值.

部分學(xué)生的答案是a+1=2，解得a=1.

該答案忽略了a+1=-2的情況，出現(xiàn)了漏解.

對(duì)于這一錯(cuò)誤，教師應(yīng)組織學(xué)生討論，督促學(xué)生訂正，并反復(fù)強(qiáng)調(diào)：若兩數(shù)相等，則它們的絕對(duì)值相等；若兩數(shù)互為相反數(shù)，則它們的絕對(duì)值也相等. 還應(yīng)要求學(xué)生在課后認(rèn)真反思，務(wù)必認(rèn)清出錯(cuò)根源，防止同樣的錯(cuò)誤重復(fù)出現(xiàn).

然而，在單元測(cè)試中，當(dāng)遇到“已知a+2=2a-5，求a的值”這樣一道同類(lèi)題時(shí)，有的學(xué)生又習(xí)慣性地由a+2=2a-5得到a=7，遺忘了a+2=-（2a-5）的情況. 其出錯(cuò)的方式與上一題完全一樣.

分析 由于學(xué)習(xí)絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)時(shí)剛引入負(fù)數(shù)，所以學(xué)生對(duì)絕對(duì)值概念的理解很容易出現(xiàn)偏差，解題時(shí)往往會(huì)根據(jù)小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，習(xí)慣于正數(shù)的運(yùn)算而忽略負(fù)數(shù)的存在，由此導(dǎo)致解題出錯(cuò). 出錯(cuò)后，有的學(xué)生沒(méi)有認(rèn)真反思，結(jié)果在單元測(cè)試中碰到同類(lèi)題目時(shí)，被慣性思維再次引入解題誤區(qū).

啟示 學(xué)生在解題時(shí)出錯(cuò)很正常，但重復(fù)出錯(cuò)則是解題之大忌. 因此，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要對(duì)“慣性思維——思維惰性——疏于反思——一錯(cuò)再錯(cuò)”的軌跡有一個(gè)清醒的認(rèn)識(shí)，堅(jiān)持從培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)和反思能力入手，促使學(xué)生從疏于反思走向勤于反思，讓學(xué)生在自主反思中明白解題出錯(cuò)的根本原因，引起對(duì)慣性思維負(fù)效應(yīng)的警覺(jué)，跳出“做了錯(cuò)，錯(cuò)了改，改了還錯(cuò)”的解題怪圈，從而收獲“柳暗花明又一村”的喜悅.