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    如何引導(dǎo)初一學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)規(guī)律

    2016-05-14 12:41:39衛(wèi)拴科
    關(guān)鍵詞:初一途徑

    衛(wèi)拴科

    [摘 要] 學(xué)生升入初中之后,學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)態(tài)度都會(huì)發(fā)現(xiàn)很大的變化,學(xué)生與學(xué)生之間的差距更明顯,因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,需要探索數(shù)學(xué)規(guī)律,挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,然后綜合運(yùn)用,這樣,才能進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī).

    [關(guān)鍵詞] 初一;數(shù)學(xué)規(guī)律;途徑

    數(shù)學(xué)規(guī)律就是指數(shù)學(xué)元素(數(shù)與數(shù)、數(shù)與形、形與形等)之間的內(nèi)在聯(lián)系. 探索數(shù)學(xué)規(guī)律,就是探索數(shù)學(xué)各個(gè)元素之間的相互聯(lián)系. 布魯納說過:“探索是數(shù)學(xué)的生命線,沒有探索便沒有數(shù)學(xué)的發(fā)展. ”初一學(xué)生剛剛升入初中,對(duì)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律往往一頭霧水,如墜十里云霧之中,一臉迷茫,不知如何下手. 毛主席說:“入門既不難,深造也是辦得到的. ”那么,如何使學(xué)生入得其門呢?關(guān)鍵是教師要引導(dǎo)學(xué)生如何透過現(xiàn)象看本質(zhì),如何找到探究問題的切入點(diǎn),這才是至關(guān)重要的. 初一數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)規(guī)律問題雖說千變?nèi)f化,卻萬變不離其宗,還是有規(guī)律可循的. 事實(shí)上,探索數(shù)學(xué)規(guī)律就是對(duì)事物(數(shù)學(xué)元素之間)進(jìn)行一般化的表示. 也就是如何對(duì)事物的內(nèi)在聯(lián)系從具體和特殊入手,經(jīng)過觀察、類比、分析、歸納、猜想、驗(yàn)證的過程,再到抽象、一般的過程. 認(rèn)識(shí)到“普遍性”寓于“特殊性”之中,也就是尋找藏在“個(gè)性”當(dāng)中的“共性”. 沒有特殊性就沒有普遍性. 人的認(rèn)識(shí)過程往往要經(jīng)歷由特殊到一般,再由一般到特殊兩個(gè)階段,然后建立通式化的數(shù)學(xué)模型,這就要求教師要引導(dǎo)學(xué)生從觀察問題入手,觀察不同的數(shù)、形和前后左右的數(shù)、形之間有什么關(guān)聯(lián),經(jīng)過分析比較,在頭腦中有一個(gè)初步的猜想,再把它歸納概括和數(shù)學(xué)化,得出結(jié)論,然后驗(yàn)證結(jié)論的合理性,最后得出規(guī)律性的東西. 在這個(gè)過程中,觀察是先導(dǎo),切入是關(guān)鍵,發(fā)現(xiàn)是重點(diǎn),也是難點(diǎn),它是學(xué)生感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)的飛躍. 因此,在教學(xué)中,教師的作用就是引導(dǎo)學(xué)生從何處來切入,如何在山重水復(fù)無路之地找到柳暗花明的另一村.

    從圖形上觀察、比較、猜想,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

    觀察數(shù)學(xué)圖形可通過對(duì)數(shù)學(xué)圖形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分割,尋找圖形的上下、左右、內(nèi)外等之間的某種聯(lián)系,從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

    例如,觀察直角三角形的內(nèi)角和、銳角三角形的內(nèi)角和、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°(特殊圖形),從而猜想任意三角形(一般三角形)的內(nèi)角和也是180°. 然后通過把任意一個(gè)三角形的三個(gè)角剪下來拼在一起去驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論. 學(xué)生在實(shí)驗(yàn)當(dāng)中不知道應(yīng)該去觀察圖形的什么:是頂點(diǎn),是三邊關(guān)系,內(nèi)角和,外角和還是觀察其他的什么. 此時(shí)教師就要引導(dǎo)他們從三角形的內(nèi)角和去切入,去入手. 因?yàn)樵绞鞘煜さ臇|西,人們往往越熟視無睹. 然后,可以引導(dǎo)學(xué)生再由淺入深、由表及里地去觀察三角形的外角和,三邊之間的關(guān)系,三角形的內(nèi)心、外心、垂心、重心、旁心等,進(jìn)一步由此及彼對(duì)四邊形、五邊形等進(jìn)行觀察、分析、歸納. 這正像一位哲人說的,“這世界并不缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛. ”因此,教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探索數(shù)學(xué)規(guī)律的切入點(diǎn). 事實(shí)上,自然界有很多規(guī)律并不難發(fā)現(xiàn),而是難于不知從何處切入.

    從數(shù)的特點(diǎn)去切入,去發(fā)現(xiàn)

    數(shù)的前后左右上下內(nèi)外之間有時(shí)乍看無規(guī)律可循,但經(jīng)仔細(xì)觀察,看它們之間是否有奇偶關(guān)系、平方關(guān)系、立方關(guān)系、和差關(guān)系等,往往會(huì)靈機(jī)一動(dòng),靈感突至,有意想不到的收獲. 因此,對(duì)初一的學(xué)生來說,教師在引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律之前,平時(shí)要多注重學(xué)生對(duì)偶數(shù)(2n)、奇數(shù)(2n-1,2n+1)等一些特殊數(shù)的表示的知識(shí)積累和鋪墊,這樣才能不至于有“書到用時(shí)方恨少”的感嘆. 其次,教師還要引導(dǎo)和幫助學(xué)生分析給定的一列數(shù)是否是等差數(shù)列或等比數(shù)列. 再看分子、分母之間有什么關(guān)系,或分子與分子、分母與分母之間有什么關(guān)系,再進(jìn)一步看它們之間和序號(hào)有沒有平方、立方、和差關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系,這樣,復(fù)雜的問題也會(huì)變得輕而易舉和得心應(yīng)手.

    例1 觀察下面一系列等式,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?請(qǐng)用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律.

    32-12=8=8×1;

    52-32=16=8×2;

    72-52=24=8×3;

    92-72=32=8×4

    分析 經(jīng)過觀察不難發(fā)現(xiàn),等式的左邊是1,3,5,7,9…的平方,而左邊的底數(shù)1,3,5,7,9…是奇數(shù),此刻立即想到奇數(shù)可表示成2n-1,2n+1,又結(jié)合序號(hào),便想到等式的左邊可表示成:(2n+1)2-(2n-1)2. 等式右邊是8的1倍、2倍……,結(jié)合序號(hào),可寫成8n(n為自然數(shù)).

    例2 找出下面數(shù)列的規(guī)律,并填空.

    (1)2,7,12,17,______,…,______(第n個(gè)數(shù));

    (2)1,8,27,64,______,…,______(第n個(gè)數(shù)).

    分析 (1)中相鄰的兩個(gè)數(shù)都相差5,是一個(gè)等差數(shù)列,故第n個(gè)數(shù)就等于首項(xiàng)+5(n-1),即5n-3,這也是它的通項(xiàng).

    (2)中的數(shù)為1,8,27,64…因?yàn)?3=1,23=8,33=27,43=64,…由此可知下一個(gè)數(shù)是53,即125,自然,第n個(gè)數(shù)就是n3.

    通過列表,分析數(shù)據(jù)特點(diǎn)和聯(lián)系

    通過列表,把數(shù)據(jù)列出來,分析數(shù)據(jù)的特點(diǎn)(平方關(guān)系、立方關(guān)系等),再找出數(shù)據(jù)與序號(hào)之間存在著怎樣的關(guān)系,便可探究出這一類題的規(guī)律,收到觸類旁通的效果. 例如折紙、拉面問題等.

    例3 將一張長(zhǎng)方形的紙對(duì)折,可得到一條折痕,繼續(xù)對(duì)折,對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行. 連續(xù)對(duì)折6次后,可以得到幾條折痕?想象一下,如果對(duì)折10次,有多少條折痕?那么對(duì)折n次呢,會(huì)有多少條折痕?

    分析 因?yàn)閺牡诙握郫B起,每一次折痕的條數(shù)等于在保留前面折痕的條數(shù)的基礎(chǔ)上,再加上上一次新增的折痕條數(shù)的2倍,列表如表1.

    分析圖形關(guān)系,培養(yǎng)探究能力

    對(duì)于圖形問題,主要引導(dǎo)學(xué)生分析并尋找圖形中的包含關(guān)系、對(duì)稱關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系、遞增關(guān)系、衍生關(guān)系等,“快刀斬亂麻”,透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、探究能力.

    例4 圖1中的圖形是由邊長(zhǎng)為1的小正方形按照某種規(guī)律排列而成的.

    觀察圖形,填寫下表:

    分析 教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察這組圖形中的任意一個(gè)是以中間這一列長(zhǎng)方形(由小正方形構(gòu)成)為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形. 中間這一列長(zhǎng)方形中小正方形的個(gè)數(shù)是序號(hào)加1,即中間這一列有(n+1)個(gè)小正方形,中間這一列長(zhǎng)方形的每一邊(左、右)都有2n+1個(gè)小正方形,兩邊共有2(2n+1)個(gè)小正方形,因此圖中小正方形的總數(shù)是(n+1)+2(2n+1)=5n+3. 而圖形的周長(zhǎng)的計(jì)算方法則有多種. 這里只舉一種:圖形的周長(zhǎng)等于橫的正方形組成的這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)加上三個(gè)豎的長(zhǎng)方形(不包括已算過的橫的長(zhǎng)方形中的小正方形)的長(zhǎng)的6倍. 圖形中橫排長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2n+3,三個(gè)豎排長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為n,因此圖形的周長(zhǎng)就等于(2n+3+1)×2+6n=10n+8.

    例5 如圖2,圖①中互不重疊的三角形共有4個(gè);圖②中互不重疊的三角形共有7個(gè),圖③中互不重疊的三角形共有10個(gè),………則第n個(gè)圖形中,互不重疊的三角形共有______個(gè)(用含n的代數(shù)式表示).

    分析 在這個(gè)題中,教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察并發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形中最里面的一個(gè)三角形,在下一個(gè)圖形中又包含(3+1)個(gè)三角形,這樣不斷衍生下去,我們就不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律:

    運(yùn)用綜合分析的方法,幫助和引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律

    在圖形難以直觀和一目了然的情況下,我們要幫助學(xué)生另辟蹊徑,尋找探究數(shù)學(xué)規(guī)律的方法. 但這種綜合分析的方法對(duì)學(xué)生思維的要求較高,學(xué)生不易掌握. 但一經(jīng)掌握,便能左右逢源,使許多數(shù)學(xué)問題迎刃而解,這對(duì)學(xué)生來說獲益匪淺.

    例6 在同一平面內(nèi),3條直線兩兩相交,最多有3個(gè)交點(diǎn);那么4條直線兩兩相交,最多有______個(gè)交點(diǎn);8條直線兩兩相交,最多有______個(gè)交點(diǎn);n條直線兩兩相交,最多有______個(gè)交點(diǎn).

    總而言之,初一數(shù)學(xué)有關(guān)數(shù)學(xué)規(guī)律方面的問題林林總總、包羅萬象,教師要引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律,就必須首先幫助和引導(dǎo)學(xué)生尋找問題的切入點(diǎn),這是探究數(shù)學(xué)規(guī)律的突破口. 其次,教師要鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展有條理的思考. 只有這樣,才能使學(xué)生有的放矢,有章可循,便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)規(guī)律.

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