FI代數(shù)的模糊軟濾子

劉春輝

(赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024001)

?

FI代數(shù)的模糊軟濾子

劉春輝

(赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 內(nèi)蒙古 赤峰 024001)

摘要：將模糊軟集概念及其相關(guān)運算應(yīng)用于FI代數(shù)的濾子理論研究,引入FI代數(shù)的模糊軟濾子概念, 給出它的若干代數(shù)性質(zhì),定義FI代數(shù)間的模糊軟FI-同態(tài)(同構(gòu))概念,并證明FI代數(shù)的一個模糊軟濾子在模糊軟FI-同構(gòu)(同態(tài))下的像(原像)仍為模糊軟濾子.

關(guān)鍵詞：FI代數(shù); 模糊軟集; 模糊軟濾子; 模糊軟FI-同態(tài)(同構(gòu))

1預(yù)備知識

非經(jīng)典數(shù)理邏輯理論[1]的一個重要研究分支是對邏輯代數(shù)系統(tǒng)的研究.Fuzzy蘊涵代數(shù)(簡稱:FI代數(shù))是由我國學(xué)者吳望名于1990年提出的,它揭示了蘊涵算子的共同本質(zhì),是蘊涵連接詞的代數(shù)化[2].大部分著名的邏輯代數(shù)系統(tǒng)(如BL代數(shù)、MV代數(shù)、MTL代數(shù)、R0代數(shù)、格蘊涵代數(shù)等)都可以看成是FI代數(shù)的自然擴張,因此對FI代數(shù)性質(zhì)的研究具有廣泛而基本的重要意義.迄今為止,這方面已獲得很多有價值的研究成果[3-5].D. Molodtsov在文獻[6]中提出了軟集的概念,試圖從參數(shù)化的角度為不確定性問題的研究提供一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)框架.作為一種新的處理不確定性問題的數(shù)學(xué)工具,軟集理論與模糊集理論和粗糙集理論等具有很強的互補性,理論和應(yīng)用研究受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[7-12].將模糊集[13]與軟集相結(jié)合,P. K. Maji等在文獻[14]中提出了模糊軟集的概念并給出其若干運算性質(zhì).文獻[15-16]將模糊軟集的概念與群和環(huán)等抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)相結(jié)合,提出了模糊軟群和模糊軟環(huán)等概念并討論了它們的性質(zhì).文獻[17-18]又將模糊軟集概念與BCK/BCI代數(shù)和d-代數(shù)相結(jié)合提出并研究了模糊軟BCK/BCI代數(shù)、模糊軟d-代數(shù)及其模糊軟理想的性質(zhì)特征.這些研究工作一方面很好地促進了模糊軟集與代數(shù)結(jié)構(gòu)的相互融合,另一方面也豐富和完善了模糊軟集理論的研究內(nèi)容.

在上述研究工作的基礎(chǔ)上,本文將模糊軟集的概念與FI代數(shù)的模糊濾子概念相結(jié)合,提出了FI代數(shù)的模糊軟濾子概念并討論其性質(zhì),獲得了一些有意義的結(jié)果.

定義 1.1[2]稱(2,0)型代數(shù)(X,→,0)為Fuzzy蘊涵代數(shù),簡稱X為FI代數(shù),若?x,y,z∈X滿足:

(ⅰ)x→(y→z)=y→(x→z);

(ⅱ) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(ⅲ)x→x=1;

(ⅴ) 0→x=1,

其中1=0→0.

定義 1.2[2]設(shè)X、Y是2個FI代數(shù),f:X→Y是映射.若?x,y∈X,有f(x→y)=f(x)→f(y),則稱f為X到Y(jié)的FI-同態(tài).若FI-同態(tài)f是單射(滿射),則稱f為單FI-同態(tài)(滿FI-同態(tài)).若FI-同態(tài)f是雙射,則稱f為FI-同構(gòu).

注 1.1設(shè)X、Y是2個FI代數(shù),f為X到Y(jié)的FI-同態(tài),則f(1)=1.

定義 1.3[13]集合X上的一個模糊集指的是映射μ:X→[0,1].

定義 1.4[3]稱FI代數(shù)X上的模糊集μ為X的模糊濾子,如果?x,y∈X有μ(1)≥μ(x)且μ(y)≥min{μ(x),μ(x→y)}.

注 1.2易證,FI代數(shù)X的任一模糊濾子族的模糊交仍為X的模糊濾子.

定義 1.5[6]設(shè)U是一個集合,P(U)是U的冪集,E是一個參數(shù)集.A?E且F:A→P(U)是一個映射,稱二元組(F,A)為U上的一個軟集.

其中C=A∪B,且?e∈C,

其中C=A∩B≠?,且

2模糊軟濾子的定義及其代數(shù)性質(zhì)

例 2.1設(shè)X={c1,c2,c3,c4}={“白色”,“紅色”,“綠色”,“藍色”}表示4 種不同的顏色,在X上定義二元運算→如表1所示.

表 1　X上定義二元運算

證明由定義直接可得.

不是X的模糊濾子,這是因為

定理2.2～2.4推廣到X的任意多個模糊軟濾子的情形也成立,證明方法類似.

根據(jù)文獻[13],設(shè)μ1∈F(X)且μ2∈F(Y),則

3模糊軟濾子的模糊軟FI-同態(tài)像與原像

任取y∈Y,由f為FI-同構(gòu)知存在唯一的x∈X使得x∈f-1(y).注意到f(1)=1,對任意的?e′∈g(A)得

參考文獻

[1] 王國俊. 非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理[M]. 北京:科學(xué)出版社,2003.

[2] 吳望名. Fuzzy蘊涵代數(shù)[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),1990,4(1):56-64.

[3] 劉春輝,徐羅山. FI代數(shù)的多種Fuzzy濾子[J]. 模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2010,24(2):21-27.

[4] 裴道武,王三民,楊瑞. 模糊蘊涵格理論[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報,2011,26(3):343-354.

[5] 劉春輝. Fuzzy蘊涵代數(shù)的濾子理論[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2013,48(9):73-77.

[6] MOLEDTSOV D. Soft set theory-first results[J]. Comput Math Appl,1999,37(4/5):19-31.

[7] MAJI P K, BISWAS R, ROY A R. Soft set theory[J]. Comput Math Appl,2003,45:555-562.

[8] AKTAS H, CAGMAN N. Soft sets and soft groups[J]. Information Sciences,2007,177:2726-2735.

[9] FENG F, JUN Y B, ZHAO X Z. Soft semirings[J]. Comput Math Appl,2008,56:2621-2628.

[10] JUN Y B. Soft BCK/BCI-algebras[J]. Comput Math Appl,2008,56:1408-1413.

[11] 劉春輝. 濾子化軟FI代數(shù)[J]. 山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版),2012,47(11):94-98.

[12] 劉春輝. 軟FI代數(shù)及其軟MP濾子[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,36(6):851-855.

[13] ZADEH L A. Fuzzy sets[J]. Information Control,1965,8:338-353.

[14] MAJI P K, BISWAS R, ROY A R. Fuzzy soft sets[J]. J Fuzzy Math,2001,9(3):589-602.

[17] JUN Y B, LEE K J, PARK C H. Fuzzy soft sets theory applied to BCK/BCI-algebras[J]. Comput Math Appl,2009,57:367-378.

[18] JUN Y B, LEE K J, PARK C H. Fuzzy soft sets theory applied to ideals in d-algebras[J]. Comput Math Appl,2010,59:3180-3192.

2010 MSC：03G25; 03E72; 06B05; 06B10

(編輯鄭月蓉)

Fuzzy Soft Filters of FI-Algebras

LIU Chunhui

(DepartmentofMathematicsandStatistics,ChifengUniversity,Chifeng024001,InnerMongolia)

Abstract：In this paper, we study filter’s theory of FI-algebras by applying the concepts and its related operations of fuzzy soft sets. The notion of fuzzy soft filter of an FI-algebra is introduced. Some algebraic properties are discussed. The concept of fuzzy soft FI-homomorphism(isomorphism) between two FI-algebras are defined, it is proved that the fuzzy soft FI-isomorphic(homomorphic) image (and inverse image) of a fuzzy soft filter is also a fuzzy soft filter.

Key words：FI-algebra; fuzzy soft set; fuzzy soft filter; fuzzy soft FI-homomorphism

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.014

中圖分類號：O141.1; O153.1

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-8395(2016)01-0083-05

作者簡介：劉春輝(1982—),男,講師,主要從事數(shù)理邏輯、Domain理論與拓?fù)鋵W(xué)的研究,E-mail:chunhuiliu1982@163.com

基金項目：內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項目(NJSY14283)

收稿日期:2014-04-20