幾個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法在證明調(diào)和級(jí)數(shù)斂散性中的應(yīng)用

邵文凱（宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川　宜賓　644003）

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幾個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法在證明調(diào)和級(jí)數(shù)斂散性中的應(yīng)用

邵文凱
（宜賓職業(yè)技術(shù)學(xué)院,四川宜賓644003）

摘 要：本文從調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性質(zhì)最初的證明思想出發(fā)，介紹了調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性證明的發(fā)展歷程與多種證明思路。并利用了一些大學(xué)數(shù)學(xué)很難接觸到的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法給出調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的幾種罕見(jiàn)的證明方法，通過(guò)這些證明，使得對(duì)級(jí)數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究更有效。

關(guān)鍵詞：調(diào)和級(jí)數(shù)；發(fā)散；正項(xiàng)級(jí)數(shù)

1　調(diào)和級(jí)數(shù)的早期經(jīng)典證明

高等數(shù)學(xué)中我們熟知的調(diào)和級(jí)數(shù)

的發(fā)散性最早是由法國(guó)學(xué)者尼古拉奧雷姆（1323-1382）在極限概念被完全理解之前證明的。他的方法很簡(jiǎn)單：

注意后一個(gè)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)都不大于調(diào)和級(jí)數(shù)中相對(duì)應(yīng)的項(xiàng)，而且后面級(jí)數(shù)的括號(hào)中的數(shù)值和都為，這樣的一有無(wú)窮多個(gè)，所以后一個(gè)級(jí)數(shù)是趨向無(wú)窮大的，進(jìn)而調(diào)和級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。

后來(lái)，大數(shù)學(xué)家約翰伯努利也作出了經(jīng)典的證明。他的證明是以萊布尼茨的收斂級(jí)數(shù)為基礎(chǔ)的。令，他通過(guò)一系列演算得出A=A+1。顯然沒(méi)有一個(gè)有限數(shù)會(huì)大于等于自己，即A是無(wú)窮大，所以調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。伯努利作出這一論證之后的150年，才有真正的級(jí)數(shù)理論出現(xiàn)。

2　利用幾個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散

而今，隨著級(jí)數(shù)理論的不斷完善，我們可以應(yīng)用更多更精彩的方法證明調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性。下面我們主要利用了一些大學(xué)數(shù)學(xué)很難接觸到的正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法給出調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的幾種證明方法。

（1）利用積分判別法：設(shè)f為[1,+∞]上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑f(n)與反常積分同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。

（5）利用厄耳瑪可夫判別法：若f(x)為單調(diào)遞減的正值函數(shù)，且，則當(dāng)λ<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)λ>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散。

3　結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)然對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)的一般證明方法有很多，例如：利用歐拉常數(shù)，級(jí)數(shù)與廣義積分?jǐn)可⑿缘年P(guān)系，級(jí)數(shù)及數(shù)列斂散性的定義和性質(zhì)，級(jí)數(shù)斂散性的各種判別法，均值不等式等。在級(jí)數(shù)斂散性的討論中，調(diào)和級(jí)數(shù)的應(yīng)用很廣泛。了解這些證明方法，對(duì)級(jí)數(shù)斂散性的學(xué)習(xí)和研究是有益的，特別在其證明方面能起到舉一反三，融會(huì)貫通的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]張永利.對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)性態(tài)的研究[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005(08):16-17.

[3]張軍學(xué).關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的幾種證明方法[J].西安教育學(xué)院院報(bào),2001(09):31-40.

[4]黃永東.證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的7種方法[J].西北民族學(xué)院院報(bào),2001(03):1-3.

作者簡(jiǎn)介：邵文凱（1982-），甘肅天水人，講師，主要從事：數(shù)學(xué)教育。

DOI:10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.03.241