“任性”表達(dá)：兒童數(shù)學(xué)思維的理性觀照

【摘要】兒童天生是詩人和哲學(xué)家。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注兒童思考問題的視角及其對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的理解和表達(dá)方式，不必過分苛求他們對知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行完美的表述。兒童的“任性”表達(dá)作為其數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn)方式，充盈著智慧，彰顯著價(jià)值，閃耀著人性。

【關(guān)鍵詞】“任性”表達(dá)；數(shù)學(xué)思維；理性喚醒；理性構(gòu)建；理性自覺

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2016）06-0024-03

【作者簡介】張錦，江蘇省淮安市實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇淮安，223000），一級教師。

一、“任性”一些又何妨？

新課改以來，尤其是新課標(biāo)實(shí)施以來，人們越來越關(guān)注兒童的“學(xué)”，關(guān)注“以生為本”，關(guān)注兒童的長期可持續(xù)發(fā)展。但是，我們也應(yīng)該看到，在數(shù)學(xué)課堂上，兒童自由表達(dá)的時(shí)空仍然受到比較大的限制。

1.爭論不休的“規(guī)定”。每到備課季，教研組的老師們都會(huì)為“雞毛蒜皮”的細(xì)節(jié)爭得面紅耳赤。比如：“6∶05”究竟怎么讀？甲說：“嚴(yán)格按照教參，讀作‘6時(shí)零5分。”乙說：“為什么不能讀作‘6時(shí)過5分呢？”爭論不滅亦不休。

2.追求完美的“表達(dá)”。一教師執(zhí)教蘇教版五下《圓的認(rèn)識(shí)》，教到半徑、直徑等概念時(shí)，教師用手指著“圓上”，引導(dǎo)學(xué)生說：“這叫圓——”面對學(xué)生思維短路、表述不暢等情況，教師干脆打斷學(xué)生的回答，說：“這叫圓上，大家齊讀——經(jīng)過圓心，兩端都在圓上的線段……”

兒童與數(shù)學(xué)的相遇應(yīng)該是美好的。詞人納蘭性德描繪了“人生若只如初見”的意境，我們不妨將兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程視作他們與數(shù)學(xué)“初見”的過程。這樣說來，觀照當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生的表達(dá)“任性”一些又何妨？

二、數(shù)學(xué)課堂中“任性”表達(dá)的價(jià)值探尋

表達(dá)是將思維所得的成果用語言反映出來的一種行為。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者更愿意將“表達(dá)”理解為：數(shù)學(xué)思維成果以廣義的語言形式呈現(xiàn)出來。聚焦課堂，這種表達(dá)方式可能是口語式的、圖畫式的、操作式的……在表達(dá)前面冠以“任性”二字，并非簡單地附庸時(shí)尚，而是從兒童和學(xué)科的角度，還原他們學(xué)習(xí)的真實(shí)狀態(tài)。

1.尊重人性：關(guān)于本原，關(guān)于未來，關(guān)于價(jià)值觀照的哲學(xué)視角。周國平曾說過：“孩子天生是詩人和哲學(xué)家?！蓖晔且粋€(gè)獨(dú)特的生命階段，每個(gè)兒童都是一個(gè)完整的生命個(gè)體，有自己的哲學(xué)?；趦和叭涡浴北磉_(dá)的數(shù)學(xué)課堂，教師理應(yīng)對兒童抱有敬畏之心、謙遜之心，精心呵護(hù)他們的發(fā)現(xiàn)、表達(dá)和成長。

2.順應(yīng)天性：關(guān)于成長，關(guān)于生命，關(guān)于理性彰顯的審美意蘊(yùn)。尼采說：“只有作為審美現(xiàn)象，人世的生存才有充足的理由?！弊兎忾]、被動(dòng)、個(gè)體、靜態(tài)的表達(dá)為開放、主動(dòng)、集體、動(dòng)態(tài)的表達(dá)，就是基于兒童生命發(fā)展的教學(xué)訴求。教師應(yīng)注意賦予課堂“任性”表達(dá)的時(shí)空，為兒童的精彩成長提供可能。

3.彰顯個(gè)性：關(guān)于自主，關(guān)于思考，關(guān)于素養(yǎng)提升的教育詮釋?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。兒童的“任性”表達(dá)在一定程度上是基于自主建構(gòu)和個(gè)性思考的，這種思考可能是靈光一現(xiàn)的，也可能是經(jīng)過深思熟慮的。在數(shù)學(xué)表達(dá)的過程中，學(xué)生借助抽象和半抽象的圖像、符號(hào)等載體，完成一次次“破繭飛翔”的思維之旅。

三、數(shù)學(xué)課堂中“任性”表達(dá)的實(shí)踐策略

（一）基于“任性”表達(dá)：指向兒童數(shù)學(xué)思維的理性喚醒

1.沿著“精神實(shí)體”的目標(biāo)展開——“是什么”“為什么”“怎么樣”。

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾指出：數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)一個(gè)叫精神實(shí)體，一個(gè)叫實(shí)體。實(shí)體解決的是“是什么”的問題，精神實(shí)體則沿著“為什么”“怎么樣”的路徑展開。例如：蘇教版二下《有余數(shù)的除法》一課的教學(xué)重點(diǎn)，是研究除數(shù)和余數(shù)的關(guān)系，我設(shè)計(jì)了如下學(xué)習(xí)單：

表格承前啟后，及時(shí)鞏固例1，又為例2做好了準(zhǔn)備。在教學(xué)例2時(shí)，通過操作9—15根小棒研究除數(shù)和余數(shù)的關(guān)系，板書則借鑒了教材的樣式。

學(xué)生的“任性”表達(dá)由此開始。（1）爭執(zhí)階段——“是什么”：在說12的余數(shù)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了0和4的爭執(zhí)，討論后一致認(rèn)為余數(shù)是0（更準(zhǔn)確地說，是沒有余數(shù)）；（2）延伸階段——“怎么樣”：16根，余數(shù)是多少呢？（3）發(fā)現(xiàn)階段——“為什么”：余數(shù)會(huì)是5、8、9嗎？會(huì)是4嗎？3呢？余數(shù)可能和誰有關(guān)呢？有什么關(guān)系？有的學(xué)生說“余數(shù)不能比4大”，有的學(xué)生說“余數(shù)要比4小”，還有的學(xué)生說“除數(shù)是4，余數(shù)就固定了”……

2.基于“樸素理解”的形式推進(jìn)——“從哪里來”“到哪里去”。

北京教育學(xué)院劉加霞教授說：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該行走在‘樸素理解和‘形式化之間。”在數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于樸素理解的表達(dá)應(yīng)帶有兒童特質(zhì)，但又不能讓其失去數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)。例如：教學(xué)蘇教版三上《分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)》時(shí)，我們可以讓學(xué)生自主理解“二分之一”，借助餅形圖、線段圖、實(shí)物圖等表征方式，最終指向分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義。教師應(yīng)注意讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，既要感受到知識(shí)“從哪里來”，又要知曉“到哪里去”，順著這樣的思路延伸，構(gòu)建理性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活將成為貫穿課堂的主線，兒童的數(shù)學(xué)思維將得到發(fā)展。

（二）延伸“任性”表達(dá)：指向兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理性建構(gòu)

1.建立兒童認(rèn)知與學(xué)科體系的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的哲學(xué)意蘊(yùn)。

皮亞杰說：“兒童的數(shù)概念不是成人能直接教會(huì)的?！眱和袝r(shí)會(huì)有這樣一種感覺：老師講的不是我們需要的，我們需要的老師都沒講。在兒童的認(rèn)知與學(xué)科體系之間，往往存在著斷層或鴻溝。教師應(yīng)注意挖掘并延伸兒童“任性”表達(dá)的資源及其價(jià)值，幫助他們有效建構(gòu)認(rèn)知體系。例如：教材在編排蘇教版六上《百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)》時(shí)，從投籃比賽引入，“巧合”的是，這幾個(gè)分?jǐn)?shù)的分母分別是5、20、25，化成分母是100的分?jǐn)?shù)后就變成百分?jǐn)?shù)了。一個(gè)學(xué)生追問：“萬一分母不是5、10、25這樣的數(shù)，百分?jǐn)?shù)還能這樣變過來嗎？”順著這個(gè)追問往下走，很快就能接近百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)了。

2.建立學(xué)習(xí)直覺與數(shù)學(xué)理性的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的審美意蘊(yùn)。

兒童的“任性”表達(dá)往往包含著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直覺。美國數(shù)學(xué)家?guī)炖手赋觯褐庇X，這種難以捉摸、充滿活力的力量，始終在創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)中起作用，甚至推動(dòng)和引導(dǎo)最抽象的思維過程。例如：蘇教版二下“兩、三位數(shù)的加法和減法”單元有這樣一道例題：車上原來有34人，到站后有15人下車，又有18人上車，離站時(shí)車上有多少人？學(xué)生列出了算式，分別是：（1）34-15+18=37（人）；（2）34-15=19（人），19+18=37（人）；（3）34+18-15=37（人）；（4）18-15=3（人），34+3=37（人）。對于第四種算式，學(xué)生解釋：15人下車，位置空出來，18人中有15個(gè)人補(bǔ)坐上去，還剩下3人，也就相當(dāng)于多了3人。學(xué)生一個(gè)簡單的比方、一種形象的表達(dá)，也許強(qiáng)過教師的百般引導(dǎo)，這其中，學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方式是需要教師倍加珍視的。

3.建立數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與核心知識(shí)的聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教育意蘊(yùn)。

數(shù)學(xué)教育家波利亞發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)有兩個(gè)方面：用歐幾里得方式提出的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)是實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。鼓勵(lì)兒童“任性”表達(dá)的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)以“核心知識(shí)”為主線，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中讓學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生。例如：教學(xué)蘇教版二下“近似數(shù)”，借助數(shù)軸，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，越往左邊越接近500，越往右邊越接近600，這些數(shù)都以一個(gè)數(shù)為界限，那就是550。李同學(xué)突然提問：“為什么要把550作為分界線，而不是其他數(shù)呢？”一石激起千層浪：“5000約等于幾千？”有的學(xué)生說：“5000≈6000?！贝蠹荫R上否定：“5000怎么會(huì)約等于6000呢？”有學(xué)生說：“5000有近似數(shù)嗎？”在美妙的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中，學(xué)生又初步表達(dá)了對使用“近似數(shù)”的感覺：“買東西大概需要多少錢”“旅游的時(shí)候大約走了多少千米”等都會(huì)用到。將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與核心知識(shí)聯(lián)系起來，富有趣味和意義。

（三）提升“任性”表達(dá)：指向兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理性自覺

1.讓“任性”表達(dá)與數(shù)學(xué)語言有效接軌，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維。

北京師范大學(xué)石中英教授在《教育哲學(xué)導(dǎo)論》一書中闡釋：“人的發(fā)展，就其根源來說，不是一個(gè)外在的規(guī)則或控制過程，而是一個(gè)內(nèi)在的覺醒或成長過程?！痹谀撤N意義上，學(xué)生的“任性”表達(dá)與其思維發(fā)展水平有著不可分割的關(guān)系。在教學(xué)中，教師應(yīng)巧妙地將兒童形象化的、事例化的表達(dá)與數(shù)學(xué)語言接軌，哪怕是隱性接軌也是非常有必要的。例如：蘇教版二下“角的初步認(rèn)識(shí)”單元有一道關(guān)于“用一副三角尺拼出不同的角”的思考題。有的學(xué)生將“拼”理解為“兩個(gè)三角尺的疊加”，有的學(xué)生“拼”出了符合要求的角卻答非所問。教師引導(dǎo)學(xué)生將他們的錯(cuò)誤理解各個(gè)擊破后，學(xué)生很容易就理解了“拼”就是“頂點(diǎn)重合，一條邊重合”。引領(lǐng)兒童轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言的過程，也是幫助他們轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)思維的過程。

2.讓“任性”表達(dá)與數(shù)學(xué)理解巧妙聯(lián)通，實(shí)現(xiàn)思維數(shù)學(xué)化。

兒童的“任性”表達(dá)是基于數(shù)學(xué)素材，通過數(shù)學(xué)思考，指向數(shù)學(xué)思維的過程。教師應(yīng)注意借助對比、推理、猜想、驗(yàn)證等方法，將兒童的思維表達(dá)與數(shù)學(xué)思考巧妙連接。例如：教學(xué)蘇教版二下“有余數(shù)的除法應(yīng)用題”，我對教材進(jìn)行整合，呈現(xiàn)了兩道對比題：（1）10個(gè)磁性圓片，每人4個(gè)，最多可以分給幾個(gè)人？（2）10個(gè)磁性圓片，每個(gè)袋子裝4個(gè)，需要準(zhǔn)備幾個(gè)袋子？對比之后，學(xué)生各抒己見：“人家會(huì)不高興的，袋子還需要準(zhǔn)備一個(gè)”“你買了10個(gè)蘋果，還剩下2個(gè)不能不拿就走，還需要一個(gè)袋子裝走”……對比中透露出學(xué)生數(shù)學(xué)思考的力量，初步的思維模型也在他們頭腦中浮現(xiàn)。

3.讓“任性”表達(dá)與數(shù)學(xué)思考高效契合，促進(jìn)思維自覺化。

在課堂的互動(dòng)環(huán)境中，在表達(dá)與思考之間建立起聯(lián)系，促進(jìn)個(gè)體自主建構(gòu)，可行而且有必要。例如：蘇教版二下“兩、三位數(shù)的加法和減法”單元有這樣一道思考題：趙強(qiáng)家養(yǎng)的雞比鴨多30只，后來又買來30只雞和45只鴨?，F(xiàn)在是雞多還是鴨多，多多少只？教學(xué)用書提供了兩種思路：一種是補(bǔ)差法，一種是假設(shè)法。小王同學(xué)假設(shè)鴨有0只，雞有30只。圍繞假設(shè)，學(xué)生的思考高度展開。教師問：“可以設(shè)30和60嗎？”學(xué)生認(rèn)為可以，還可以設(shè)15和45，還有人說設(shè)1030和1060，在對假設(shè)的數(shù)據(jù)進(jìn)行遴選時(shí)，學(xué)生進(jìn)行了優(yōu)化。有的學(xué)生還說“假設(shè)雞比鴨多25只”，被直接否定：“題目里說的是多30只，條件不可以改變。”學(xué)生辯解：“0和30題目里也沒有啊?！贝蠹艺J(rèn)為：就是因?yàn)闆]有才去假設(shè)，但不能改變題目的意思。通過幾輪思考，學(xué)生的表達(dá)層層深入，思維也變得敞亮起來。

“不忘初心，方得始終?！苯處煈?yīng)悉心呵護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“初心”，讓數(shù)學(xué)思維在學(xué)生“任性”表達(dá)的過程中逐漸被喚醒，讓學(xué)生“詩意地棲居”，綻放“活潑潑的生命”，那將是一種美妙的向往和追求！

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注：本文獲2015年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎(jiǎng)，有刪改。