基于Copula函數(shù)的航班延誤相關(guān)性分析*

邱樹(shù)萍　吳薇薇　侯美麗

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院　南京　210016)

基于Copula函數(shù)的航班延誤相關(guān)性分析*

邱樹(shù)萍吳薇薇侯美麗

(南京航空航天大學(xué)民航學(xué)院南京210016)

摘要：不同因素引起的航班延誤產(chǎn)生的波及影響是不同的.運(yùn)用Copula理論研究了由空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`引發(fā)的連續(xù)航班延誤之間的相關(guān)性，并進(jìn)一步分析了初始延誤對(duì)次航班的波及效應(yīng).研究發(fā)現(xiàn)兩航班延誤時(shí)間都較長(zhǎng)的組合數(shù)對(duì)出現(xiàn)的頻率較高；初始延誤對(duì)次航班的波及影響跟初始延誤時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān).隨著初始延誤時(shí)間的增長(zhǎng)，對(duì)次航班波及影響表現(xiàn)為吸收的可能性增加，延誤傳遞和增強(qiáng)的可能性下降.

關(guān)鍵詞：航空運(yùn)輸；相關(guān)性；Copula理論；航班延誤；波及效應(yīng)；尾部相關(guān)

邱樹(shù)萍(1989- ):女，碩士生，主要研究領(lǐng)域?yàn)榻煌ㄟ\(yùn)輸系統(tǒng)優(yōu)化

0引言

由于航班之間存在飛行器、機(jī)組及服務(wù)人員等資源共享，同時(shí)航空公司在安排運(yùn)行計(jì)劃時(shí)，考慮到運(yùn)行成本最小化和資源利用最大化目標(biāo)，一旦某個(gè)航班遭受延誤很大程度上會(huì)影響后續(xù)航班的正常運(yùn)行，即形成延誤波及效應(yīng).國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者運(yùn)用多種不同的方法進(jìn)行了研究.如文獻(xiàn)[1]通過(guò)構(gòu)造貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型探討了國(guó)內(nèi)某樞紐機(jī)場(chǎng)進(jìn)港航班延誤和航班取消對(duì)離港航班延誤的影響.文獻(xiàn)[2]提出了用構(gòu)造航班延誤波及樹(shù)的方法，清晰的展現(xiàn)了根節(jié)點(diǎn)延誤通過(guò)機(jī)組和飛機(jī)資源在網(wǎng)絡(luò)中傳播的過(guò)程.文獻(xiàn)[3]提出了延誤加法器的概念用于評(píng)估延誤的累計(jì)，引入了延誤累積(delay multiplier，DM)指標(biāo)評(píng)估初始延誤造成的總延誤影響.這些文獻(xiàn)針對(duì)航班延誤對(duì)后續(xù)航班的波及影響運(yùn)用了不同的方法，主要是從飛行資源、進(jìn)離港延誤角度進(jìn)行研究，但都未涉及對(duì)初始延誤引發(fā)的連續(xù)航班延誤之間的相關(guān)性進(jìn)行分析.文獻(xiàn)[4]研究了邊緣分布均為非正態(tài)分布的輪擋延誤和登機(jī)門(mén)到達(dá)延誤之間的相關(guān)性，采用了在金融風(fēng)險(xiǎn)建模、經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的一種方法——Copula函數(shù).Copula函數(shù)是一種靈活穩(wěn)健的相關(guān)性分析工具，尤其體現(xiàn)在研究隨機(jī)變量間的相關(guān)關(guān)系上.如文獻(xiàn)[5]引入Copula函數(shù)來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)方法估計(jì)VaR使得度量的相關(guān)性不再局限于線(xiàn)性相關(guān)性.文獻(xiàn)[6]運(yùn)用混合Copula函數(shù)對(duì)上海、深圳股票市場(chǎng)進(jìn)行了相關(guān)分析研究，其結(jié)果體現(xiàn)了混合Copula函數(shù)的靈活性.

本文利用Copula函數(shù)建立2連續(xù)航班延誤的聯(lián)合分布，借助建立的聯(lián)合分布函數(shù)計(jì)算2連續(xù)航班延誤分別落在不同區(qū)間的條件概率，由此進(jìn)一步分析由空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`對(duì)后續(xù)航班的波及影響——吸收、傳遞或增強(qiáng).

1研究方法

1.1Copula理論

Copula的研究最早源于Sklar，Copula一詞原意是交換、連接的意思.Nelse對(duì)Copula函數(shù)做了嚴(yán)格的定義，Copula函數(shù)是把隨機(jī)變量ξ1,ξ2,…,ξn的聯(lián)合分布函數(shù)F(x1,x2,…,xn)與各自的邊緣分布函數(shù)Fξ1(x1),Fξ2(x2),…,Fξn(xn)相連接的連接函數(shù)，即函數(shù)C(u1,u2,…,un)，使

(1)

與傳統(tǒng)的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)相比，Copula模型不限制邊緣分布的選擇，且當(dāng)對(duì)變量作單調(diào)增變換時(shí)，由Copula函數(shù)導(dǎo)出的一致性和相關(guān)測(cè)度的值不會(huì)改變，因此使用Copula函數(shù)進(jìn)行建模將變得更加靈活.常用的Copula函數(shù)有二元正態(tài)Copula函數(shù)、二元t-Copula函數(shù)、Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù).它們的密度函數(shù)都有各自的分布特征能刻畫(huà)不同的隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系.

1.2Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，Kendall相關(guān)系數(shù)是一個(gè)基于非參數(shù)檢驗(yàn)方法得到的相關(guān)性統(tǒng)計(jì)量.設(shè)(x1,y1),(x2,y2)為獨(dú)立同分布的向量，則Kendall相關(guān)系數(shù)為

(2)

式中：P[(x1-x2)(y1-y2)>0]為x與y的變化一致的概率，因此τ反映了x與y變化一致與否的程度.本文主要應(yīng)用Kendall的τ與Copula函數(shù)關(guān)系進(jìn)行相關(guān)參數(shù)計(jì)算，Kendall的τ與Copula函數(shù)之間的關(guān)系為[7]

(3)

2實(shí)例分析

2.1確定邊緣分布函數(shù)

本文采用的研究數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)內(nèi)某航空公司提供的若干個(gè)月的航班延誤數(shù)據(jù)，包含了736對(duì)基于航班串的由空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`引發(fā)的連續(xù)航班.航班延誤數(shù)據(jù)均來(lái)自到達(dá)延誤，如圖1所示航班A和航班B由同架飛機(jī)執(zhí)行，航班A到達(dá)機(jī)場(chǎng)b時(shí)延誤(延誤由空中管制原因?qū)е?，航班B受航班A波及影響到達(dá)機(jī)場(chǎng)c時(shí)延誤，需要說(shuō)明的是航班A不一定是飛機(jī)執(zhí)行的第一個(gè)航班，而是航班串中首個(gè)遭受延誤的航班.將2航班延誤作為隨機(jī)變量，采用正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布、伽馬分布這4種連續(xù)變量概率分布函數(shù)對(duì)2個(gè)隨機(jī)變量的服從的邊緣分布函數(shù)進(jìn)行分析.運(yùn)用極大似然估計(jì)對(duì)連續(xù)概率分布函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并通過(guò)Cramer-von Mises檢驗(yàn)方法對(duì)2連續(xù)航班延誤隨機(jī)變量進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，以確定最優(yōu)概率分布函數(shù).根據(jù)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果選擇樣本A和樣本B最優(yōu)邊緣分布均為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，相應(yīng)參數(shù)和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見(jiàn)表1.

圖1　航班執(zhí)行示意圖

樣本概率分布均值/比例參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)偏差/形狀參數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W2ALognormal3.800.490.63BLognormal3.890.520.14

2.2Copula函數(shù)的參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)

利用SAS軟件計(jì)算兩個(gè)變量的秩相關(guān)系數(shù)τ=0.252 9.通過(guò)秩相關(guān)系數(shù)τ與Copula函數(shù)的關(guān)系式計(jì)算出各Copula函數(shù)的參數(shù)θ，然后計(jì)算五種Copula函數(shù)與經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)的平方歐式距離d2作為檢驗(yàn)其擬合優(yōu)度的標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)果見(jiàn)表2.根據(jù)擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)指標(biāo)，選擇d2值最小的為最優(yōu)擬合Copula函數(shù).結(jié)果顯示Gumbel Copula函數(shù)為最優(yōu)擬合Copula函數(shù).

表2　5種Copula函數(shù)的參數(shù)及擬合評(píng)價(jià)指標(biāo)

圖2　Gumbel Copula密度函數(shù)圖

圖3　Gumbel Copula等高線(xiàn)圖

圖2和圖3分別為為Gumbel Copula密度函數(shù)圖和等高線(xiàn)圖，二元Gumbel Copula的密度函數(shù)具有不對(duì)稱(chēng)的尾部，對(duì)變量在分布的上尾的變化較敏感，能很好的捕捉到上尾相關(guān)的變化.從圖2和圖3中可以看出，2連續(xù)航班延誤之間存在上尾部相關(guān)性，即2航班延誤時(shí)間都較長(zhǎng)的組合數(shù)對(duì)出現(xiàn)的頻率較高.通過(guò)尾部相關(guān)系數(shù)可以分析極值事件發(fā)生的頻率.尾部相關(guān)性是一種極值相關(guān)性的度量，即當(dāng)一個(gè)觀測(cè)變量的出現(xiàn)值為極值時(shí)，另一個(gè)也出現(xiàn)極值的概率.Gumbel Copula函數(shù)上尾部相關(guān)系數(shù)與參數(shù)θ的關(guān)系為λup=2-21/θ，由θ=1.321 7得上尾相關(guān)系數(shù)λup=0.31，下尾部相關(guān)系數(shù)為0說(shuō)明分布在尾部變量間是漸近獨(dú)立的.

2.3條件概率分布

計(jì)算條件概率P(y1

從表3中縱向比較來(lái)看，當(dāng)A航班延誤落在某個(gè)區(qū)間時(shí)，B航班延誤落在比A航班延誤小的區(qū)間的概率要大于落在比A航班延誤大的區(qū)間的概率.由此說(shuō)明由空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`對(duì)次航班延誤的波及影響表現(xiàn)為吸收的可能性要大.從橫向與縱向的對(duì)稱(chēng)位置上進(jìn)行比較，如P(45

表3　A航班延誤與B航班延誤條件概率

圖4 為初始延誤對(duì)次航班波及影響表現(xiàn)為吸收、傳遞或增強(qiáng)所占比例的柱狀圖分析.由圖4可見(jiàn)，初始延誤對(duì)次航班波及影響表現(xiàn)為吸收的可能性成增長(zhǎng)趨勢(shì)，初始延誤時(shí)間大于105 min時(shí)這種增長(zhǎng)趨于平穩(wěn)；對(duì)次航班波及影響表現(xiàn)為傳遞和增強(qiáng)的可能性均成下降趨勢(shì)，這種下降趨勢(shì)最終也趨于平穩(wěn).當(dāng)初始延誤時(shí)間大于75 min時(shí)對(duì)次航班的波及影響主要表現(xiàn)為吸收，所占比例在70%左右；初始延誤時(shí)間在15 min和45 min之間時(shí)延誤60%的可能性傳遞，接近40%的可能性增強(qiáng).

圖4　初始延誤對(duì)次航班波及影響

通過(guò)以上分析發(fā)現(xiàn)由空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`引發(fā)的連續(xù)航班延誤之間的相依關(guān)系表現(xiàn)為上尾高下尾低，上尾相關(guān)系數(shù)為0.31；由空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`對(duì)次航班波及影響跟初始延誤時(shí)間的長(zhǎng)短有關(guān).初始延誤時(shí)間長(zhǎng)短不同次航班表現(xiàn)為吸收、傳遞或增強(qiáng)的可能性不同；隨著初始延誤時(shí)間的增長(zhǎng)，對(duì)次航班波及影響表現(xiàn)為吸收的可能性增加，延誤傳遞和增強(qiáng)的可能性下降.

3結(jié)束語(yǔ)

航班計(jì)劃執(zhí)行過(guò)程中隨時(shí)都有可能遭受到隨機(jī)因素的擾動(dòng)影響，航班計(jì)劃安排的越緊湊延誤在航線(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中造成的波及影響范圍越大.本文利用Copula函數(shù)構(gòu)建了由空中管制造成的初始延誤和受此航班延誤波及的次航班延誤之間的聯(lián)合分布，分析了兩連續(xù)航班延誤之間的相依關(guān)系和延誤時(shí)間分別落在不同區(qū)間上的條件概率.結(jié)果表明航班延誤沿飛機(jī)路線(xiàn)向下游航班傳播的概率大小跟初始延誤的時(shí)間長(zhǎng)短有很大關(guān)系.

Copula函數(shù)是研究隨機(jī)變量間的相關(guān)性分析工具，對(duì)小樣本數(shù)據(jù)的擬合效果比較好.本文基于Copula函數(shù)對(duì)由空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`及受波及的次航班延誤影響的非線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系充分揭示出來(lái)，并充分利用Gumbel Copula分布函數(shù)特征分析了因空中管制原因?qū)е碌某跏佳诱`時(shí)間的不同而對(duì)次航班帶來(lái)不同的航班延誤波及影響.研究存在的不足之處在于只考慮了空中管制對(duì)后續(xù)航班的影響，沒(méi)有考慮其它延誤因素的影響作用，今后研究重點(diǎn)將放在多因素對(duì)航班延誤波及的影響.

參 考 文 獻(xiàn)

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中圖法分類(lèi)號(hào)：[U8]

doi:10.3963/j.issn.2095-3844.2015.01.027

收稿日期：2014-11-10

Correlation Analysis of Flight Delay Based on Copula Function

QIU ShupingWU WeiweiHOU Meili

(SchoolofCivilAviation,NanjingUniversityof

AeronauticsandAstronautics,Nanjing210016,China)

Abstract：Different flight delays caused by different factors will produce different results and propagations. Copula theory is introduced to study correlation between the sequence flight delays which caused by the initial delay for air traffic control and further analysis of propagation effects on following flight caused by initial delay flight is presented. It is found that the appearance frequency of assorted pairs is higher, and the assorted pairs belong to two flights delay with longer time; The initial delay propagation effects on the following flight is related to the time of initial delay. Results demonstrate that with the increase of initial delay time, the possibility of absorption of following flight in propagation effects is increased and the possibility of propagation and enhancement of delay is reduced.

Key words：air transportation；correlation；Copula theory；flight delays；propagation effects；tail dependence

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：71201081；71171111)、中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)科研項(xiàng)目(批準(zhǔn)號(hào)：NO.NC2012005)資助