一類函數(shù)零點問題的推廣

鄭華盛

(南昌航空大學數(shù)學與信息科學學院，南昌330063)

一類函數(shù)零點問題的推廣

鄭華盛

(南昌航空大學數(shù)學與信息科學學院，南昌330063)

[摘要]通過對幾道關(guān)于函數(shù)在滿足一類特定的積分等式條件下的零點存在性典型證明題進行觀察和深入地分析，提出了一類具有普適性的命題，并給予證明和推廣.

[關(guān)鍵詞]函數(shù)零點; 函數(shù)線性無關(guān); 定積分; 等式; 推廣

有關(guān)函數(shù)的零點存在性問題是微積分學中的一類值得探究的問題.文[1-6]中分別給出了幾道滿足一類特定積分等式條件的函數(shù)零點存在性的典型證明題：

(i) 設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2∈(a，b)，使

f(ξ1)=f(ξ2)=0，

即f(x)在(a，b)內(nèi)至少有兩個零點.

(ii) 設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明f(x)在(a，b)內(nèi)至少有兩個零點.

(iii) 設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且

證明在(0，π)內(nèi)至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(iv) 設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，g(x)在[a，b]上有一階連續(xù)導數(shù)，且g′(x)≠0，

證明至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2∈(a，b)，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(v) 設(shè)函數(shù)f(x)在[0，π]上連續(xù)，且

證明在(0，π)內(nèi)至少存在兩個不同的點ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.

(vi) 設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明f(x)在(a，b)內(nèi)至少有n+1個零點.

(vii) 設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且

證明f(x)在(a，b)內(nèi)有無窮多個零點.

那么，能否由上述幾個證明題得到一般性的結(jié)論？

1預備知識

下面，先給出函數(shù)線性無關(guān)的定義：

定義1[7]設(shè)有定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)fi(x) (i=1，2，…，n)，若存在n個不全為零的常數(shù)ki(i=1，2，…，n)，使得當x∈I時

恒成立，則稱n個函數(shù)f1(x)，f2(x)，…，fn(x)在區(qū)間I上線性相關(guān)；否則稱為線性無關(guān).

通過對上述幾個實例的觀察，注意到它們的被積函數(shù)中所含1，x及1，ex在(a，b)上是線性無關(guān)的，1，cosx及sinx，cosx在(0，π)上是線性無關(guān)的，1，x，x2，…，xn在(a，b)上是線性無關(guān)的. 能否以此為主線，歸納出一般性命題？ 經(jīng)過對上述幾個實例證明思想的深入分析，得到以下幾個一般性命題.

2主要結(jié)論

命題1設(shè)函數(shù)f(x)，g1(x)在[a，b]上連續(xù)，g1(x)≠0(?x∈(a，b))，且

則f(x)在(a，b)內(nèi)至少有一個零點.

證(反證法)假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)無零點，則?x∈(a，b)，f(x)恒大于0或恒小于0.又由已知g1(x)≠0(?x∈(a，b))及g1(x)的連續(xù)性，必有g(shù)1(x)恒大于0或恒小于0，于是f(x)·g1(x)恒大于0或恒小于0，從而

參加實驗的孩子18歲時，Walter Mischel做了跟蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn)那些等待時間長的孩子，學業(yè)成功率明顯超過等待時間短的孩子：他們的SAT（美國大學入學考試）成績平均高出210分。其他方面也顯示出優(yōu)勢：社交能力更強、事業(yè)成功、家庭和諧、體質(zhì)指數(shù)更勝一籌。

這與已知矛盾.故得證.

注1也可以對f(x)·g1(x)用積分中值定理，再由g1(x)≠0(?x∈(a，b))得證.

命題2設(shè)函數(shù)f(x)，g1(x)，ρ(x)在[a，b]上連續(xù)，

函數(shù)1，ρ(x)在(a，b)內(nèi)線性無關(guān)，且ρ(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)，則f(x)在(a，b)內(nèi)至少有兩個零點.

證(反證法)由命題1知f(x)在(a，b)內(nèi)至少有一個零點，假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)僅有一個零點x0，則由

知，f(x)·g1(x)在(a，x0)與(x0，b)內(nèi)異號.不妨設(shè)x∈(a，x0)，f(x)·g1(x)>0；x∈(x0，b)，f(x)·g1(x)<0. 由已知1，ρ(x)在(a，b)內(nèi)線性無關(guān)，于是ρ(x)在(a，b)內(nèi)不恒為常數(shù). 又ρ(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)，不妨設(shè)ρ(x)單調(diào)增加，則當x∈(a，x0)時，ρ(x)≤ρ(x0)；當x∈(x0，b)時，ρ(x)≥ρ(x0). 故

這與已知矛盾.故得證.

命題3設(shè)f(x)，g1(x)，ρ(x)在[a，b]上連續(xù)，

1，ρ(x)，ρ2(x)，…，ρn(x)在(a，b)內(nèi)線性無關(guān)，且ρ(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)，則f(x)在(a，b)內(nèi)至少有n+1個零點.

證(用數(shù)學歸納法)當n=0時，即為命題1，結(jié)論成立；當n=1時，即為命題2，結(jié)論成立；

假設(shè)n=k時結(jié)論成立，則f(x)在(a，b)內(nèi)至少有k+1個零點，下面用反證法證明：當n=k+1時結(jié)論也成立，即證f(x)在(a，b)內(nèi)至少有k+2個零點.

假設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)恰有k+1個零點，不妨設(shè)零點分別為x1，x2，…，xk+1，其中a0；x∈(x1，x2)，f(x)<0；依此類推.

取

G(x)=f(x)·g1(x)·(ρ(x)-ρ(x1))·(ρ(x)-ρ(x2))…(ρ(x)-ρ(xk+1))，

由已知?x∈(a，b)，g1(x)≠0及g1(x)的連續(xù)性，于是g1(x)在(a，b)上不變號，不妨設(shè)g1(x)>0(?x∈(a，b)). 又由已知ρ(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)，不妨設(shè)ρ(x)單調(diào)增加，于是

(ρ(x)-ρ(x1))·(ρ(x)-ρ(x2))…(ρ(x)-ρ(xk+1))

綜上所述，由數(shù)學歸納法即可證得.

特別地，取g1(x)=1，ρ(x)=x，則由命題3可得前述典型證明題(vi). 類似地，可利用命題3設(shè)計和構(gòu)造函數(shù)的零點存在性證明題. 如，取g1(x)=1，ρ(x)=ex，即得

推論1設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，

則f(x)在(a，b)內(nèi)至少有n+1個零點.

類似于命題3，可證得

命題4設(shè)函數(shù)f(x)，g1(x)在[a，b]上連續(xù)，

1，ρ(x)，ρ2(x)，…在(a，b)內(nèi)線性無關(guān)，且ρ(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)，則f(x)在(a，b)內(nèi)有無窮多個零點.

特別地，取g1(x)=1，ρ(x)=x，即得前述證明題(vii).

3結(jié)束語

本文通過對一類滿足特定積分等式條件下的函數(shù)的零點存在性典型證明題及其證明方法進行深入地觀察和細致地分析，歸納出具有普適性的一般性命題，并作進一步推廣. 這種由特殊至一般，對已有命題做合乎邏輯的分析，進而提出一般性命題，并加以證明和推廣的過程是研究性與創(chuàng)新性學習的基本形式之一. 對從事數(shù)學教學的教師也有一定的參考價值，由此可以編制出一些在滿足特定積分等式條件下的函數(shù)至少有兩個及更多零點的存在性新證明題.

[參考文獻]

[1]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2006：362.

[2]陳仲.高等數(shù)學競賽題解析[M].南京：東南大學出版社，2008：80，84-85.

[3]林源渠，方企勤. 數(shù)學分析解題指南[M].北京：北京大學出版社，2003：173-174，186.

[4]徐斌.高等數(shù)學證明題500例解析[M].北京：高等教育出版社，2007：39-40，308-314.

[5]謝惠民，惲自求，易法槐，錢定邊.數(shù)學分析習題課講義(上冊)[M].北京：高等教育出版社，2003：316-317.

[6]錢昌本. 解題之道-高等數(shù)學范例剖析240題[M].西安：西安交通大學出版社，2004：104-106.

[7]同濟大學應用數(shù)學系. 高等數(shù)學(下冊)[M].5版.北京：高等教育出版社，2002：296.

[8]阮炯.差分方程和常微分方程[M].上海：復旦大學出版社，2002：46-47.

TheExtensionofaKindofProblemswithZerosoftheFunction

ZHENG Hua-sheng

(SchoolofMathematicsandInformationScience，NanchangHangkongUniversity，Nanchang330063，China)

Abstract:Akindofgeneralitypropositionsispresentedbyobservingandanalyzingseveraltypicalproofproblemsofzerosexistenceofthefunctionwithspecificdefiniteintegralequalities.Andthen，theproofandextensionareimplemented.

Keywords:zeroofafunction；linearindependenceoffunctions；definiteintegral；equality；extension

[基金項目]中央高校業(yè)務費資助項目(河海大學)；河海大學小型教改項目(2014)；南京農(nóng)業(yè)大學工學院研究型教改項目(2014)；河海大學文天學院大學數(shù)學課程教學團隊(20002)，安徽省級項目，《高等數(shù)學》教學改革研究(zl201206)，重點教學研究項目(校內(nèi))

[收稿日期]2015-03-29

[中圖分類號]O172.2；O13

[文獻標識碼]C

[文章編號]1672-1454(2015)04-0045-04

[基金項目]江西省及南昌航空大學教學改革研究項目(JXJG-13-8-18，JY1329)；江西省自然科學基金項目(20114BAB201001)；江西省教育廳科技項目(GJJ12431)

[收稿日期]2014-12-26； 2015-04-22