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    例析求二次函數(shù)解析式的方法

    2015-11-10 20:25郗紅梅
    甘肅教育 2015年19期
    關(guān)鍵詞:二次函數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)

    郗紅梅

    【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)教學(xué);二次函數(shù);解析式;求解

    【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】 C

    【文章編號】 1004—0463(2015)19—0121—01

    求二次函數(shù)的解析式是義務(wù)教育階段初中數(shù)學(xué)教材“二次函數(shù)”中的一個(gè)難點(diǎn),在教學(xué)中我們給學(xué)生總結(jié)了三種常用方法:

    1.一般式:y=ax2+bx+c,其中a、b、c是待定系數(shù),且a不等于0.2.交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1、x2 是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo).3.頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k,其中(h,k)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).可是學(xué)生在運(yùn)用的時(shí)候還是存在問題,常常感到無從下手.下面,筆者結(jié)合實(shí)例,談?wù)勄蠖魏瘮?shù)解析式的幾種常用方法.

    題目:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0)與(12,0),最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

    分析:要求二次函數(shù)的解析式,關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出y=ax2+bx+c中的系數(shù)a、b、c.

    解法一:函數(shù)的圖象通過(0,0)與(12,0),可將這兩點(diǎn)代入y=ax2+bx+c中,得方程:c=0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?①

    144a+12b+c=0 ? ? ?②

    拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3,即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得: =3 ? ? ? ?③

    將①②③聯(lián)立可解得:a=-,b=1,c=0.

    所以二次函數(shù)的解析式為: y=-x2+x .

    解法二:由于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)(0,0)與(12,0),因此(0,0)與(12,0)是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),這樣可以用“交點(diǎn)式”來求解析式.可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-x1)(x-x2),將x1=0,x2=12代入得y=ax(x-12),考慮到(0,0)與(12,0)是關(guān)于對稱軸對稱的,因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3),再將(6,3)代入y=ax(x-12)中,可得a=-,所以函數(shù)的解析式是y=-x2+x.

    解法三:由方法二可知拋物線為y=ax(x-12),由拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3,即頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得: =3,解得a=-.所以拋物線的解析式是y=-x2+x.

    解法四:由方法二可知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3),因此拋物線過(0,0)、(12,0)、(6,3),可設(shè)y=ax2+bx+c,將以上三點(diǎn)代入方程組:c=0

    144a+12b+c=0

    36a+6b+c=3

    解方程組求出a、b、c的值即可.

    解法五:由方法二可得到拋物線的對稱軸為x=6,所以可以通過下列方程組求得a、b、c.

    c=0

    -=6

    =3

    解法六:(0,0)與(12,0)點(diǎn)是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),橫坐標(biāo)為0與12,也就是方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,由根與系數(shù)的關(guān)系可得:

    x1+x2=-=12

    x1·x2==0

    =3

    再聯(lián)立方程可求得a、b、c.

    解法七:由拋物線過(0,0)與(12,0)可知,拋物線的對稱軸是x=6,且拋物線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3,所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,3),這樣可用“頂點(diǎn)式”求解析式.設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-6)2+3,再把點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(12,0)代入即可求出a的值.

    以上列舉了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的幾種常用方法,學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中只有通過練習(xí)才能掌握每種方法的技巧和特點(diǎn).

    下面的幾個(gè)題目不妨采用上述方法加以練習(xí):

    根據(jù)下列條件,求二次函數(shù)的解析式.

    1.圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-3),拋物線的頂點(diǎn)為(2,1).

    2.圖象與x軸交于(-1,0)和(3,0),且通過點(diǎn)(-,7).

    3.在y軸上的截距為-2,對稱軸是直線x=-2,最大值為2.

    4.頂點(diǎn)是(2,3),圖象與x軸兩交點(diǎn)間的距離為6.

    編輯:謝穎麗

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