淺析高中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的運(yùn)用

袁蓉

摘 要：近年來(lái)，涉及數(shù)形結(jié)合思想的試題在高考數(shù)學(xué)中比重上升，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)該成為高中數(shù)學(xué)課堂中一項(xiàng)重要的教學(xué)任務(wù)。強(qiáng)化對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，對(duì)于幫助學(xué)生開(kāi)拓解題思路，從而發(fā)現(xiàn)解決復(fù)雜函數(shù)問(wèn)題的技巧和規(guī)律有著重要意義。從高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀著手，重點(diǎn)分析了數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中的運(yùn)用問(wèn)題。以期通過(guò)努力，找到促進(jìn)高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)解題中高效利用的可靠途徑，以供參考。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)解題

在高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合是一種有效的重要思想和方法。所謂數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言同直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，巧妙地將數(shù)量與圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。如果學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)中合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，就可以簡(jiǎn)化那些復(fù)雜的問(wèn)題，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，從而直觀地思考與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的重要性

將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用于高中函數(shù)教學(xué)，有助于提高教學(xué)效果；而運(yùn)用于具體解題過(guò)程，則有助于提高解題速度和效率。

1.數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用于函數(shù)解題教學(xué)，可以提升教學(xué)效果

我們?cè)诮獯饠?shù)學(xué)題目的時(shí)候，如果已知條件只是單獨(dú)地給出了數(shù)據(jù)或是圖形，那么為了快速有效地解答，我們還需要拿出一部分時(shí)間來(lái)對(duì)圖形和數(shù)量進(jìn)行條件補(bǔ)充。換而言之，我們?cè)诿鎸?duì)數(shù)量時(shí)要聯(lián)想到與之對(duì)應(yīng)的幾何圖形，對(duì)于幾何圖形則要聯(lián)想到與之相對(duì)的數(shù)量關(guān)系?？梢钥闯觯瑪?shù)形結(jié)合思想在以數(shù)量關(guān)系分析圖象的性質(zhì)或者以圖形的性質(zhì)表現(xiàn)數(shù)量關(guān)系變化中得到很好的體現(xiàn)，即在面對(duì)與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)我們可以運(yùn)用數(shù)和形之間的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化、相互證明和相互補(bǔ)充來(lái)更準(zhǔn)確地理解題目含義。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師在教學(xué)過(guò)程中重視對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，這樣對(duì)學(xué)生準(zhǔn)確解讀題目的含義、把握解題的思路、做出正確的解答有很大幫助。數(shù)學(xué)教師要把向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想和方法作為日常教學(xué)任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合的思考邏輯與解題思維，進(jìn)而提高教學(xué)效率。

2.數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用于函數(shù)解題過(guò)程，可以提高速度和效率

數(shù)形結(jié)合作為一種有效的函數(shù)解題途徑，能夠幫助我們將復(fù)雜抽象的問(wèn)題變得具體，更易于解答，在實(shí)際應(yīng)用中大大提高了解題速度與效率。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解答函數(shù)題目時(shí)，對(duì)于給出的圖象形式的函數(shù)，可以先把圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為兩數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系以便更客觀地分析，然后正確地思考和解決；對(duì)于已知的函數(shù)數(shù)量關(guān)系之間的問(wèn)題，我們可以根據(jù)其具有的幾何意義進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化，從而能夠更加直觀地觀察和解決，并由此得出正確的答案和結(jié)論。數(shù)形結(jié)合的方法在解題運(yùn)用中還必須遵循相關(guān)的實(shí)施原則，其原則如下：（1）敏銳細(xì)致的洞察力，準(zhǔn)確地抓住不同圖形所包含的數(shù)量關(guān)系。（2）圖象繪制精確無(wú)誤，將數(shù)量之間的關(guān)系準(zhǔn)確地用圖象表現(xiàn)出來(lái)。（3）正確分析并找出圖象與數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

二、函數(shù)解題中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

1.通過(guò)圖形構(gòu)造解讀不等式的解集、方程的根以及參數(shù)的范圍

2.建立數(shù)形結(jié)合模型，處理量與量之間的變化關(guān)系

函數(shù)的性質(zhì)在高考中占有較高比重，其在函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)中也是一個(gè)十分重要的知識(shí)點(diǎn)。然而學(xué)生對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)即函數(shù)中量與量之間的關(guān)系一直視為一大難題，之所以形成這種局面是因?yàn)檫@方面的知識(shí)內(nèi)容較為抽象，理解起來(lái)存在一定難度。為了克服這種不利的教學(xué)現(xiàn)狀，教師可以將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法融入日常教學(xué)活動(dòng)中，借助直觀形象的圖形達(dá)到幫助學(xué)生理解知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生使用數(shù)形結(jié)合思想處理相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題。如題：“已知方程x2-4x+3=m有4個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍”此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個(gè)數(shù)，而求方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題來(lái)解決，即求解函數(shù)y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。如此一來(lái)，原本抽象的數(shù)量變化關(guān)系就變得十分具體，數(shù)形模型的建立就是準(zhǔn)確快速解答的前提。

三、數(shù)形結(jié)合思想方法在函數(shù)教學(xué)中的運(yùn)用策略

1.借助數(shù)形轉(zhuǎn)化關(guān)系幫助學(xué)生準(zhǔn)確理解函數(shù)概念

高中數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)函數(shù)概念課程時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種轉(zhuǎn)化關(guān)系主要體現(xiàn)為：（1）“由形化數(shù)”：借助所給的圖形，仔細(xì)觀察研究，提示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映幾何圖形內(nèi)在的函數(shù)屬性；（2）“由數(shù)化形”：根據(jù)題設(shè)條件正確繪制相應(yīng)的圖形，使圖形能充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征；（3）“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對(duì)立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結(jié)構(gòu)，引起聯(lián)想，適時(shí)將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關(guān)系。教師應(yīng)鍛煉學(xué)生靈活運(yùn)用和轉(zhuǎn)化函數(shù)的不同表征方式，以完善對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)理解，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)函數(shù)的三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換能力會(huì)起到很好的教學(xué)效果。

2.借助數(shù)軸的建立幫助學(xué)生深入理解函數(shù)意義

數(shù)軸是高中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)事物，在數(shù)學(xué)之形元素中占有重要地位。當(dāng)前缺乏對(duì)函數(shù)方程式具體意義的深入理解的高中生不在少數(shù)，大多停留在簡(jiǎn)單的認(rèn)識(shí)層面，致使其函數(shù)的應(yīng)用解題過(guò)程常常變得毫無(wú)頭緒。因此，在高中數(shù)學(xué)的函數(shù)解題教學(xué)中，我們可以引入數(shù)軸模型幫助學(xué)生解讀函數(shù)方程式的數(shù)字意義，從而降低學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)和解題應(yīng)用的難度。如題：“已知函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有2個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍”在解答此類題目時(shí)，就要根據(jù)函數(shù)解析式，建立坐標(biāo)系，在坐標(biāo)系中分析題目中的數(shù)量關(guān)系，這樣一來(lái)就能準(zhǔn)確地理解題目含義并做出快速解答。

3.借助多媒體技術(shù)更好地滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法

實(shí)踐表明，學(xué)生很難單憑老師的口頭闡述和自己的想象力去準(zhǔn)確地理解復(fù)雜、抽象的高中函數(shù)知識(shí)。而計(jì)算機(jī)恰恰有著強(qiáng)大的計(jì)算、繪制、動(dòng)畫(huà)等多方位功能，基于此，教師在教學(xué)活動(dòng)中可以利用多媒體技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，借助現(xiàn)代科技力量將數(shù)學(xué)知識(shí)由靜到動(dòng)，以更加豐富多彩的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，愉悅數(shù)學(xué)課堂教學(xué)氛圍的同時(shí)也加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。動(dòng)態(tài)的多媒體教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律和知識(shí)的求知欲及創(chuàng)新能力有著很大的幫助。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想是高中函數(shù)解題教學(xué)中一種重要的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，可以使復(fù)雜抽象的函數(shù)問(wèn)題變得具體、易于理解，對(duì)于提高學(xué)生解題效率和教師教學(xué)質(zhì)量都有著重要意義。在高中函數(shù)解題教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)該不斷給學(xué)生滲透數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生更好地理解函數(shù)并有效解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題。

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編輯 段麗君