“都是開放惹的禍”

錢金宇 嚴育洪

【“望”：病例觀察】

一位教師執(zhí)教蘇教版三年級下冊“認識一個整體的幾分之一”——

師：“熊媽媽準備了一箱蘋果，平均分給兄弟倆，每人得到這箱蘋果的幾分之幾？”

生：“每人得到這箱蘋果的?！?/p>

師：“你們猜猜這個箱子里會有多少個蘋果？請同學們拿出空的蘋果箱（磁性小黑板）和信封里的蘋果（磁性紅色圓片），我們來幫熊媽媽分一分?！?/p>

教師挑選2個蘋果、4個蘋果和6個蘋果的學生作品板貼在黑板上，并讓學生向全班介紹自己小組的作品。

此時，有一位學生小聲詢問：“老師，我猜這個箱子里有3個蘋果，可以嗎？”

是啊，其他學生也產(chǎn)生了同樣的疑問：箱子里可以是5、7、9……個蘋果嗎？

教師反問道：“這樣能分嗎？”

學生沒能分出結(jié)果來，教師趁機告訴學生：“其實呀，不管箱子里有多少只蘋果，只要是平均分成2份，每一份都是它的。”

……

在課的最后環(huán)節(jié)，教師出示一條線段（如下圖），提問：“你能找到嗎？”

許多學生在這條線段上找到這樣的結(jié)果（如下圖）：

教師接著啟發(fā)：“你還能找到嗎？”

許多學生找到了更多的（如下圖）：

……

此時，有一位學生找到了這樣的（如下圖）：

教師追問：“你是怎么想的？”

這位學生回答：“這個地方正好是這條線段的一半?！?/p>

教師順勢在他的作品上添加了兩個大括號，擦掉了原來的，添上了這樣的兩個（如下圖）：

教師接著補充道：“其實這位同學的意思也就是把剛才的這兩張圖（如下圖）合在了一起?！?/p>

……

【“問”：病歷記錄】

課后，筆者問執(zhí)教教師：“在教學預設(shè)時，你有沒有想到學生會想到一個箱子里有3、5、7、9……個蘋果這些可能呢？”

“我想到的?！苯處熜赜谐芍竦鼗卮?，“但我在反饋時可以只選一個箱子里有2、4、6、8……個蘋果這些例子?！?/p>

“那如果是一個箱子里有3、5、7、9……個蘋果，你覺得可以平均分成2份嗎？”筆者接著問。

“這個……還真不好分。教材也沒選擇這些數(shù)據(jù)?！贝藭r，教師有點懊悔，“都是開放惹的禍?！?/p>

……

之后，筆者找來一些學生，問：“你會把3個蘋果平均分給兩個人嗎？”

有學生這樣分：“先每人1個，然后把剩下的1個一分為二，每人分得半個，合起來就是每人分得一個半蘋果?！?/p>

……

最后，筆者找來那個說“這個地方正好是這條線段的一半”的學生，問：“老師的解釋，是你想說的意思嗎？”

這位孩子搖了搖頭，又點了點頭，也說不清楚。

……

【“切”：病理診治】

上述這節(jié)三年級下冊“認識一個整體（一群物體）的幾分之一”的新授課，可以說是由“認識一個物體的幾分之幾”到“認識一個整體的幾分之幾”的重要轉(zhuǎn)折，從分數(shù)的“數(shù)量比”過渡到“份數(shù)比”，是學生認識的一次飛躍，也是學生分數(shù)知識學習中的一個難點，教師教得累，學生也學得累。

在起點教材“認識一個物體的幾分之一”這一節(jié)課中，一開始就由例題情境圖（如下圖）分得的結(jié)果“個”這個具體數(shù)量轉(zhuǎn)換成“一個蛋糕的”，其中“”成了表示部分與整體之間關(guān)系的一個數(shù)。

之后，教材開始專門長時間地研究這種表示兩者關(guān)系的分數(shù)，以致一看到分數(shù)，腦海中就會跳出“誰是（占）誰的幾分之幾”，例如上述課例最后環(huán)節(jié)的設(shè)計，“你能找到嗎？”的本意應該是“你能找到這條線段的嗎？”只是教師在匆忙中漏說了單位“1”。教師的意圖是想讓學生能夠找到“這條線段的”的多種表示方法，由此它可以看成一個開放性問題。事實證明，學生確實能夠依據(jù)部分與整體之間的關(guān)系找到更多的“這條線段的”。

在此，筆者想說的是，其中有一位學生提出與眾不同的觀點——“這個地方正好是這條線段的一半”值得我們思考，從課后的交流看，這尚是學生一種模糊的直覺，他或許表達的依然是“這個地方把這條線段一分為二，每一份是這條線段的”，這也就是教師隨后的處理操作。我們繼續(xù)揣測，如果他想表達的是“只有這個地方（這個點）正好是這條線段的一半，其他地方（其他點）都不能用這個數(shù)表示”，那么恰好給了教師趁機進行知識延伸的機會，教師可以作這樣的技術(shù)處理：把線段巧妙地變成數(shù)軸（如下圖），或者先變成一條數(shù)射線（可視為數(shù)軸的雛形），充當分數(shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。

在此意義上，“你能找到嗎？”這一屬于教師沒說清楚的開放性問題，反而給了學生更大的思考空間，只要教師合理引導，學生就可以豐富對分數(shù)的認識。如果教師具有高超的資源捕捉能力和轉(zhuǎn)化能力，此時就不必為沒說清楚的教學“事故”而懊悔，相反應該為能導出不可多得的生成資源這樣的教學“故事”而感到高興?？梢哉f，掌握分數(shù)概念的重要標志是理解分數(shù)所表征的這些相關(guān)但不同的意義。

在教學“認識一個整體的幾分之幾”的時候，盡管我們只需要關(guān)注分得的份數(shù)和取得的份數(shù)（上述課例設(shè)計，教師之所以把“一個箱子”作為教學素材，也是想刻意回避總數(shù)和每份數(shù)等具體數(shù)量），然而學生很難繞開以往具體數(shù)量的思維慣性，總想算一算總數(shù)被平均分后每份數(shù)是多少。于是，課中學生提出“老師，我猜這個箱子里會有3個蘋果，可以嗎？”這樣的問題，其實并不奇怪。

對這個問題，執(zhí)教教師之所以感到難以回答，從課后的交流中可以獲知，是教師認為它們難以“平均分”，然而學生卻有辦法——“先每人1個，然后把剩下的1個一分為二……”當然，我們還可以引導學生這樣“平均分”：把每個蘋果一分為二，得到6個半塊，然后把6個半塊作為一個整體平均分成2份，每份3個半塊，合起來就是1個半蘋果（如下圖）。由此可見，3個蘋果平均分成2份，也是可以“平均分”的。

如果說“把3個蘋果平均分成2份，每一份是多少個”，因為分的份數(shù)比較特殊，尚且“好”分，學生能自己想到“先分整個再分單個”的方法，也能理解“先全部分成半個后再分”的方法，那么對“把3個蘋果平均分成4份、5份……每一份是多少個”等情景，學生就不能輕松應對了。當然，學生也有可能受“先把每個蘋果一分為二然后再分”的啟發(fā)，想到“先把每個蘋果一分為四、一分為五……然后再分”。也就是說，如果執(zhí)教教師一開始就知道它們是可以“平均分”的，在教學中也會刻意避開后一類問題，因為這樣分要繞一個彎，實際上教材在選擇數(shù)據(jù)時也刻意回避這一類問題。

馬?。↗.Martin）總結(jié)出“整體‘1’”可以分為以下六種情況：以為例，（1）1個物體，例如1個蘋果，平均分為5份，取其中的1份。（2）5個物體，例如“5個蘋果”，其中的“1個蘋果”占“5個蘋果”的。（3）5個以上但是5的倍數(shù)，例如“10個蘋果”，平均分為5份，取其中的1份。（4）比1個多但比5個少，例如“2個蘋果”作為“整體”。（5）比5個多但不能被5整除，例如“7個蘋果”作為“整體”。（6）一個單獨物體的一部分的，例如1個蘋果的的。其中，第（1）（2）（3）種情況，在三年級上冊“認識一個物體的幾分之幾”和三年級下冊“認識一群物體的幾分之幾”中作為研究素材進行教學，而第（4）（5）種情況所反映的這一類問題就是五年級下冊“分數(shù)與除法的關(guān)系”的教材內(nèi)容（如下圖）。

上述課例，教師設(shè)計的問題——“你們猜猜這個箱子里會有多少個蘋果？”讓第（1）種至第（5）種情況都有出現(xiàn)的可能，在此意義上，這一問題也屬于開放性問題。從教師課后交流看，教師在設(shè)計這一開放性問題的時候，雖然預設(shè)到了學生可能會想到各種情況，但她對此也預設(shè)了應對之策——“但我在反饋時可以只選一個箱子里有2、4、6、8……個蘋果這些例子”，教師這樣有選擇的處理，只能說是一種“假開放”，所以教師事后感到懊悔——“都是開放惹的禍”。其實，這樣的開放恰恰順應了學生的原始思維，暴露了真實的學習狀態(tài)，只要教師尊重學生、相信學生，因開放而惹來的“禍”無疑又是一次豐富學生對分數(shù)認識的機會，所以教師完全不必為此而懊悔。另外，筆者在想：“分數(shù)與除法的關(guān)系”的教材內(nèi)容能否早一點教學？以早一點給上述課例遭遇的尷尬一個說法。

（江蘇省常熟市張橋中心小學 ? ?215552

江蘇省無錫市錫山教師進修學校 ? 214191）