“倍的認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)與思考

周興華 蔡宇清

“倍”是小學(xué)階段非常重要的一個(gè)概念，“倍的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課便是認(rèn)識(shí)“倍”的概念的起始課，近些年來(lái)也倍受大家的追捧，在知網(wǎng)中以 “倍”作為關(guān)鍵詞進(jìn)行檢索，會(huì)檢索到上千篇文章，可見(jiàn)它的受喜愛(ài)程度。為了對(duì)“倍的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)有更好的認(rèn)識(shí)，筆者近期整理了一些文獻(xiàn)，通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)資料的梳理，讓筆者對(duì)“倍”的教學(xué)研究再一次進(jìn)行了思考。

一、教師眼中的“倍”

從眾多發(fā)表的文章中，我們可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫(huà)兩個(gè)量之間關(guān)系的一種表達(dá)方式，其數(shù)學(xué)核心思想是：用一個(gè)量去刻畫(huà)另一個(gè)量。“倍”代表著兩個(gè)數(shù)量間的比較關(guān)系，它產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ)是兩者比較，而關(guān)鍵是要把其中一方以另一方為標(biāo)準(zhǔn)，分成相同的幾份。[1]“倍”是學(xué)生在刻畫(huà)兩個(gè)量之間關(guān)系的時(shí)候，第一次從絕對(duì)數(shù)量的比多少，到相對(duì)數(shù)量的關(guān)系的轉(zhuǎn)變。對(duì)于中高年級(jí)即將接觸到的“分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)”“比”甚至以后的函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，起著至關(guān)重要的作用。還有教師認(rèn)為：“倍”是刻畫(huà)兩個(gè)量之間關(guān)系的眾多表達(dá)方式中的一種，和其他的刻畫(huà)方式屬于同等位置，應(yīng)該和眾多的刻畫(huà)方式建立起聯(lián)系，并將“倍”的刻畫(huà)方式準(zhǔn)確地納入到表達(dá)關(guān)系這一知識(shí)體系當(dāng)中。

目前，從研究現(xiàn)狀來(lái)看，多數(shù)一線教師對(duì)“倍”的理解到了“關(guān)系”的層面，北京教育學(xué)院劉加霞老師認(rèn)為“倍”是從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識(shí)乘法，而是一個(gè)概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關(guān)的倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運(yùn)算律甚至面積、體積、表面積、速度等概念和定律。[2]從現(xiàn)狀來(lái)看，從乘法結(jié)構(gòu)的角度去進(jìn)一步研究“倍”未必不是一個(gè)新的研究方向，我們既可以從乘法結(jié)構(gòu)聚焦到“倍的認(rèn)識(shí)”，也可以從“倍的認(rèn)識(shí)”輻射到乘法結(jié)構(gòu)。

二、教師在教學(xué)時(shí)關(guān)注到了什么

（一）學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

美國(guó)著名認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾說(shuō)：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會(huì)說(shuō)，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)?！币痪€教師在“倍”的教學(xué)時(shí)，能從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，幫助學(xué)生建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。教材中“倍”的概念是依據(jù)乘除法知識(shí)中“幾個(gè)幾”“份”的概念擴(kuò)展而來(lái)的，通過(guò)兩個(gè)數(shù)量的比較，由“份”引出“倍”，使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“倍”的含義，這就是學(xué)生已經(jīng)具備了的認(rèn)識(shí)“倍”的基礎(chǔ)。[3]針對(duì)“倍”的意義理解，就是要讓學(xué)生對(duì)乘法意義中的“幾個(gè)幾”與新知“幾倍”形成關(guān)聯(lián)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)，建立新舊概念間的聯(lián)系，以促進(jìn)知識(shí)的有效遷移。

（二）教學(xué)情境

北師大版教科書(shū)以快樂(lè)的動(dòng)物為情境，通過(guò)問(wèn)題串一步步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同動(dòng)物的只數(shù)進(jìn)行比較，從而認(rèn)識(shí)“倍”的概念。人教版教科書(shū)則是讓學(xué)生在用小棒拼擺圖形的過(guò)程中建立“倍”的概念。在實(shí)際的教學(xué)中，教師進(jìn)一步把它轉(zhuǎn)換成了各種各樣有趣的情境，有的以猜數(shù)游戲開(kāi)始，有的先利用拍手歌激趣，有的是先動(dòng)手?jǐn)[不同顏色的圖片再發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題，有的是比較不同事物的數(shù)量關(guān)系，有的是比較物體的長(zhǎng)度關(guān)系，有的創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)三個(gè)卡通人物帶來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的情境，等等。無(wú)論什么樣的問(wèn)題情境，目的都是讓學(xué)生在其感興趣的情境中，獲得積極的情感體驗(yàn)，在感受數(shù)學(xué)的魅力的同時(shí)掌握“倍”的概念。

（三）從關(guān)系入手，理解“倍”的意義

前文中提到，多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫(huà)兩個(gè)量關(guān)系的一種表達(dá)方式。因此教師往往從研究關(guān)系入手，來(lái)理解“倍”的意義。例如北京海淀教研室的郭麗軍老師在教學(xué)時(shí)先出示3個(gè)紅圓片、3個(gè)黃圓片，問(wèn)兩種圓片的數(shù)量有怎樣的關(guān)系？然后增加3個(gè)黃圓片，再讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)3個(gè)紅圓片和6個(gè)黃圓片又有怎樣的關(guān)系。學(xué)生最先會(huì)發(fā)現(xiàn)多少的關(guān)系，然后教師慢慢地引導(dǎo)學(xué)生從多少的關(guān)系過(guò)渡到倍的關(guān)系，也就是讓學(xué)生的思維從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)。

（四）注重動(dòng)手操作，利用畫(huà)圖表征，促進(jìn)“倍”的理解

教師一般通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)一畫(huà)、比一比等操作活動(dòng)，引發(fā)、激活學(xué)生頭腦中的原有認(rèn)知，并使之外顯；然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論和交流，從“幾個(gè)幾”的角度初步認(rèn)識(shí)“倍”的含義。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，概念形成其實(shí)可以概括為兩個(gè)階段，即從完整表象上升為抽象概念，實(shí)現(xiàn)抽象概念在思維過(guò)程中的具體再現(xiàn)。在這兩次必備轉(zhuǎn)換過(guò)程中形成完整表象是最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。但由于低年級(jí)學(xué)生表達(dá)能力的欠缺，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖表征來(lái)表達(dá)出自己構(gòu)建的概念表象就顯得尤為重要。畫(huà)圖表征在實(shí)物操作與抽象思維之間架起了橋梁，讓學(xué)生在圈一圈、畫(huà)一畫(huà)中初步建立“倍” 的表象，有利于學(xué)生有效表達(dá)自己構(gòu)建的概念表象。

（五）在不斷對(duì)比與抽象中， 逐步理解“倍”的意義

烏申斯基說(shuō)：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的……”通過(guò)畫(huà)圖等手段初步認(rèn)識(shí)了“倍”后，如何讓學(xué)生進(jìn)一步理解“倍” 的概念呢？這就需要在不斷對(duì)比與抽象中，舍棄各種非本質(zhì)的特征，在變化中抓住“不變”， 而這“不變” 就是它們的量性特征，就是“倍” 的本質(zhì)。許多教師會(huì)設(shè)計(jì)多個(gè)比較的環(huán)節(jié)，例如：一份數(shù)不變，幾份數(shù)在變，倍數(shù)也隨之變化；一份數(shù)在變，幾份數(shù)也在變，倍數(shù)卻不變。通過(guò)比較，引導(dǎo)學(xué)生逐步明晰和把握概念的本質(zhì)，使認(rèn)知和理解走向深入。

三、“倍”的認(rèn)識(shí)的新思考

雖然我們認(rèn)識(shí)了“倍”的本質(zhì)，雖然我們了解了學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但是對(duì)于“倍”的理解，學(xué)生還是有一定困難的，雖然學(xué)生能夠說(shuō)出誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，也能借助乘法進(jìn)行計(jì)算，但這并不表示學(xué)生真正認(rèn)識(shí)、理解了“倍”，在運(yùn)用時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)許多困難。這首先受到兒童自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的影響，從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化。倍的學(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機(jī)會(huì)，學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”都要經(jīng)歷從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難。[4]其次是因?yàn)樵撝R(shí)點(diǎn)本身的難度，“倍”不是單一的乘法結(jié)構(gòu)，它是乘法意義的拓展延伸，但同時(shí)也包含對(duì)除法意義的理解，這無(wú)疑會(huì)對(duì)初次理解“倍”的概念的學(xué)生造成一定的困難。

學(xué)校最近開(kāi)展了“課堂觀察”研究，通過(guò)教師和學(xué)生一對(duì)一的課堂細(xì)致觀察，我們還發(fā)現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”的過(guò)程中有如下三個(gè)問(wèn)題。

（一）學(xué)生對(duì)“關(guān)系”不理解

“關(guān)系”一詞在現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典中的解釋是：事物之間相互作用、相互影響的狀態(tài)。日常生活中我們經(jīng)常會(huì)用到這個(gè)詞，感覺(jué)理解起來(lái)很簡(jiǎn)單，但孩子對(duì)于用在數(shù)學(xué)背景中的“關(guān)系”一詞并不是很理解，大多數(shù)學(xué)生聽(tīng)到教師提出的問(wèn)題“它們之間有什么關(guān)系？”時(shí)表現(xiàn)出了聽(tīng)不懂的狀態(tài)，所以教師在這時(shí)不妨停一停，可以舉個(gè)例子來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明，這樣學(xué)生才能更好地繼續(xù)下面的學(xué)習(xí)。

（二）理解“倍”的概念不能只通過(guò)觀察

通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)的梳理，我們發(fā)現(xiàn)許多一線教師都是讓學(xué)生直接通過(guò)觀察靜止的事物來(lái)找數(shù)量之間的關(guān)系，例如黑板上擺好的教具或畫(huà)好的簡(jiǎn)單圖形。當(dāng)教師在黑板上擺出6個(gè)紅色圓片和3個(gè)白色圓片時(shí)，學(xué)生會(huì)很快說(shuō)出6比3多3或者3比6少3，但很難想到6里面有2個(gè)3，或者是6是3的2倍，這也恰恰說(shuō)明了兒童的認(rèn)知從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)是十分困難的。怎樣能讓學(xué)生自然地過(guò)渡呢？通過(guò)嘗試，我們發(fā)現(xiàn)“動(dòng)手操作”是一個(gè)可行的辦法。課前為學(xué)生準(zhǔn)備一些可以擺動(dòng)的學(xué)具，例如最簡(jiǎn)單的小圓紙片，學(xué)生在擺一擺學(xué)具的過(guò)程中，會(huì)非常自然的產(chǎn)生分堆的想法（如下圖），他們會(huì)把3個(gè)白紙片擺成1堆，把6個(gè)紅紙片擺成兩堆，這里的“一堆”就是“1份”或者叫作“1倍量”最好的形體展示，這樣學(xué)生從形上更自然地想到6里面有2個(gè)3，這就是學(xué)生腦子中最初的“倍”。

許多教師為了讓學(xué)生更好地理解“倍”，看清數(shù)量之間的關(guān)教師一上課就讓學(xué)生去圈一圈，然后直接引出了“倍”的概念。筆者認(rèn)為這樣做也許有點(diǎn)太快了，“倍”的認(rèn)識(shí)需要一個(gè)時(shí)間的等待，我們不妨放慢腳步，在學(xué)生初步建立“倍”的概念時(shí)，能通過(guò)教師的引導(dǎo)動(dòng)手?jǐn)[一擺，其實(shí)擺出的“1堆”和圈出的“1份”能達(dá)到異曲同工之妙，而動(dòng)手?jǐn)[一擺會(huì)讓學(xué)生對(duì)“倍”的認(rèn)識(shí)更加深刻。

（三）“倍”難于表達(dá)

學(xué)生能夠說(shuō)出誰(shuí)是誰(shuí)的幾倍，也能借助乘法進(jìn)行計(jì)算，但在描述時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)許多困難。認(rèn)識(shí)“倍”就要求學(xué)生能夠理解“倍”的含義并學(xué)會(huì)表達(dá)“倍”。在表達(dá)“倍”時(shí)，我們不要急于給學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)形式，而要等待。根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)，學(xué)生的理解能力前于學(xué)生的表達(dá)能力，所以我們認(rèn)為學(xué)生表達(dá)不清楚是正常的。在表達(dá)“倍”的時(shí)候，我們可以嘗試用畫(huà)圖的方式進(jìn)行多個(gè)角度的表達(dá)以加深理解。

“倍的認(rèn)識(shí)”一課不是一節(jié)新課，但是作為一名青年教師，我們需要有把它看成一節(jié)新課去研究的意識(shí)，我們更需要有站在前輩的肩膀上去思考、去研究、去創(chuàng)新的精神。

注釋?zhuān)?/p>

[1] 高麗杰.從“形”到“數(shù)”，在不斷對(duì)比與抽象中認(rèn)識(shí)“倍”[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2010（1）.

[2][4]劉加霞.從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)：“倍”是轉(zhuǎn)折點(diǎn)——評(píng)析高麗杰老師的“倍的初步認(rèn)識(shí)”[J]. 小學(xué)教學(xué)，2010（07～08）.

[3]顧曉東. 基于已有經(jīng)驗(yàn)的意義關(guān)聯(lián)——“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)反思與改進(jìn)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（1）.

（中國(guó)農(nóng)業(yè)科學(xué)院附屬小學(xué) 100081）