“歸一問(wèn)題”的有效教學(xué)嘗試

張冬梅

新人教版教材三年級(jí)上冊(cè)第71頁(yè)例8是一道乘除兩步計(jì)算解決問(wèn)題的題目，如下：

兩步計(jì)算解決問(wèn)題對(duì)三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不陌生，因?yàn)樵诙昙?jí)下冊(cè)時(shí)就已經(jīng)接觸過(guò)，但這道題和二年級(jí)的兩步計(jì)算解決問(wèn)題相比，又有所不同，它是先求出1個(gè)碗的價(jià)錢(qián)（單位數(shù)量），再求出8個(gè)碗的總價(jià)，這屬于歸一問(wèn)題中的正歸一類(lèi)型。在例8下面的 “想一想”中，還出現(xiàn)了反歸一問(wèn)題，它是例題的變式問(wèn)題，也是先求出1個(gè)碗的價(jià)錢(qián)（單位數(shù)量），但第二步與例題不同，要求30元里包含幾個(gè)這樣的單位。這樣的安排便于學(xué)生更好地理解，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要先求出單價(jià)（單位數(shù)量），也就是“一份數(shù)”。

教學(xué)前，筆者選取學(xué)校三年級(jí)其中一個(gè)班，用“媽媽買(mǎi)3個(gè)同樣的碗用了18元，如果買(mǎi)8個(gè)這樣的碗，需要多少錢(qián)？”這道題做了前測(cè)，全班40位學(xué)生的測(cè)試情況如下表所示：

從前測(cè)中可以發(fā)現(xiàn)，班級(jí)中有16位同學(xué)不會(huì)正確列式，大多是用一步計(jì)算來(lái)解決的，其中有8位同學(xué)是用算式“18×8”來(lái)解決的，還有6位同學(xué)是用“3×8”等算式來(lái)解決，還有兩位同學(xué)無(wú)從下手。從他們的算式中可以看出，他們還沒(méi)有感悟到其中隱藏的 “一份數(shù)”這一概念。在得數(shù)等于48的24位同學(xué)中，有同學(xué)是直接用算式“8×6”來(lái)解決的，但卻說(shuō)不清楚這個(gè)“6”是哪來(lái)的，從中可以看出，這些學(xué)生對(duì)歸一問(wèn)題中這個(gè)“一份數(shù)”是有意識(shí)的，但認(rèn)知還不夠清晰。歸一問(wèn)題中的“一份數(shù)”是解題和建模的關(guān)鍵所在。因此，教師要讓學(xué)生理解并掌握歸一問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，必須是在充分感悟“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上。那么如何讓學(xué)生去真正感悟呢？對(duì)此，筆者嘗試對(duì)“歸一問(wèn)題”進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐。

一、在新知學(xué)習(xí)中感知“一份數(shù)”

在例題中，一個(gè)碗的價(jià)錢(qián)是其中的單位數(shù)量，也就是“一份數(shù)”，教師要想讓學(xué)生去感知這個(gè)單位數(shù)量，在解題過(guò)程中可以借助圖示語(yǔ)言、思維表述、對(duì)比活動(dòng)，讓學(xué)生去感知“一份數(shù)”，感受數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，從而幫助他們建立起清晰的問(wèn)題解決模型。

（一）借助圖示語(yǔ)言

圖示語(yǔ)言，就是把題目呈現(xiàn)的信息和問(wèn)題，通過(guò)直觀(guān)形象的符號(hào)信息展示出來(lái)。為了便于學(xué)生畫(huà)圖，筆者把例題在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行了改編，如下：

1.在畫(huà)圖中感受

在讀取了信息和問(wèn)題后，有學(xué)生已經(jīng)知道了該怎么解決，而部分同學(xué)還是很茫然，面對(duì)三個(gè)信息，不知道該從何下手。于是，筆者放慢教學(xué)速度，讓不會(huì)做的學(xué)生畫(huà)一畫(huà)信息和問(wèn)題，從中尋找解題的突破口。而讓會(huì)做的學(xué)生先把答案寫(xiě)在括號(hào)里，然后再把自己的思考過(guò)程用圖展示出來(lái)。通過(guò)畫(huà)圖，學(xué)生已經(jīng)感受到了“一份數(shù)”的存在。

2.在說(shuō)圖中感知

反饋時(shí)，筆者分別出示了實(shí)物圖、圓圈圖和線(xiàn)段圖。

讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)是怎么畫(huà)的，你看懂了嗎？通過(guò)反饋，學(xué)生從示意圖中清楚地感受到了要解決買(mǎi)5個(gè)這樣的碗需要多少錢(qián)，先要知道其中1個(gè)碗的價(jià)錢(qián)。為了讓學(xué)生對(duì)“1個(gè)碗的價(jià)錢(qián)”這個(gè)單一量的感知更清晰，筆者在出示了其中一位學(xué)生的線(xiàn)段圖后，指導(dǎo)其余學(xué)生一起學(xué)畫(huà)線(xiàn)段圖。先在黑板上畫(huà)出“買(mǎi)2個(gè)同樣的碗用了12元”，然后問(wèn)學(xué)生：“買(mǎi)5個(gè)這樣的碗需要多少錢(qián)該怎么畫(huà)？”學(xué)生回答：“畫(huà)5段?！惫P者又問(wèn)：“每段有多長(zhǎng)？”學(xué)生回答和上面的每一段一樣長(zhǎng)。從學(xué)生的回答來(lái)看，學(xué)生已經(jīng)真正感知到了其中的“一份數(shù)”。

（二）借助思維表述

在解決問(wèn)題教學(xué)過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生正確表述自己所理解的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合具體情境闡述自己的解題思路也是一個(gè)相當(dāng)重要的過(guò)程，它能促進(jìn)學(xué)生的思維從直觀(guān)感知上升到數(shù)學(xué)理解。在兩步計(jì)算解決問(wèn)題中，教師更應(yīng)重視學(xué)生解決問(wèn)題思路的表述，尤其是中間問(wèn)題，在歸一問(wèn)題中，也就是“一份數(shù)”的來(lái)龍去脈。

1.在口頭表達(dá)中感受

在學(xué)生嘗試列式后，教師要給學(xué)生提供充分的交流機(jī)會(huì)。在出示了算式“12÷2=6（元），5×6=30（元）”后，通過(guò)“你的想法是怎么樣的，你看懂了嗎？他先解決了什么問(wèn)題”，讓學(xué)生完整說(shuō)說(shuō)“先算什么，再算什么”。通過(guò)交流，再一次把“一份數(shù)”凸顯出來(lái)。

2.在書(shū)面表述中感知

教師還可以在學(xué)生闡述想法時(shí)，借鑒老教材的教法，把問(wèn)題的解決步驟通過(guò)板書(shū)呈現(xiàn)出來(lái)，如下：

1個(gè)碗多少錢(qián)？12÷2=6（元）

5個(gè)碗多少錢(qián)？5×6=30（元）

這樣，通過(guò)把分步解決的問(wèn)題板書(shū)出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”的感知更深刻。

（三）借助對(duì)比活動(dòng)

在例題后的“想一想”中，還出現(xiàn)了反歸一問(wèn)題“18元可以買(mǎi)3個(gè)碗，30元可以買(mǎi)幾個(gè)同樣的碗？”這是以對(duì)比編排的形式來(lái)呈現(xiàn)的，怎樣利用好教材設(shè)計(jì)的“對(duì)比”，讓學(xué)生在對(duì)比活動(dòng)中加深對(duì)“一份數(shù)”的理解，獲得分析和解決歸一問(wèn)題的基本方法呢？我們可以在教學(xué)時(shí)，在解決了“買(mǎi)5個(gè)這樣的碗需要多少錢(qián)？”后，讓學(xué)生根據(jù)“媽媽買(mǎi)2個(gè)同樣的碗用了12元”，也來(lái)提一個(gè)問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生的提問(wèn)，出示如“36元可以買(mǎi)幾個(gè)這樣的碗”，同樣讓學(xué)生列式后說(shuō)說(shuō)思考過(guò)程。

1.在相同處感受

在列式解決了以上兩道題后，教師可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)兩道題之間的相同點(diǎn)，通過(guò)對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在解決這兩道題時(shí)，都是先解決“買(mǎi)1個(gè)碗多少錢(qián)”的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)比歸納，再次突出“1個(gè)碗多少錢(qián)”這個(gè)“一份數(shù)”。

2.在規(guī)律中感知

在對(duì)比練習(xí)后，再次安排了一個(gè)體會(huì)個(gè)數(shù)和錢(qián)數(shù)的關(guān)系活動(dòng)，根據(jù)學(xué)生的回答，依次分個(gè)數(shù)和錢(qián)數(shù)兩列板書(shū)，買(mǎi)1個(gè)碗是6元錢(qián)，買(mǎi)2個(gè)碗是12元錢(qián)，買(mǎi)3個(gè)碗是18元錢(qián)，依次類(lèi)推，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)買(mǎi)的碗的個(gè)數(shù)越來(lái)越多，錢(qián)的總數(shù)也越來(lái)越多，當(dāng)錢(qián)的總數(shù)越來(lái)越少，買(mǎi)的碗的個(gè)數(shù)也越來(lái)越少，但其中不變的是1個(gè)碗的價(jià)錢(qián)，通過(guò)找規(guī)律再次去深刻感知“一份數(shù)”。

二、在鞏固學(xué)習(xí)中豐富“一份數(shù)”

在一些生活問(wèn)題中，“一份數(shù)”無(wú)處不在，它不僅僅是指“1個(gè)碗的價(jià)錢(qián)”，還可以表示不同的含義，像“平均每分鐘做6只紙飛機(jī)、平均每組有6位同學(xué)、平均每分鐘做6道題”都是“一份數(shù)”。教材中“做一做”呈現(xiàn)的“一份數(shù)”也有別于例題：

在這道題中，“平均每天看8頁(yè)”就是其中的“一份數(shù)”，筆者認(rèn)為，這道題設(shè)計(jì)的目的不但要讓學(xué)生熟練歸一問(wèn)題的解題規(guī)律，更重要的是要豐富學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)知。在深刻研讀了教材的練習(xí)后，筆者在鞏固學(xué)習(xí)中設(shè)計(jì)了一個(gè)連線(xiàn)題，想通過(guò)這三道題，達(dá)到豐富學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)知目的。

（一）在反饋中豐富“一份數(shù)”

在呈現(xiàn)的三個(gè)問(wèn)題中，第1、2小題比較簡(jiǎn)單，在學(xué)生連線(xiàn)后，分別說(shuō)說(shuō)想法，特別是先解決了什么問(wèn)題？在說(shuō)想法的過(guò)程中去豐富學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)識(shí)。第3小題對(duì)部分學(xué)生來(lái)說(shuō)有難度，這里出現(xiàn)了一個(gè)干擾數(shù)據(jù)“8分鐘”，受此影響，有學(xué)生連了第1個(gè)算式。在反饋中，學(xué)生明白了其實(shí)要解決的問(wèn)題是“照這樣計(jì)算，做完30道口算題需要幾分鐘”的問(wèn)題，如果用第1個(gè)算式來(lái)解決，那么要解決的問(wèn)題是“照這樣計(jì)算，8分鐘可以做幾道題？”在分別出示了這兩個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題后，讓學(xué)生找一找這兩題有什么相同的地方，通過(guò)比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在解決這兩道題時(shí)，都是要先解決“平均每分鐘做幾道題”，在這里，“平均每分鐘做6道題”是其中的“一份數(shù)”，利用錯(cuò)誤資源，再一次豐富學(xué)生對(duì)不同于“1個(gè)碗多少錢(qián)”的“一份數(shù)”的認(rèn)知。

（二）在歸納中豐富“一份數(shù)”

在解決了第3小題這個(gè)難點(diǎn)后，筆者又設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，那就是找出這三道題有什么相同的地方，通過(guò)比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在解題時(shí)都先用“18÷3=6”算出了“一份數(shù)”，那么“18÷3=6”在不同的題目中表示的含義一樣嗎？讓學(xué)生再一起說(shuō)一說(shuō)，在第1題中，“18÷3=6”表示“平均每分鐘折6只紙飛機(jī)”，第2題中，“18÷3=6”表示“平均每組有6位同學(xué)”，而第3題則表示“平均每分鐘做6道題”，而在生活實(shí)際中，“18÷3=6”還可以表示不同的“一份數(shù)”，通過(guò)歸納總結(jié)，再一次豐富了學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)知。

三 、在拓展學(xué)習(xí)中深化“一份數(shù)”

在教材的練習(xí)中，還有這樣一道題：

其中的第1小題，既可以用歸一的方法也可以用倍比的方法來(lái)解決，但這兩種方法的共通之處是都先解決了“一份數(shù)”的問(wèn)題，在歸一方法中，筆者把“平均每名同學(xué)擦4塊玻璃”看作“一份數(shù)”，而在倍比方法中，卻把“3名同學(xué)擦12塊玻璃”看作了“一份數(shù)”，這是對(duì)傳統(tǒng)意義上“一份數(shù)”的深化，筆者在拓展練習(xí)中設(shè)計(jì)此類(lèi)練習(xí)，在感知、豐富“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上，深化對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)識(shí)。設(shè)計(jì)練習(xí)如下：

這是一道可以用正歸一、反歸一和倍比三種方法來(lái)解決的問(wèn)題。在反饋時(shí)，先進(jìn)行正歸一和反歸一的比較，鞏固本課的新知。在此基礎(chǔ)上，重點(diǎn)通過(guò)交流、畫(huà)圖去理解倍比方法，溝通歸一和倍比方法，深化學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)識(shí)，從而幫助學(xué)生靈活運(yùn)用模型，正確解題。

（一）在溝通中深化“一份數(shù)”

正歸一和反歸一的方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)很容易理解，但正歸一和倍比方法有什么相同之處，學(xué)生是很難去發(fā)現(xiàn)和歸納的。于是，在理解倍比方法“8÷2=4 ，4×10=40（元）”時(shí)，筆者讓學(xué)生嘗試著去畫(huà)一畫(huà)、圈一圈，借助圖示來(lái)解釋算式的意義。通過(guò)幾何直觀(guān)，學(xué)生理解了這種方法其實(shí)是把“2張票多少錢(qián)”看作了“一份數(shù)”，8里面有4個(gè)2，也就是要付4個(gè)10元。

通過(guò)這道題，學(xué)生找到了歸一和倍比方法的相同之處，也深化了對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)識(shí)。

（二）在拓展中深化“一份數(shù)”

除了讓學(xué)生理解可以把“2張票多少錢(qián)”看作“一份數(shù)”，還需要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，在解決一些生活實(shí)際問(wèn)題時(shí)，也可以把“3個(gè)蘋(píng)果多少錢(qián)、4個(gè)人一共折了幾個(gè)紙飛機(jī)”看作“一份數(shù)”，通過(guò)教師舉例、學(xué)生交流，深化對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)識(shí)，在尋找更多“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上，還可以讓學(xué)生通過(guò)合作，去提一些既可以用歸一方法來(lái)解決的問(wèn)題，也可以用倍比方法來(lái)解決的問(wèn)題，在具體的問(wèn)題情境中深化學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”的認(rèn)識(shí)。

在課堂教學(xué)后，筆者又對(duì)參與前測(cè)的班級(jí)進(jìn)行了后測(cè)，測(cè)試題分別是：

1.小林讀一本故事書(shū)，3天讀了24頁(yè)，照這樣的速度，7天可以讀多少頁(yè)？

2.同學(xué)們大掃除，3名同學(xué)擦12塊玻璃。照這樣計(jì)算，教室里共有36塊玻璃，一共需要幾名同學(xué)？

3.把3本相同的書(shū)摞起來(lái)，高度是18毫米。如果把9本這樣的書(shū)摞起來(lái)，高度是多少毫米？

全班40位學(xué)生的測(cè)試情況如下表：

在3題全部做對(duì)的學(xué)生中，第3小題很多學(xué)生是用倍比方法解決的。在做對(duì)2 題的學(xué)生中，有兩位學(xué)生是出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)誤，而方法是正確的。還有一位學(xué)生做對(duì)1題，一位學(xué)生全錯(cuò)，需要進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)。從后測(cè)結(jié)果來(lái)看，讓學(xué)生在新知學(xué)習(xí)中感知“一份數(shù)”，在鞏固學(xué)習(xí)中豐富“一份數(shù)”，在拓展學(xué)習(xí)中深化“一份數(shù)”，大部分學(xué)生對(duì)“一份數(shù)”有了清晰和深入的認(rèn)識(shí)。當(dāng)然，從后測(cè)中也能看到問(wèn)題：做對(duì)的學(xué)生是真的掌握了這類(lèi)問(wèn)題，還是只是在套用這個(gè)模型；一旦把題目換成歸總問(wèn)題，學(xué)生還會(huì)不會(huì)靈活解決；教師的教學(xué)策略應(yīng)如何進(jìn)行調(diào)整；練習(xí)應(yīng)如何進(jìn)行有效設(shè)計(jì)；等等。這是我們接下來(lái)要思考并努力的方向。

（浙江省平湖市乍浦天妃小學(xué) 314200）