高中函數(shù)概念一節(jié)問題比較分析及教學建議

祝振志

摘 要： 本文以北京師范大學出版社高中《數(shù)學1（必修）》、人民教育出版社高中《數(shù)學1（必修）A版》教科書函數(shù)概念一節(jié)內(nèi)容為研究對象，從“與學生的交流”和“對學生的要求”兩個維度比較分析.研究發(fā)現(xiàn)：人教版函數(shù)概念范例呈現(xiàn)講究實效，方便自學，北師大版教材范例呈現(xiàn)講究點到為止的啟發(fā)式學習，適合探究式合作學習；人教版教材問題數(shù)量是北師大版的2倍多，但人教版整體問題綜合難度偏低.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學教科書 范例 比較研究

一、問題提出

隨著高中數(shù)學課程標準的頒布實施與新課改的需要，現(xiàn)階段我國有五種版本新課標的數(shù)學教材在各省使用.課改前，大部分省份采用的都是人教版的數(shù)學教材；課改后，各省份根據(jù)本省學情選取了適合自己的教材.前后教材版本的不同對一些經(jīng)驗豐富的老教師提出了挑戰(zhàn)，即前版本對應(yīng)數(shù)學內(nèi)容的教學方法是否適用于新版本，前版本教材側(cè)重的基本知識和基本技能，新版本弱化了，能否在新版本補充這些基本知識和基本技能，等等.

如何做好兩個版本教學銜接的問題，除了研究課程標準、新版本教材特點和教學目標外，我們有必要對兩個版本教科書具體對應(yīng)內(nèi)容做比較分析.函數(shù)是貫穿高中數(shù)學六大主線之一，其重要性不言而喻，而函數(shù)概念又是學生從初中升入高中接觸的第一個既抽象又難理解的概念，故函數(shù)概念的教學極其重要.因此下面分別選取北京師范大學出版社出版的普通高中課程標準教科書《數(shù)學1（必修）》和人民教育出版社出版的普通高中課程標準教科書《數(shù)學1（必修）A版》函數(shù)概念的一節(jié)內(nèi)容作比較.

二、分析框架

文獻[1]的作者通過對以往關(guān)于教材比較文獻分析后提出了一個橫向和縱向的教科書比較分析框架，用以調(diào)查教科書為學生提供的學習機會，并運用這一框架對三個地區(qū)小學數(shù)學教科書中分數(shù)加減法內(nèi)容進行了比較研究.本文在此框架的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)概念內(nèi)容的特點，主要對北師版和人教版教科書函數(shù)概念問題模塊進行比較分析，分析框架如下：

表1 教科書的分析框架

在表1中，“與學生的交流”主要指教科書如何將數(shù)學知識傳遞給學生，包括數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學思想。

三、函數(shù)概念的問題比較

函數(shù)概念初步建立之后，學生需要進一步認識和理解概念，通常范例和問題是幫助學生理解和構(gòu)建概念的重要組成部分.所以下面主要分析兩個版本教科書范例和問題的異同.

3.1范例

范例主要指教材中演示某個特定步驟或技能的例子，但不局限于給出完整的解題步驟或給出答案的例子.下面主要從教科書中范例的呈現(xiàn)順序和范例解題步驟兩個方面分析比較.

3.1.1范例的呈現(xiàn)順序

在概念的理解部分，北師大版在給出函數(shù)的概念之后，首先，通過兩個大家比較熟悉的反比例函數(shù)和一元二次函數(shù)，讓學生對新概念形成初步認識；然后，從集合的角度解釋了三個具有不同背景函數(shù)，讓學生再次認識函數(shù)的概念；最后，用一個有實際背景函數(shù)，升華概念的理解.

人教版在處理函數(shù)理解的部分，則采取了不同的范例呈現(xiàn)順序.首先，從集合角度分析三個不同背景函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，讓學生分析、歸納三個實例的共同點，得到函數(shù)的概念，形成概念的初步認識；其次，通過學生熟悉的一次函數(shù)和二次函數(shù)，讓學生建立新舊知識聯(lián)系，以達到概念再認識的目的；最后，讓學生經(jīng)歷求函數(shù)定義域、函數(shù)值和判斷兩個函數(shù)是否相等的過程，強化雙基，達到同化概念的目的.

3.1.2范例的解題步驟的比較

我們把范例的解題步驟分為完整解題步驟和部分解題步驟.完整解題步驟應(yīng)該包括：分析、求解過程、結(jié)果、反思四部分，而部分解題步驟只包含以上四部分當中的一個或幾個，如只有求解過程和結(jié)果.按照以上劃分規(guī)則得到：

表7 解題步驟范例數(shù)量對比

表8 范例解題步驟詳細對比

由表7和表8可知，北師大版函數(shù)的概念側(cè)重于探究式學習，教科書上的范例解題步驟都是部分解題步驟，都是點到為止的啟發(fā)式學習.人教版則側(cè)重于盡可能向讀者展示完整的解題步驟，通過詳細分析，夯實讀者的數(shù)學雙基.

3.2問題比較分析

本文研究的問題是指教科書中函數(shù)概念一節(jié)相關(guān)問題，包括范例、思考題、練習、課后習題.我們從問題類型、問題難度、范例呈現(xiàn)的解題步驟三個視角進行比較分析.

3.2.1問題類型及數(shù)量比較

我們把有關(guān)函數(shù)概念的問題按題型進行了劃分[2]，并對問題數(shù)量進行了統(tǒng)計，得到如下表格.

表5 兩版本教材問題形式及數(shù)量統(tǒng)計

通過觀察上表，我們得到以下結(jié)果：

（1）兩版本教科書課內(nèi)鞏固習題的數(shù)量相差不大，分別是13和14.

（2）人教版題目總數(shù)量遠高于北師大題目的數(shù)量，是北師大版的2倍多.

（3）人教版課后習題的數(shù)量是北師大版教科書的3倍多，這樣處理雖能促進學生對新知識的掌握和理解，但無形中加重了學生的負擔.

我們仔細分析任教版有關(guān)函數(shù)概念的題目，發(fā)現(xiàn)人教版課后習題數(shù)量多的原因在于對課后習題設(shè)置了層次化的變式.如關(guān)于已知函數(shù)解析式求解函數(shù)值的問題，一共有三個變式；而關(guān)于求函數(shù)定義域的問題，也有三組變式.

3.2.2問題難度比較

根據(jù)文獻[2]，我們計算出如下表所示的一組題目綜合難度.

表6 兩版本問題難度因素的加權(quán)平均

根據(jù)鮑建生的蛛網(wǎng)難度模型[3]，得到兩版本問題綜合難度對比圖.

圖6 兩版本題目難度綜合比較

從圖中可以看出，北師大版教科書函數(shù)概念問題整體難度高于人教版，主要表現(xiàn)在：問題探究水平、背景深度、運算量和知識點含量的難度都高于人教版；而人教版問題推理水平難度則略高于北師大版.這從側(cè)面說明了，北師大版函數(shù)概念配套問題數(shù)量雖少，但探究性強，思維深度較高；而人教版，配套問題數(shù)量雖遠高于北師大版，但整體難度偏低.

3.3對學生認知要求的比較

3.3.1潛在認知要求對比

文獻[1]把問題對學生潛在認知要求劃分為四個層次，分別是記憶型、無聯(lián)系的程序型、有聯(lián)系的程序型、做數(shù)學.結(jié)合兩版本教科書內(nèi)容的特點和新課標對知識與技能的認知要求，對以上四個層次水平理解如下：

*記憶型：任務(wù)要求對以前學過的知識在理解的基礎(chǔ)上簡單記憶.如求y=■的定義域和值域.

*無聯(lián)系的程序型：任務(wù)側(cè)重訓練學生的基本技能，如計算、化簡、解不等式等，與概念的理解無關(guān).

*有聯(lián)系的程序型：任務(wù)強調(diào)問題的解決過程，與概念的理解相關(guān).如判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù).

*做數(shù)學：任務(wù)沒有暗示可預(yù)期的解決途徑，屬于開放性問題，答案通常不唯一，需要將具體問題上升到本質(zhì)聯(lián)系，并進行復(fù)雜的思考、設(shè)計解決方案等.

按照以上四個認知要求標準，對教科書中的問題進行了劃分，得到如下條形統(tǒng)計圖：

圖7 兩版本認知要求對比對比

由上圖可知，兩個版本教科書中的問題對學生認知要求主要集中在有程序的聯(lián)系型和無聯(lián)系的程序型，即二者都注重培養(yǎng)學生的雙基.從問題數(shù)量上看，人教版整體認知要求要高于北師大版.

3.3.2作答類型的對比

結(jié)合兩個版本問題的特點，把問題作答類型劃分為答案和數(shù)學陳述、解釋、推理論證三個層次.答案和數(shù)學陳述指的是解答過程不僅要求有結(jié)果，還要做相關(guān)數(shù)學說明；解釋指的是為了加深概念的理解，把問題與概念對應(yīng)起來的一個過程；推理論證指的是根據(jù)一般的原理和結(jié)論說明某個特殊問題的合理性.

按照以上規(guī)則，得到如下表7所示的兩套教材關(guān)于問題作答類型的比較，北師大版以“答案和數(shù)學陳述”和“解釋”為主要作答類型；而人教版三個作答類型比例則比較均勻.

表7 兩版本問題回答類型對比

四、結(jié)論與啟示

在“函數(shù)概念”內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，兩版本教材的問題都以“無程序的聯(lián)系型”和“有程序的聯(lián)系型”為主.但人教版教材問題總量較大，是北師大版的2倍多，其原因在于人教版通常對同一個知識點設(shè)置幾組變式練習，意在加強訓練學生的基本知識和基本技能.雖然，人教版問題總量較大，但問題總體知識難度低于北師大版.此外，人教版教材通常會在問題旁邊附加旁白，作為對教材正文內(nèi)容的補充或拓展.北師大版問題數(shù)量相對較少，但教材有意對某些內(nèi)容“留白”，旨在讓學生自己填空，激發(fā)學生的學習積極性.如在給出函數(shù)定義之后，北師大版教材又給出三個不同表現(xiàn)形式的函數(shù)，但并沒有結(jié)合函數(shù)定義從集合的角度具體分析.且北師大版問題的探究性和背景的豐富性要高于人教版.主要表現(xiàn)在教材中設(shè)置學生自己動手參與的思考交流欄目及問題類型與生活聯(lián)系緊密.

兩套教材不同的內(nèi)容組織與呈現(xiàn)方式體現(xiàn)出編排者教學理念的不同.人教版教材無論從函數(shù)概念的引入還是范例等問題的呈現(xiàn)都講究實效，方便學生自學；北師大版教材范例呈現(xiàn)的特點主要表現(xiàn)為點到為止的啟發(fā)式問題，學生需要結(jié)合函數(shù)定義，對問題進行加工.也就是說北師版教材側(cè)重于探究式學習，注重讓學生經(jīng)歷自我構(gòu)建知識的過程.

參考文獻：

[1]Charalambous，C.Y.，Delaney，S.，Hsu，H.，Mesa，V. A Comparative Analysis Of the Addition and Subtraction Of Fractions in Textbooks from Three Countries （Areas）[J].Mathematical Thinking and Learning，2010，12（2）：117-151.

[2]陳月蘭，袁思情.中美教材“指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”內(nèi)容的組織與呈現(xiàn)方式比較[J].數(shù)學通報.2013（8）.

[3]鮑建生.中英兩國初中數(shù)學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002（31）.