初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)探析

徐相柱

[摘 要] 新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，在圖形與幾何的教學(xué)中，應(yīng)注重對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng). 作為一種解決數(shù)學(xué)問題的思維方式，幾何直觀能力能夠幫助學(xué)生更好地理解和學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，因此，在初中教學(xué)過程中，教師應(yīng)積極采取一定的措施，幫助學(xué)生提升幾何直觀能力.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；幾何直觀能力；培養(yǎng)

幾何直觀能力是利用圖形分析問題、認(rèn)識(shí)事物的能力，其也是創(chuàng)造性思維的表現(xiàn)，包括空間想象力、直觀洞察力等. 在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾何直觀能力作為揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的工具，有利于將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)明化，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更加直觀的理解，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，同時(shí)幾何直觀能力還有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)習(xí)中具有不可或缺的作用.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀能力

培養(yǎng)的誤區(qū)

初中數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力的目的在于，培養(yǎng)學(xué)生的空間幾何能力，促使學(xué)生形成良好的邏輯思維能力. 在直觀手段的幫助下，當(dāng)學(xué)生對(duì)知識(shí)開始形成信任并具有相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)后，教師在教學(xué)中應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生擺脫直觀手段，引導(dǎo)學(xué)生由具象思維向抽象思維轉(zhuǎn)變. 但在實(shí)際教學(xué)中，教師往往會(huì)陷入為了直觀而直觀的誤區(qū)，過于強(qiáng)調(diào)直觀性，而妨礙學(xué)生對(duì)抽象真理的思考. 雖然直觀教學(xué)可使學(xué)生學(xué)習(xí)更加輕松，但如果為了直觀而直觀地濫用各種手段，將會(huì)對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展產(chǎn)生阻礙影響.

當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)很容易被誤差干擾，以致對(duì)直觀背后的數(shù)學(xué)理性關(guān)注不夠. 由于初中生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)有限，加之多種因素的影響，在探究幾何和圖形相關(guān)知識(shí)時(shí)難免會(huì)出現(xiàn)誤差，如畫圖不準(zhǔn)確等，這會(huì)導(dǎo)致數(shù)學(xué)問題科學(xué)性與嚴(yán)密性被破壞，較難得出正確結(jié)論. 比如，講授“黃金分割”時(shí)，“量一量”這一環(huán)節(jié)若真的讓學(xué)生自己實(shí)施，由于誤差，學(xué)生的測(cè)量數(shù)據(jù)很可能相差甚遠(yuǎn)，這會(huì)對(duì)學(xué)生的思維產(chǎn)生干擾. 所以，在教學(xué)中，教師在幫助學(xué)生獲得直觀感受的同時(shí)，還必須關(guān)注直觀背后的數(shù)學(xué)理性，引導(dǎo)學(xué)生從猜想階段上升到推理層次，得到數(shù)學(xué)結(jié)論.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生幾何

直觀能力的措施

1. 重視圖景體驗(yàn)，拓展學(xué)生的空間想象力

空間想象力是認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界空間形式（空間幾何形體）必不可少的能力之一，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一. 由于缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，初中生普遍不具備對(duì)幾何圖形的直觀感和體驗(yàn)感，而幾何直觀能力需要建立在對(duì)周圍事物認(rèn)識(shí)和實(shí)踐基礎(chǔ)之上. 因此，實(shí)踐教學(xué)中，需重視圖景體驗(yàn)，讓學(xué)生通過對(duì)直觀圖形的透徹觀察，建立空間想象能力，進(jìn)而形成幾何直觀能力. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注意學(xué)生表象知識(shí)的積累，通過素材的積累增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，從而使學(xué)生能夠更好地在頭腦中構(gòu)成新形象. 幾何直觀是在實(shí)踐操作中不斷感知體會(huì)而逐漸形成的，因此教學(xué)中，除了要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形、圖象進(jìn)行觀察外，還應(yīng)加強(qiáng)實(shí)踐操作練習(xí). 在教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生構(gòu)建操作試驗(yàn)，讓學(xué)生參與到課堂探究活動(dòng)中，通過視覺、觸覺、聽覺等對(duì)操作活動(dòng)進(jìn)行分析和驗(yàn)證，獲得直接的感官體驗(yàn). 如學(xué)習(xí)三角形、正方形等圖形的性質(zhì)時(shí)，可讓學(xué)生自己動(dòng)手折一折、剪一剪，從動(dòng)手實(shí)踐中直觀地感知，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的同時(shí)，還有利于增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)中也可適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用多媒體技術(shù)，通過多媒體形象具體的演示，調(diào)動(dòng)學(xué)生各種感官和想象力，從而拓展學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)想象空間，提高其幾何直觀能力. 如學(xué)習(xí)“圓和圓的位置關(guān)系”時(shí)，可以利用計(jì)算機(jī)制作Flash動(dòng)畫課件，利用多媒體固定一個(gè)圓，通過移動(dòng)另一個(gè)圓，為學(xué)生動(dòng)態(tài)演示同一平面內(nèi)兩個(gè)不等圓的外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含等不同的位置關(guān)系，讓學(xué)生通過對(duì)兩圓位置與兩圓半徑之間關(guān)系的直觀觀察，推導(dǎo)出同一平面內(nèi)兩不等圓位置關(guān)系與圓半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系，如“圓心距大于兩圓半徑之和時(shí)，兩圓相離；圓心距小于兩圓半徑之差時(shí)，兩圓內(nèi)含；圓心距大于兩圓半徑之差且小于兩圓半徑之和時(shí)，兩圓相交；圓心距等于兩圓半徑之和時(shí)，兩圓外切；圓心距等于兩圓半徑之差時(shí)，兩圓內(nèi)切”等. 在教學(xué)“直線與圓的位置關(guān)系”“垂直平分線的性質(zhì)”等內(nèi)容時(shí)，也可利用類似的方法，通過多媒體課件的展示，在學(xué)生腦海中建立直觀的圖形、圖象，使學(xué)生在遇到相關(guān)問題時(shí)，能夠迅速地想到相應(yīng)的圖象，形成空間想象能力和幾何直觀能力.

2. 通過基礎(chǔ)知識(shí)與合理猜想等訓(xùn)練，對(duì)學(xué)生的直觀洞察能力進(jìn)行培養(yǎng)

直觀洞察力簡(jiǎn)單來說即是能夠一眼看出不同事物間的聯(lián)系及透過事物看本質(zhì)的能力. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，直觀洞察力能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確地對(duì)幾何圖形的結(jié)構(gòu)、關(guān)系等進(jìn)行判斷，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題的效率. 直觀洞察力的形成需要不斷地對(duì)表征問題之后的本質(zhì)現(xiàn)象進(jìn)行反思，在頓悟中獲得. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的直觀洞察力，即是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何圖形的直覺，讓學(xué)生根據(jù)自己的直覺，準(zhǔn)確甄別復(fù)雜圖形中的各種關(guān)系. 而由于正確的直覺是建立在基礎(chǔ)知識(shí)之上的，因此，在教學(xué)過程中，首先應(yīng)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)，使學(xué)生能夠熟練地掌握幾何定義、定理等知識(shí)，在扎實(shí)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理推斷；其次，加強(qiáng)猜想訓(xùn)練. 猜想是科學(xué)探究活動(dòng)的起點(diǎn)，在學(xué)習(xí)過程中，猜想不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，也有利于鍛煉學(xué)生的直覺思維，所以，教師在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的猜想和直覺能力進(jìn)行保護(hù)，引導(dǎo)學(xué)生在邏輯性和科學(xué)性基礎(chǔ)上大膽設(shè)問并發(fā)表自己的見解，培養(yǎng)其直觀洞察能力. 如：

例1？搖 如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于點(diǎn)E，D為AE延長(zhǎng)線與△ABC外接圓的交點(diǎn)，連接CE，CD，BD，已知∠BDC=120°，∠BDA=60°，判斷四邊形BDCE的形狀.

在本題的解答中，通過觀察，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行大膽猜想，憑直覺可看出四邊形BDCE可能為菱形. 根據(jù)菱形的定義，要證明猜想的正確性，則需要證明四邊形BDCE是有一組鄰邊相等的平行四邊形或四邊都相等.

解答？搖 因?yàn)椤螧DC=120°，∠BDA=60°，根據(jù)圓周角定理，可知和的度數(shù)分別為240°和120°. 因?yàn)樗倪呅蜛BDC為圓的內(nèi)接四邊形，又∠BDC=120°，所以∠BAC=60°. 又AD為∠BAC的平分線，所以∠CAD=∠BAD=30°， 所以BD=DC. 又∠BDA=60°，所以∠DBA=90°. 因?yàn)椤螪BC=∠DAC=30°，BE平分∠CBA，所以∠DBE=60°. 同理可證∠DCE=60°. 根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形可判定四邊形BDCE為平行四邊形. 又BD=DC，所以四邊形BDCE是菱形.

通過鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，培養(yǎng)學(xué)生的直觀能力，在學(xué)生憑自己的直觀感覺猜想后，引導(dǎo)其進(jìn)行逐步論證，對(duì)猜想的正確性進(jìn)行驗(yàn)證，有利于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)探究精神.

3. 通過圖感訓(xùn)練和數(shù)形結(jié)合等，對(duì)學(xué)生的“圖形語言”能力進(jìn)行培養(yǎng)

圖形不僅是對(duì)現(xiàn)象的刻畫，同時(shí)可以用來描述問題，利用圖形能夠?qū)?shù)學(xué)問題更加直觀地表現(xiàn)出來，簡(jiǎn)化問題. 因此，在培養(yǎng)學(xué)生直觀幾何能力時(shí)，應(yīng)注意對(duì)學(xué)生圖形語言的培養(yǎng)，通過圖感訓(xùn)練和數(shù)形結(jié)合的聯(lián)系，促使學(xué)生形成利用圖象解題的習(xí)慣. 在教學(xué)實(shí)踐中，可要求學(xué)生盡可能通過畫圖來解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的讀圖、作圖能力和用圖說話的能力，將抽象的問題進(jìn)行圖形化，以形象思維支撐學(xué)生的抽象思維. 幾何直觀與數(shù)學(xué)內(nèi)容的密切相關(guān)性，要求教師在教學(xué)中要重視數(shù)形結(jié)合，鼓勵(lì)引導(dǎo)學(xué)生利用圖形、圖象解答代數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合練習(xí)，讓學(xué)生在獲得直觀幾何能力的同時(shí)，從中感受到利用圖象解題的優(yōu)勢(shì)，使學(xué)生在日后學(xué)習(xí)中能夠積極運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法. 如：

例2？搖 已知x為正實(shí)數(shù)，求函數(shù)的最小值.

解答這道題時(shí)，用代數(shù)方法較為復(fù)雜，而如果將函數(shù)整理為則可以將最值問題轉(zhuǎn)化為求最短距離的問題.

結(jié)語

自從對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》進(jìn)行修訂后，其中新增的十個(gè)核心概念便得到業(yè)內(nèi)人士的廣泛關(guān)注，“幾何直觀”便是其中之一. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)來說，幾何直觀能力的培養(yǎng)既是教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)難點(diǎn)，而由于幾何直觀能力的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，所以，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意避免急于求成，應(yīng)認(rèn)識(shí)到易出現(xiàn)的誤區(qū)，采取合理的措施，將培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力的理念貫穿教學(xué)始終，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo).endprint